Дорога, показанная на рисунке выше, имеет постоянный градиент. Однако в действительности градиент большинства дорог представляет собой переменную величину. Такие дороги то набирают крутизну, то выравниваются, то снова устремляются вверх. Для того чтобы найти на них градиент любой точки (другими словами, кривой), необходимо провести в этой точке касательную и определить ее градиент. Касательная — линия, которая соприкасается с кривой в этой точке, но не пересекает ее (слово tangent («касательная») происходит от латинского tangere («касаться»)). На представленном ниже рисунке кривой с переменным градиентом я обозначил точку Р и провел в ней касательную. Для того чтобы найти ее градиент, нужно нарисовать прямоугольный треугольник, который покажет нам изменение высоты a при смещении по горизонтали, равном b, а затем рассчитать отношение a/b. Размер треугольника не имеет значения, поскольку соотношение высоты и ширины останется неизменным. Градиент в точке Р — это градиент касательной в точке Р, равный a/b.
Вернемся к описанию экспоненциальных кривых: чем дальше мы перемещаемся по ним, тем круче они становятся. Другими словами, чем выше по кривой вы пройдете, тем больше будет градиент. В действительности мы можем сделать еще более смелое заявление: для всех экспоненциальных кривых градиент неизменно представляет собой определенный процент от высоты. Но здесь возникает очевидный вопрос: что такое «кривая Златовласки», для которой значения градиента и высоты всегда равны?
Оказывается, такая «правильная» кривая описывается уравнением:
y = (2,7182818284…)x
Как показано на рисунке ниже, когда высота равна 1, градиент тоже равен 1, когда высота равна 2, градиент равен 2, когда высота равна 3, градиент равен 3 и т. д. Следовательно, когда высота равна числу π, градиент равен π; когда высота равна миллиону, градиент тоже равен миллиону. В любой точке кривой два ее фундаментальных свойства, высота и градиент, равны друг другу и повышаются вместе, как взлетающие в небо возлюбленные на картине Шагала.
Кривая y = ex: высота точки на кривой всегда равна градиенту в этой точке
Однако геометрическая красота этой кривой вступает в противоречие с ее уродливым порождением — хаотичной совокупностью цифр десятичного числа, начинающейся с 2,718 и продолжающейся до бесконечности без повторений. Для удобства обозначим это число буквой e и назовем его экспоненциальной константой. Это вторая самая известная математическая константа после π. Однако, в отличие от числа π, которое изучают уже на протяжении тысячи лет, число e появилось сравнительно недавно.
Говорят, что, когда Альберта Эйнштейна спросили, что он считает величайшим открытием всех времен, он с иронией ответил: «Сложный процент». Возможно, на самом деле этого диалога никогда не было, но он вошел в городскую мифологию, поскольку именно такой шутливый ответ мы хотели бы услышать. Процент — это денежный сбор, который вы платите, когда берете деньги в долг, или получаете, когда даете их взаймы. Как правило, размер данного сбора составляет определенный процент от суммы, взятой или предоставленной в долг. Простой процент — это конкретная сумма денег, которая выплачивается на первоначальную сумму и остается неизменной при каждом очередном периоде выплаты процентов. Так, если банк назначает простой процент в размере 20 процентов годовых по кредиту в объеме 100 фунтов стерлингов, то через год долг составит 120 фунтов, через два года — 140 фунтов, через три года — 160 фунтов и т. д. Однако в случае сложного процента сумма процентных платежей рассчитывается за каждый очередной период с учетом начисленных процентов, другими словами — на накопленную сумму долга. То есть если банк назначает сложный процент в размере 20 процентов годовых, кредит в объеме 100 фунтов превратится через год в 120 фунтов, через два года это будет уже 144 фунта, через три — 172,8 фунта и т. д. Эти суммы рассчитаны следующим образом.
Первый год:
долг + проценты = £100 + (£100 × ) = £120
Второй год:
накопленный долг + проценты = £120 + (£120 × ) = £144
Третий год:
накопленный долг + проценты = £144 + (£144 × ) = £172,8
И так далее.
