Соображения, подобные этим, возникают и при принятии решений о больших финансовых сделках. Лучше или хуже традиционного пенсионного плана новый план недавно, принятый Конгрессом США (закон Roth 401(k))11? И вообще, если у вас есть куча денег, которые вы намерены инвестировать, но на них нужно платить налоги, то когда лучше это делать — в начале инвестиционного периода или в конце?
Повторяю еще раз: коммутативный закон показывает, что при всех прочих равных условиях (которые, к сожалению, часто таковыми не являются) вы ничего не выигрываете. Если при обоих сценариях факторы роста денег и размеры налога одинаковы, то не имеет никакого значения, когда вам платить налоги — авансом или в конце периода.
Пожалуйста, не принимайте эти математические рассуждения за финансовый совет. Тем, кто сталкивается с решением подобных проблем, нужно учитывать, что в реальной жизни все не так просто. После выхода на пенсию вы предполагаете оказаться в верхней или нижней точке налоговой шкалы? Намерены ли вы полностью обнулить свой банковский депозит? Как думаете, правительство изменит налоговую политику при снятии денег со счетов к тому времени, когда вы соберетесь их взять, или нет? Но хватит об этом. И не поймите меня неправильно, это все важно и для меня, но здесь я пытаюсь сосредоточиться на более простых математических задачах и просто хочу показать, что коммутативный закон имеет отношение к анализу таких решений.
Об этом ведутся горячие споры на различных финансовых сайтах в интернете. Но даже после того как была показана актуальность коммутативных законов, некоторые блогеры с этим не согласились. Что, по большому счету, противоречит здравому смыслу.
Возможно, мы запрограммированы не доверять коммутативному закону, потому что в повседневной жизни, как правило, имеет значение то, что мы делаем в первую очередь. Нельзя одновременно брать кусок пирога и есть его. И снимать ботинки и носки тоже нужно в правильной последовательности.
Физик Мюррей Гелл-Манн как-то в ходе тревожных размышлений о своем будущем тоже пришел к аналогичному выводу. Закончив Йельский университет, он отчаянно хотел остаться в Лиге плюща[4]. К сожалению, в Принстон его не приняли. В Гарвард взяли, но без финансовой помощи он протянул бы ноги. Лучшим из возможных вариантов оказался Массачусетский технологический институт (но он не входил в Лигу плюща). В глазах амбициозного Гелл-Манна это учебное заведение было не очень престижным. Тем не менее он принял предложение. Много лет спустя он признался, что в тот момент подумывал о самоубийстве, но решил этого не делать, как только понял, что посещение Массачусетского технологического института и самоубийство нельзя переставить (поменять местами)12. Он мог бы пойти учиться в Массачусетский технологический институт, а потом убить себя, но не наоборот.
Гелл-Манна, вероятно, впечатлила важность принципа коммутативности. Но в квантовой физике он бы обнаружил, что на самом глубинном уровне природа не подчиняется коммутативному закону. И это тоже хорошо, поскольку благодаря нарушению коммутативного закона мир таков, каков он есть. Именно поэтому материя является твердой и атомы не разрушаются.
Еще на заре появления квантовой механики13 Вернер Гейзенберг и Поль Дирак обнаружили, что в природе p × q ≠ q × p, где p и q — импульс и координата квантовой частицы. Без этого нарушения коммутативного закона не было бы принципа неопределенности Гейзенберга, атомы бы взорвались и ничего не существовало бы.
Вот почему вам лучше позаботиться о своих p и q. И наказать делать это своим детям.
5. Деление и его проблемы
Через все повествование о числовых основах математики красной нитью проходит одна идея. Речь идет о создании (или поиске) все более универсальных чисел.
Нам достаточно натуральных чисел 1, 2, 3 и т. д., если нужно что-то сосчитать, сложить или перемножить. Но как только мы переходим к вычитанию, мы вынуждены создать новый вид числа — ноль, а также отрицательные числа. Эта расширенная вселенная чисел, называемых целыми, так же замкнута, как и натуральные числа, но она более мощная, поскольку охватывает еще и результаты операции вычитания[5].
Новый кризис наступает при попытке выполнить математическую операцию деления. Деление целого числа без остатка не всегда возможно... если мы не расширим вселенную чисел еще раз, своевременно изобретя дроби. Дроби — это отношение целых чисел, следовательно, их математическое название — рациональные числа. К сожалению, это то место, где многие студенты бьются головой о математическую стенку.
