Подобного рода возражения или сомнения имеют своим источником единственно лишь обыденное неопределенное представление, согласно которому линия состоит из бесконечного множества точек, плоскость - из бесконечного множества линий, и т. д.; этим представлением затушевывается сущностная определенность величины линий или плоскостей. - Целью настоящих примечаний было раскрыть те утвердительные определения, которые при различном применении бесконечно малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их от того тумана, в который их закутывает эта считающаяся чисто отрицательной категория. В бесконечном ряде, как, например, в Архимедовом измерении круга, "бесконечность" означает только то, что закон дальнейшего определения известен, но так называемое конечное, т. е. арифметическое выражение, не дано, сведение дуги к прямой линии не осуществимо; эта несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще содержит также и отрицательное определение, ввиду которого они выступают как несоизмеримые и которое влечет за собой бесконечное в том смысле, что непрерывное, долженствующее быть принятым за дискретное, по своей непрерывной определенности не должно уже иметь определенное количество. Непрерывное, которое арифметически должно быть принято за произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они суть эти множители или элементы, они имеют низшее измерение, а поскольку появляется степенная определенность, имеют более низкую степень, чем та величина, элементами и множителями которой они служат. Арифметически это различие обнаруживается как чисто количественное различие, как различие корня и степени или какой-нибудь другой степенной определенности. Но если это выражение имеет в виду лишь количественное, как таковое, например, а : а2 или а-а2 = 2а : а2 = 2 : а, или для закона падения тел t: at1, то оно дает лишь ничего не говорящие отношения 1 : а, 2 : а, 1: at; в противоположность своему чисто количественному определению члены отношения должны были быть удержаны врозь своим различным качественным значением, как, например, s : аt2, где величина выражена как некоторое качество, как функция величины некоторого другого качества. При этом сознание имеет перед собой лишь количественную определенность, над которой легко производятся подобающие действия, и можно спокойно умножать величину одной линии на величину другой; но в результате умножения этих самых величин получается также качественное изменение - переход линии в плоскость, поскольку появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность, которую можно устранить, если уразуметь особенность этого определения и простую суть дела; но введением бесконечного, от которого ожидается ее устранение, эта трудность скорее только запутывается еще больше и оставляется совершенно непреодоленной.
Глава третья
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS QUANTITATIVE VERHALTNIS)
Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она есть его отрицательное потустороннее, которое, однако, оно имеет в самом себе. Это потустороннее есть качественное вообще. Бесконечное определенное количество как единство обоих моментов - количественной и качественной определенностей - есть прежде всего отношение.
В отношении определенное количество уже не обладает лишь безразличной определенностью, а качественно определено как всецело соотнесенное со своим потусторонним. Оно продолжает себя, переходя в свое потустороннее; последнее есть прежде всего некоторое другое определенное количество вообще. Но по своему существу они не соотнесены друг с другом как внешние определенные количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с иным. Они, таким образом, в этом своем инобытии возвращены в себя; то, что каждое из них есть, оно есть в ином; иное составляет определенность каждого из них. - Смысл выхождения определенного количества за свои пределы состоит теперь, стало быть, не в том, что оно изменяется лишь в некоторое иное
или в свое абстрактное иное, в свое отрицательное потустороннее, а в том, что в этом ином оно достигает своей определенности; оно находит само себя в своем потустороннем, которое есть некое другое определенное количество. Качество определенного количества, определенность его понятия - это его внешность вообще, в отношении же оно положено так, что оно имеет свою определенность в своей внешности, в некоем другом определенном количестве, есть в своем потустороннем то, что оно есть.
Именно определенные количества обладают тем соотношением между собой, которое здесь получилось. Само это соотношение также есть некоторая величина. Определенное количество не только находится в отношении, но оно само положено как отношение; оно некоторое определенное количество вообще, имеющее указанную качественную определенность внутри себя. Таким образом, как отношение оно выражает себя как замкнутую в себе тотальность и свое безразличие к границе выражает тем, что внешность своей определенности оно имеет внутри самого себя и в этой внешности соотнесено лишь с собой и, следовательно, бесконечно в самом себе.
Отношение вообще есть
1) прямое отношение. В нем качественное еще не выступает наружу, как таковое, само по себе. Оно положено здесь пока что только в виде (Weise) определенного количества, положено имеющим свою определенность в самой своей внешности. - Количественное отношение есть в себе противоречие между внешностью и соотношением с самим собой, между устойчивым существованием определенных количеств и отрицанием их. Это противоречие снимает себя, поскольку прежде всего
2) в непрямом отношении полагается отрицание одного определенного количества, как таковое, также при изменении другого и изменчивость самого прямого отношения;
3) в степенном же отношении соотносящаяся в своем различии с самой собой единица выступает как простое самопродуцирование определенного количества. И, наконец, само это качественное, положенное в простом определении и как тождественное с определенным количеством, становится мерой.