Сложный процент растет гораздо быстрее, чем простой, поскольку он увеличивается по экспоненте. Прибавление Х процентов к основной сумме долга равносильно умножению на , а значит, представленные выше расчеты можно записать и в такой форме.
Первый год:
£100 + (1 + )
Второй год:
£100 (1 + ) × (1 + ) = £100 (1+ )2
Третий год:
£100 (1 + )2 × (1 + ) = £100 (1 + )3
Это и есть последовательность, подчиняющаяся экспоненциальному закону.
Кредиторы издавна отдают предпочтение сложному проценту перед простым. Действительно, в одной из самых первых задач в математической литературе, записанной на месопотамской глиняной табличке, датируемой 1700 годом до н. э., спрашивается, сколько времени уйдет на удвоение суммы, если проценты накапливаются при ставке 20 процентов годовых. Одна из причин привлекательности банковского дела состоит в том, что сложный процент увеличивает долг или ссуду в геометрической прогрессии, а это значит, что вскоре вы должны будете либо выплатить, либо, наоборот, заработать баснословную сумму. Римляне осуждали начисление сложного процента как худшую форму ростовщичества. В Коране это считается грехом. Тем не менее глобальная финансовая система полагается в своей деятельности на эту практику. Именно так рассчитываются остатки на наших банковских счетах, проценты по кредитным картам и платежи по ипотечным кредитам. Сложный процент был главным катализатором экономического роста с самого начала развития нашей цивилизации.
В конце XVII столетия швейцарский математик Якоб Бернулли задал достаточно простой вопрос по поводу сложного процента. Какова зависимость между интервалом его начисления и стоимостью кредита? (Якоб был старшим братом Иоганна, с которым мы познакомились в предыдущей главе, когда он призвал самых блестящих математиков мира найти путь наискорейшего спуска.) Что лучше: начислять полную годовую процентную ставку один раз в год, или половину годовой процентной ставки каждые полгода, или двенадцатую часть ставки один раз в месяц, или даже часть ставки каждый день? Интуиция подсказывает, что чем чаще мы начисляем проценты, тем больше процентной прибыли заработаем, что действительно так, поскольку в данном случае деньги работают на нас дольше. Однако я хочу объяснить вам эти расчеты шаг за шагом, поскольку они раскрывают одну интересную математическую закономерность.
Для того чтобы максимально упростить расчеты, давайте исходить из предположения, что сумма депозита составляет 1 фунт стерлингов и что банк выплачивает на него проценты по ставке 100 процентов годовых. Через год стоимость депозита удвоится и будет равна 2 фунтам.
Если же мы сократим вдвое процентную ставку и интервал начисления процентов, то получим ставку 50 процентов, которая начисляется за год дважды.
Следовательно, через шесть месяцев наш депозит вырастет до такой суммы:
£1 (1 + ) = £1,50
Через год сумма депозита составит:
£1 (1+ ) × (1+ ) = £1 (1 + )2 = £2,25
Следовательно, начисляя проценты каждые полгода, мы заработаем на 25 пенсов больше.
Аналогично, если процентная ставка составляет 12-ю часть от 100 процентов и есть двенадцать ежемесячных платежей, депозит вырастет до следующей суммы:
£1 (1 + )12 = £2,613
То есть при ежемесячном начислении процентов мы дополнительно получим 61 пенс.
А если процентная ставка составляет 365-ю часть от 100 процентов при наличии 365 ежедневных платежей, то сумма депозита будет:
£1 (1 + )365 = £2,7146
В этом случае мы зарабатываем дополнительно 71 пенс.
Закономерность очевидна. Чем больше интервалов начисления процентов, тем больше дохода приносят вложенные деньги. Но насколько далеко мы можем продвигать этот процесс? Якоб Бернулли хотел знать, есть ли какой-либо предел увеличения суммы, если интервалы начисления процентов будут становиться все меньше и меньше.