Есть много непонятных вещей, связанных с делением и его последствиями, но, пожалуй, больше всего выводит из себя существование множества различных способов, чтобы описать часть целого.
Разрезав торт, прослоенный шоколадом, ровно посередине на две равные части, вы, скорее всего, скажете, что каждая часть равна половине торта. Или можете выразить ту же идею дробью 1/2, что означает «1 из 2 равных частей». (Косая черта между 1 и 2 визуально напоминает, что что-то разрезали.) Третий способ выражения — сказать, что каждая часть составляет 50% от целого, что буквально означает «50 частей из 100». Всего этого было бы уже достаточно, но есть еще один вариант — представить идею в десятичной системе счисления и описать каждую часть как 0,5 от всего торта.
Такое обилие выбора, возможно, отчасти становится причиной недоумения, которое многие из нас испытывают, сталкиваясь с дробями, процентами и десятичными дробями. Ярким примером этому служит фильм «Моя левая нога» (My Left Foot), подлинная история мужественного ирландского писателя, художника и поэта Кристи Брауна. Он родился в большой рабочей семье и страдал от церебрального паралича, не мог говорить и контролировать свои конечности, кроме левой ноги. В детстве его часто называли умственно отсталым, особенно отец, который злился на сына и жестоко с ним обращался.
В ключевой сцене фильма семья сидит за столом. Одна из старших сестер Кристи делает домашнее задание по математике, устроившись рядом с отцом. Кристи, как обычно, сидит в углу комнаты, вертясь на кресле. Его сестра нарушает тишину. «Что такое 25% от четверти?» — спрашивает она. Отец обдумывает вопрос. «Двадцать пять процентов от четверти? Ух-х-х... Дурацкий вопрос, а? В смысле 25% — это и есть четверть. Вы не можете иметь четверть четверти». Сестра отвечает: «Можем. Кристи, разве у тебя не так?» Отец хмыкает: «Ха! Да что он знает?!»
Действительно, удел Кристи — пытаться захватить кусочек мела пальцами левой ноги. Прижав мел к грифельной доске, которая лежит на полу, мальчик сумел нацарапать каракуль, похожий на цифру 1, затем косую черту и еще что-то непонятное. Это число 16, но задом наперед. Расстроенный, он стирает пяткой 6 и пробует снова, но на этот раз мел движется слишком далеко, пересекая 6 и превращая ее во что-то невразумительное. «Это просто какие-то нервные загогулины», — ехидничает отец, отворачиваясь. Кристи закрывает глаза и откидывается, совершенно обессиленный14.
Кроме мощного драматического воздействия, эта сцена поражает принципиальной жесткостью отца. Непонятно, почему он так убежден, что нельзя иметь четверть четверти? Может быть, он думает, что четверть можно взять только от целого или от чего-то, состоящего из четырех равных частей. Но он не в состоянии понять, что все делится на четыре равные части. В случае если объект уже является четвертью чего-то, его четыре равные части будут выглядеть следующим образом:
Так как эти 16 тонких ломтиков составят целый объект, каждый ломтик, то есть 1/16 от целого, и является ответом, который Кристи пытался нацарапать.
Другой случай такой же психической жесткости, но в современном мире цифровых технологий, обошел несколько лет назад весь интернет. Обиженный клиент по имени Джордж Ваккаро записал и разместил в сети свой телефонный разговор с двумя сотрудниками компании Verizon Wireless. Ваккаро жаловался на то, что ему обещали взимать плату за использование данных в размере 0,002 цента за килобайт, но в полученном счете он обнаружил, что с него взяли по тарифу 0,002 доллара за килобайт (в 100 раз больше). Последовавшая за этим беседа возглавила рейтинг лучших пятидесяти комедийных роликов в YouTube.15
Вот разговор, который происходит примерно в середине записи между Ваккаро и Андреа, дежурным менеджером компании Verizon Wireless:
В. Признаете ли вы, что есть разница между одним долларом и одним центом?
А. Определенно.
В. Вы согласны, что между половиной доллара и половиной цента тоже есть разница?
А. Конечно.
В. Тогда вы наверняка признаете и существование разницы между 0,002 доллара и 0,002 цента?
А. Нет
В. Нет?
А. Я имею в виду, есть разница... но нет 0,002 доллара.
А. Нет
В. Нет?
А. Я имею в виду, есть разница... но нет 0,002 доллара.