О природе излагаемых ниже отношений многое уже было сказано в предыдущих примечаниях, касающихся бесконечного в количестве, т. е. качественного момента в последнем; остается поэтому лишь разъяснить абстрактное понятие этих отношений.
А. ПРЯМОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS DKEKTE VERHALTHIS)
1. В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение, определенность одного определенного количества заключается в определенности другого определенного количества и наоборот. Имеется лишь одна определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество, - показатель (Exponent) отношения.
2. Показатель есть некоторое определенное количество. Но в своей внешности он соотносящий с собой в самом себе качественно определенный квант лишь постольку, поскольку он в самом себе имеет отличие от себя, свое потустороннее и инобытие. Но это различие определенного количества в самом себе есть различие единицы и численности; единица есть самостоятельная определенность (Fur sich Bestimmtsein), численность же - безразличное движение по отношению к определенности, внешнее безразличие определенного количества. Единица и численность были сначала моментами определенного количества; теперь в отношении, поскольку оно реализованное определенное количество, каждый из его моментов выступает как собственное определеннное количество, и оба - как определения его наличного бытия, как ограниченная по отношению к определенности величины, которая помимо этого есть лишь внешняя, безразличная определенность.
Показатель есть это различие как простая определенность, т. е. он имеет непосредственно в самом себе значение обоих определений. Он есть, во-первых, определенное количество; в этом смысле он численность; если один из членов отношения, принимаемый за единицу, выражен численной единицей -а ведь он считается лишь таковой единицей, - то другой член, численность, есть определенное количество самого показателя. Во-вторых, показатель есть простая определенность как качественное в членах отношения; если определенное количество одного из членов определено, то и другое определенное количество определено показателем, и совершенно безразлично, как определяется первое; оно как определенный сам по себе квант не имеет уже никакого значения и может с таким же успехом быть также любым другим определенным количеством, не изменяя этим определенности отношения, которая зависит только от показателя. Одно определенное количество, принимаемое за единицу, как бы велико оно ни стало, всегда остается единицей, а другое определенное количество, как бы велико оно при этом ни стало, непременно должно оставаться одной и той же численностью указанной единицы.
Отношение вообще есть
1) прямое отношение. В нем качественное еще не выступает наружу, как таковое, само по себе. Оно положено здесь пока что только в виде (Weise) определенного количества, положено имеющим свою определенность в самой своей внешности. - Количественное отношение есть в себе противоречие между внешностью и соотношением с самим собой, между устойчивым существованием определенных количеств и отрицанием их. Это противоречие снимает себя, поскольку прежде всего
2) в непрямом отношении полагается отрицание одного определенного количества, как таковое, также при изменении другого и изменчивость самого прямого отношения;
3) в степенном же отношении соотносящаяся в своем различии с самой собой единица выступает как простое самопродуцирование определенного количества. И, наконец, само это качественное, положенное в простом определении и как тождественное с определенным количеством, становится мерой.
О природе излагаемых ниже отношений многое уже было сказано в предыдущих примечаниях, касающихся бесконечного в количестве, т. е. качественного момента в последнем; остается поэтому лишь разъяснить абстрактное понятие этих отношений.
А. ПРЯМОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS DKEKTE VERHALTHIS)
1. В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение, определенность одного определенного количества заключается в определенности другого определенного количества и наоборот. Имеется лишь одна определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество, - показатель (Exponent) отношения.
2. Показатель есть некоторое определенное количество. Но в своей внешности он соотносящий с собой в самом себе качественно определенный квант лишь постольку, поскольку он в самом себе имеет отличие от себя, свое потустороннее и инобытие. Но это различие определенного количества в самом себе есть различие единицы и численности; единица есть самостоятельная определенность (Fur sich Bestimmtsein), численность же - безразличное движение по отношению к определенности, внешнее безразличие определенного количества. Единица и численность были сначала моментами определенного количества; теперь в отношении, поскольку оно реализованное определенное количество, каждый из его моментов выступает как собственное определеннное количество, и оба - как определения его наличного бытия, как ограниченная по отношению к определенности величины, которая помимо этого есть лишь внешняя, безразличная определенность.
Показатель есть это различие как простая определенность, т. е. он имеет непосредственно в самом себе значение обоих определений. Он есть, во-первых, определенное количество; в этом смысле он численность; если один из членов отношения, принимаемый за единицу, выражен численной единицей -а ведь он считается лишь таковой единицей, - то другой член, численность, есть определенное количество самого показателя. Во-вторых, показатель есть простая определенность как качественное в членах отношения; если определенное количество одного из членов определено, то и другое определенное количество определено показателем, и совершенно безразлично, как определяется первое; оно как определенный сам по себе квант не имеет уже никакого значения и может с таким же успехом быть также любым другим определенным количеством, не изменяя этим определенности отношения, которая зависит только от показателя. Одно определенное количество, принимаемое за единицу, как бы велико оно ни стало, всегда остается единицей, а другое определенное количество, как бы велико оно при этом ни стало, непременно должно оставаться одной и той же численностью указанной единицы.