Как мы уже видели, если разделить годовую процентную ставку на n и начислять ее n раз, баланс на конец года в фунтах составит:
(1 + )n
(1 + )n
Если сформулировать вопрос Бернулли в алгебраической форме, то он прозвучит так: что произойдет со значением этого выражения, если n будет стремиться к бесконечности? Оно тоже будет увеличиваться до бесконечности или приблизится к конечному пределу? Мне нравится визуализировать эту задачу в виде своего рода «перетягивания каната» по горизонтальной оси графика. Чем больше значение n, тем меньше значение (1 + ), что перетягивает все выражение в левую сторону. С другой стороны, показатель степени n тянет все выражение вправо, поскольку чем больше раз вы умножаете то, что находится в скобках, тем больше итог. В начале соревнования побеждает показатель степени, так как мы уже видели, что когда n равно 1, 2, 12 и 365, значение (1 + )n увеличивается от 2 до 2,25, затем до 2,613 и 2,7146. По всей вероятности, вы уже понимаете, к чему мы идем. Когда значение n стремится к бесконечности, в «перетягивании каната» наступает момент равновесия. Бернулли случайно нашел экспоненциальную константу, поскольку при n, приближающемся к бесконечности, значение (1 + )n стремится к числу e.
Сумма депозита в размере 1 фунт стерлингов через год при условии, что ставка 100 процентов годовых начисляется два раза в год, ежемесячно и непрерывно
Проанализируем этот процесс визуально. На представленном выше рисунке отображены три сценария того, что произойдет за год с депозитом в размере 1 фунт стерлингов при годовой ставке 100 процентов, начисляемой пропорционально за разные периоды. Пунктирная линия соответствует начислению процента два раза в год, тонкая линия — один раз в месяц. Чем больше шагов, тем выше поднимаются линии. Когда шаги становятся бесконечно малы, линия превращается в кривую y = ex — эталон экспоненциального роста.
Когда мы говорим, что кривая отображает непрерывное начисление процента, это значит, что сумма нашего депозита увеличивается в каждый момент времени на протяжении года и в конце года составит 2,718 фунта, или число e.
Бернулли открыл число e во время изучения сложного процента [5]. Безусловно, он был бы рад узнать, что его открытие стало краеугольным камнем современной банковской системы (разумеется, с более реалистичными процентными ставками). Причина в том, что британские финансовые учреждения по закону обязаны указывать непрерывно начисляемую процентную ставку по всем продуктам, которые они продают, независимо от того, с какой периодичностью они предпочитают выплачивать проценты — один раз в месяц, два раза в год, один раз в год или как-то еще.
Предположим, банк предлагает депозит под 15 процентов годовых при условии их выплаты один раз в год. Это означает, что через год депозит в размере 100 фунтов стерлингов вырастет до 115 фунтов. Если эти 15 процентов начислять непрерывно, то согласно формуле, полученной на основании свойств числа e, через год наш депозит вырастет до £100 × e15/100, что дает 116,18 фунтов, или годовую процентную ставку 16,18 процента. По закону банк обязан объявить, что по этому депозиту проценты выплачиваются по ставке 16,18 процентов. На первый взгляд может показаться странным, что банкам приходится называть цифры, которые они не используют на практике, однако это правило было введено для того, чтобы клиенты могли сравнить похожие банковские продукты. Как депозит, по которому проценты выплачиваются ежемесячно, так и депозит с выплатой процентов один раз в год, можно оценить по соответствующим ставкам непрерывно начисляемого процента. Практически каждый финансовый продукт включает в себя сложный процент, а каждый расчет непрерывно начисляемого процента содержит число e. Следовательно, экспоненциальная константа — это ключевое число, от которого зависит вся финансовая система.
Но хватит о деньгах. Экспоненциальный рост демонстрируют и многие другие явления, такие как распространение болезни, размножение микроорганизмов, скорость ядерной цепной реакции, увеличение интернет-трафика и фидбэк на электрогитаре. Во всех этих случаях ученые моделируют рост с помощью числа e.