Несколько мгновений спустя Андреа говорит: «Очевидно, что доллар можно представить как “одну десятую и ноль, ноль”, правильно? Но, чтобы “ноль, запятая, ноль, ноль и два”, так?.. Я никогда не слышал о 0,002 доллара. Это просто неполный цент».
Неумение преобразовывать доллары в центы — это только часть проблемы Андреа. Основная его беда в том, что он не способен представить себе их части.
Из личного опыта могу сказать, что так происходит из-за заблуждений в отношении десятичных дробей. В восьмом классе мисс Стэнтон начала учить нас преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные. При делении в столбик мы обнаружили, что некоторые дроби могут быть представлены в виде десятичных, оканчивающихся нулями. Например, 1/4 = 0,2500... ее можно переписать как 0,25, поскольку все нули справа не имеют значения. Другие дроби при преобразовании дают десятичные дроби с повторяющимися в конце цифрами, как, например (цифра 3 в периоде),
5/6 = 0,8333...
Моей любимой была дробь 1/7; в ней при преобразовании в десятичную дробь повторялись каждые шесть цифр (шесть цифр в периоде):
1/7 = 0,142857142857...
Недоумение возникло, когда мисс Стэнтон сказала, что если умножить на 3 обе части простого равенства
1/3 = 0,3333...,
то 1 должна равняться 0,9999...
Я возразил, что это неверно. Неважно, сколько девяток написала бы она, я мог бы поставить столько же нулей после 1,0000... а затем, если вычесть ее число из моего, всегда оставалась бы какая-нибудь маленькая разность вроде 0,0000...0116.
Так же как отец Кристи и представитель Verizon, я не мог принять то, что мне только что доказали. Я видел, что это правильный логичный вывод, но отказывался его принимать. (Это может напомнить вам кое-кого из ваших знакомых.)
Насколько бурно человек реагирует в подобной ситуации, зависит от его нервной системы. Но вернемся снова в класс мисс Стэнтон. И все-таки, почему же мы считали десятичными только периодические десятичные дроби? Легко составить подходящий пример. Вот он:
0,12122122212222...
Последовательность подобрана так, чтобы ряд двоек в каждом периоде по мере продвижения вправо был длиннее. Такую дробь невозможно преобразовать в обыкновенную, то есть в отношение двух целых чисел. Можно доказать, что обыкновенные дроби всегда преобразуются в конечные или периодические десятичные дроби. А так как эта десятичная дробь не является ни периодической, ни конечной, то она не может быть равна отношению некоторых целых чисел. Поэтому данное число иррационально.
Учитывая, что показанное десятичное число подобрано специально, можно было бы предположить, что такие числа встречаются крайне редко. Но на самом деле подобное число типично. В определенном смысле можно сказать, что почти все десятичные числа — это иррациональные числа17. А повторяющиеся цифры в их записи можно рассматривать как статистически случайные.
Как только вы принимаете эти удивительные факты, все приходит в хаос и беспорядок. Целые числа и обыкновенные дроби, столь любимые и знакомые, становятся редкими и экзотичными. Вы, конечно, когда-нибудь и где-нибудь видели безобидную числовую ось. Но никто и никогда не говорил вам, что хаос скрывается именно там!
6. Твердая позиция
Я проходил мимо статуи Эзры Корнелла[6] сотни раз, даже не взглянув на покрытую зеленой патиной фигуру, но однажды остановился, чтобы лучше рассмотреть ее.18
Эзра выходит на улицу, исполненный гордого достоинства, в длинном пальто, жилете и сапогах. В правой руке он держит помятую широкополую шляпу и опирается на трость. Памятник производит впечатление непритязательности и обезоруживающей прямоты, какой, судя по всему, отличался в жизни и сам увековеченный в бронзе человек.
И именно поэтому так диссонируют с общим обликом памятника даты жизни Эзры. Они высечены на постаменте напыщенными римскими цифрами:
EZRA CORNELL
MDCCCVII–MDCCCLXXIV
Почему бы просто не написать 1807–1874? Римские цифры выглядят впечатляюще, но они трудно читаются и громоздки. У Эзры не хватило бы терпения прочесть их.
Найти хороший способ представления чисел всегда было сложно. Уже на заре цивилизации люди пробовали различные системы записи чисел19 и проводили с их помощью подсчеты, будь то в торговле, измерении земельных наделов или пересчете скота в стаде.