3. Согласно этому, оба они составляют, собственно говоря, лишь одно определенное количество; одно определенное количество имеет по отношению к другому лишь значение единицы, а не численности; другое имеет лишь значение численности; стало быть, по определенности своего понятия они сами не полные определенные количества. Но эта неполнота есть отрицание в них и притом отрицание не со стороны их изменчивости вообще, сообразно которой одно (а каждое из них есть одно из двух) может принимать всевозможные величины, а со стороны того определения, что если одно изменяется, то и другое настолько же увеличивается или уменьшается; это, как мы показали, означает: лишь одно, единица, изменяется как определенное количество, другой же член, численность, остается тем же определенным количеством единиц, но и первый член сохраняет значение лишь единицы, как бы он ни изменялся как определенное количество. Каждый член есть, таким образом, лишь один из этих двух моментов определенного количества, и самостоятельность, относящаяся к его отличительным свойствам, подверглась в себе отрицанию', в этой качественной связи они должны быть положены один по отношению к другому как отрицательные.
Показатель, согласно сказанному выше, есть полное определенное количество, так как в нем сходятся определения обоих членов [отношения ]; но на самом деле он как частное сам имеет лишь значение либо численности, либо единицы. Нет ничего, что определяло бы, какой из членов отношения должен быть принят за единицу и какой - за численность; если один из них, определенное количество В, измеряется определенным количеством А как единицей, то частное С есть численность таких единиц; но если взять само А как численность, то частное С есть единица, требуемая при численности А для определенного количества В; тем самым это частное как показатель положено не как то, чем оно должно быть, - не как то, что определяет отношение, или как его качественная единица. Как последняя оно положено лишь постольку, поскольку оно имеет значение единства обоих моментов, единицы и численности. Так как эти члены [отношения], хотя они и даны как определенные количества такими, какими они должны быть в развернутом определенном количестве, в отношении, все же при этом даны лишь в том значении, которое они должны иметь как его члены, [т. е. ] суть неполные определенные количества и считаются лишь одним из указанных качественных моментов, то они должны быть положены с этим их отрицанием; благодаря этому возникает более реальное, в большей мере соответствующее его определению отношение, в котором показатель имеет значение произведения членов отношения; по этой определенности оно есть обратное отношение.
В. ОБРАТНОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS UMGEKEHRTE VERHALTNIS)
1. Отношение, как оно получилось теперь, есть снятое прямое отношение; оно было непосредственным и, стало быть, еще не истинно определенным; теперь же определенность прибавилась к нему так, что показатель считается произведением, единством единицы и численности. Со стороны его непосредственности его можно было (как было показано выше) брать безразлично - и как единицу, и как численность, вследствие чего он и был дан
лишь как определенное количество вообще и, стало быть, преимущественно как численность; одна сторона была единицей, и ее следовало брать как одно, а другая сторона - ее неизменной численностью, которая в то же время есть и показатель; качество последнего состояло, следовательно, лишь в том, что это определенное количество брали как неизменное или, вернее, неизменное имело лишь смысл определенного количества.
В обратном же отношении показатель и как определенное количество есть нечто непосредственное и принимаемое за неизменное. Но это определенное количество не есть неизменная численность для единицы, другого определенного количества в отношении; это ранее неизменное отношение теперь скорее положено как изменчивое; когда в качестве "одного" какого-то из членов [обратного отношения ] берут другое определенное количество, тогда другой член [отношения] уже не остается той же самой численностью единиц первого члена. В прямом отношении эта единица есть лишь то, что обще обоим членам (nur das Gemeinschaftliche beider Seiten); как таковая, она переходит в другой член, в численность; сама численность, взятая особо, или, иначе говоря, показатель, безразлична к единице.
Но при той определенности отношения, какую мы имеем теперь, численность, как таковая, изменяется по отношению к единице, для которой она другой член отношения; если мы берем в качестве единицы какое-нибудь определенное количество, то численность становится другой. Поэтому, хотя показатель и есть лишь непосредственное определенное количество, лишь произвольно принимаемое за неизменное, но он не сохраняется, как таковое, в стороне отношения, и эта сторона, а тем самым и прямое отношение сторон изменчивы. Поэтому в рассматриваемом теперь отношении показатель, как определяющее определенное количество, положен отрицательно по отношению к себе как к определенному количеству отношения, положен тем самым как качественный, как граница, так что качественное выступает особо, отличным от количественного. - В прямом отношении изменение обоих членов есть лишь одно изменение определенного количества, каковым берется единица, которая есть то, что обще [обеим сторонам отношения], и, следовательно, во сколько раз одна сторона увеличивается или уменьшается, во столько же раз увеличивается или уменьшается также и другая; само отношение безразлично к этому изменению; последнее внешне ему. В обратном же отношении изменение, хотя оно в соответствии с безразличным количественным моментом также произвольно, удерживается внутри отношения, и это произвольное количественное выхождение также подвергается ограничению отрицательной определенностью показателя как некоторой границей.