Выше уже шла речь о том, что уравнение y = ax, где a — положительное число, описывает кривую экспоненциального роста. Мы можем представить его так, чтобы в нем присутствовало число e. Математические свойства показателя степени таковы, что член уравнения ax можно записать в виде ekx, где k — некоторое положительное число. Например, кривая последовательности, каждый член которой в два раза больше предыдущего, описывается уравнением y = 2x, но его можно записать и по-другому: y = e0,69x. Аналогичным образом кривая последовательности, каждый член которой втрое больше предыдущего, представлена уравнением y = 3x, что эквивалентно y = e1,099x. Математики предпочитают записывать уравнение y = ax в виде y = ekx, поскольку число e олицетворяет экспоненциальный рост в его чистом виде. Это число упрощает уравнение, делает его элегантнее и облегчает расчеты. Экспоненциальная константа e — важнейший элемент математики роста.
π — первая константа, с которой мы знакомимся в школе; число e изучают гораздо позже, причем только те, кто специализируется на математике. Однако на уровне университетского образования число e занимает доминирующее положение. По чистой случайности вышло так, что e — это также самая распространенная буква в английском языке. Математическая роль числа e имеет свою аналогию в лингвистике. Когда в уравнении присутствует число e, это свидетельствует о расцвете экспоненциального роста, а цветение — признак зарождения жизни. Точно так же буква e привносит жизнь в письменный язык, превращая слова со смежными согласными в удобопроизносимое сочетание звуков.
У экспоненциального роста есть свой антипод — экспоненциальный спад. В его ходе величина многократно уменьшается в одной и той же пропорции. Например, экспоненциальный спад демонстрирует последовательность, каждый член которой в два раза меньше предыдущего:
1, , , , , , …
В случае экспоненциального спада эквивалент концепции периода удвоения — это фиксированный промежуток времени, необходимого для того, чтобы величина уменьшилась в два раза. В частности, в физике этот промежуток обозначается термином «период полураспада». Количество радиоактивных частиц в радиоактивном веществе сокращается по экспоненциальному закону, причем тоже с огромными различиями: период полураспада водорода-7 составляет 0,000000000000000000000023 секунды, тогда как кальция-48 — 40 000 000 000 000 000 000 лет.
Если говорить о примерах из повседневной жизни, то разность между температурой горячего чая и температурой чашки, в которую вы его только что налили, уменьшается по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о снижении атмосферного давления по мере восхождения на гору.
Кривая чистого экспоненциального спада, показанная на рисунке ниже, описывается уравнением y = , которое можно представить и в такой форме: y = e–x. В случае экспоненциального спада градиент всегда имеет отрицательное значение и является величиной, обратной высоте. Кривая спада — это та же экспоненциальная кривая y = ex, отраженная вертикальной осью. У этой кривой есть одно интересное свойство: конечная площадь заштрихованной на рисунке области, ограниченной кривой и вертикальной и горизонтальной осями, равна 1, хотя длина этой области бесконечна, поскольку кривая никогда не достигнет горизонтальной оси.
Кривая экспоненциального спада y =
В майском выпуске журнала Acta Eruditorum 1690 года первооткрыватель числа e Якоб Бернулли снова вернулся к рассмотрению вопроса, над которым математики ломали голову уже целое столетие. Какую геометрическую форму образует кусок шпагата, закрепленный в обоих концах и провисающий под собственной тяжестью? Эта кривая (названная цепной линией — catenary, от латинского слова catena, «цепь») образуется в случае, когда тот или иной материал провисает под действием силы тяжести, как показано на рисунке ниже. Это может быть провисание электрического кабеля, ожерелья, скакалки или бархатного шнура. Поперечное сечение вздымающегося паруса — тоже цепная линия, развернутая на 90 градусов, поскольку ветер дует горизонтально, тогда как сила тяжести действует вертикально. Однако в отличие от многих других сложных математических задач, которые ученые ставили в XVII столетии, Якоб не знал ответа на этот вопрос до того, как поставил его. Год спустя ответ все еще ускользал от него. А через какое-то время решение задачи нашел младший брат Якоба Иоганн. Вы, наверное, подумали, что это стало поводом для большой радости в доме Бернулли, но на самом деле все было далеко не так. Семья Бернулли считалась одной из самых неблагополучных в математике.