Что объединяет почти все эти системы, так это то, что в них глубоко укоренились особенности анатомического строения человека. Из-за капризов эволюции у нас по пять пальцев на каждой руке. Этот анатомический факт отражается в примитивной системе подсчета, например число 17 записывается в виде:
Здесь каждая вертикальная черточка в каждой группе заменяет палец. Может быть, косая черта изображала большой палец, лежащий на остальных четырех пальцах, сжатых в кулак?
Римские цифры20 лишь немного сложнее, чем счет на пальцах. Вы можете определить след счета на пальцах в способе написания римлянами чисел 2 и 3 как II и III. Косая черта находит отражение в форме римского числа 5 как V. Но 4 — особый случай. Иногда цифра пишется как IIII, хотя чаще как IV. Расположение в IV меньшего числа (I) слева от большего (V) означает, что вы должны вычесть I, вместо того чтобы прибавить, как если бы она стояла справа. Таким образом, IV обозначает 4, в то время как VI — 6.
Вавилоняне21 не были настолько привязаны к своим пальцам. Их система счисления основывалась на числе 60, в чем отразился их безупречный вкус, так как 60 — исключительно приятное число. Его красота внутренняя и не имеет ничего общего с человеческой анатомией22. Шестьдесят — это наименьшее число, которое можно разделить нацело (без остатка) на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. И это только начало (есть еще делители 10, 12, 15, 20 и 30). Из-за своей уникальной делимости число 60 куда более приемлемо, чем 10, для любого вида расчетов или измерений, которые представляют собой деление на равные части. Когда мы делим час на 60 минут, или минуту на 60 секунд, или полный круг на 360 градусов, то питаемся идеями мудрецов Древнего Вавилона.
Но самое большое наследие вавилонян — это идея, которая сегодня нам настолько привычна, что мало кто из нас может оценить всю ее тонкость и гениальность.
Чтобы проиллюстрировать эту идею, давайте рассмотрим привычную для нас индо-арабскую систему счисления, которая основана на той же идее в ее современном воплощении. Вместо 60 она базируется на десяти символах: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и, что самое замечательное, 0. Они называются цифрами, естественно, от латинского слова «пальцы»[7].
Основное новшество в том, что, хотя эта система основана на числе 10, для него не зарезервировано никакого отдельного символа. Десять — это позиция цифр 1 и 0, их расположение, а не отдельный символ. То же самое справедливо для чисел 100 или 1000 и любых других, производных от 10. Их особый статус определяется не каким-либо символом, а местоположением составляющих их цифр. Такая система представления чисел называется позиционной системой счисления.
Здесь четко виден контраст между элегантной позиционной системой и более грубым подходом, используемым в римских цифрах. Вы хотите число десять? У нас есть 10. Это римское X. Аналогично получаем 100 (римское С) и 1000 (римское M). Также нетрудно получить десятичные представления для римских семей пятерок: римское V — число 5, римское L — число 50 и римское D — число 500.
В системе римских цифр возвышаются только несколько избранных чисел. Им дают собственную символику, а все остальные «второразрядные» числа представляются в виде их комбинаций.
К сожалению, римские цифры скрипели и стонали, когда сталкивались с чем-то большим, чем несколько тысяч. Чтобы обойти эту проблему, средневековые ученые (по-прежнему использовавшие римские цифры) для определения чисел, которые в тысячу раз больше имеющихся, прибегали к наложению на уже существующие числа новых символов — верхней черты. Например, означает десять тысяч, а — тысячу тысяч, или, другими словами, миллион. Умножение на миллиард (тысячу миллионов) встречалось редко, но если бы оно вам когда-нибудь понадобилось, вы всегда смогли бы наложить на еще одну черту. Похоже, веселье с римскими числами никогда не прекращается.
Индо-арабская (позиционная) система счисления позволяет легко и быстро написать любое число независимо от того, насколько оно велико. Причем представлено оно будет все теми же десятью цифрами, нужно просто поставить их в правильную позицию. Более того, обозначения в арабской десятичной системе счисления очень короткие. Например, любое число до одного миллиона можно отобразить шестью или меньшим количеством символов — цифр. Попробуйте сделать это словесно, с помощью черточек или римскими цифрами.
Проще всего обычным людям научиться вычислениям с помощью позиционной системы счисления. Для этого достаточно выучить две таблицы — умножения и ее копию для сложения. И это все, что вам когда-нибудь понадобится. Любые расчеты с любой парой чисел, независимо от того, насколько они большие, можно выполнять с применением этих таблиц.