Концепция бесконечно малых величин позволила разработать метод определения градиентов, а также найти способ вычисления площадей. Мы уже видели, как Архимед рассчитывал площадь, ограниченную параболой и прямой, суммируя площадь треугольников все меньшего размера, а также как математики эпохи Возрождения усовершенствовали эту методику, разделив площадь на бесконечно малые сегменты. Метод флюксий Ньютона делает возможным определение площади под кривой посредством разделения этой площади на бесконечное количество бесконечно малых вертикальных полос.
Например, зная уравнение кривой С, изображенной на рисунке ниже, с помощью исчисления мы можем вывести уравнение заштрихованной области А между началом координат и точкой х на горизонтальной оси.
Следовательно, при наличии той или иной кривой исчисление предоставляет нам две возможности: вывести уравнение ее градиента или уравнение площади под ней. Но вот что интересно: эти две процедуры носят взаимно обратный характер! Градиент и площадь — это, по сути, одно и то же явление, рассматриваемое под разными углами. Такой поворот сюжета достоин мультсериала «Скуби-Ду»: в последнем акте этой математической драмы оказывается, что два разных персонажа на самом деле представляют собой один и тот же объект. Этот результат, получивший название «основная теорема исчисления», стал одним из самых неожиданных открытий XVII столетия.
Если не вдаваться в детали, эта теорема гласит, что если площадь под кривой С равна А, то градиент кривой А равен С. Чтобы было понятнее, вспомните о том, что кривые, площади и градиенты записываются в виде уравнений. С — это кривая, которая также имеет свое уравнение. С помощью исчисления мы можем вывести уравнение А для площади, лежащей под этой кривой. Основная теорема исчисления гласит, что производная (или градиент) уравнения А равна С.
Давайте посмотрим, как это работает, когда С — это прямая y = 2x, представленная на рисунке ниже. Площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту. (Мы могли бы вывести эту формулу с помощью бесконечно малых величин, но нам не нужно этого делать, поскольку она уже известна.) Следовательно, площадь А под линией от 0 до х равна х/2 × 2x, или x2, что дает уравнение площади под линией А = x2. Но это же уравнение описывает и кривую на рисунке справа — параболу. Вспомните размещенный немного выше график, на котором показано, как определение градиента кривой дает возможность перейти от кривой к прямой линии. На рисунках ниже показано, как вычисление площади под кривой позволяет перейти от прямой к параболе. Следовательно, градиент и площадь — это две стороны одной медали.
Вычисление площади под прямой y = 2x и ее отображение в виде кривой
Исчисление позволяло Ньютону взять уравнение, определяющее положение объекта, и вывести из него другое уравнение, описывающее мгновенное значение скорости этого объекта. Кроме того, благодаря исчислению он мог взять уравнение мгновенного значения скорости объекта и вывести из него другое уравнение, описывающее его положение. Исчисление предоставляло в распоряжение Ньютона те математические инструменты, с помощью которых он разработал законы динамики. Ньютон называл переменные своих уравнений флюентами, а градиенты — флюксиями и обозначал их буквами и с точками сверху.
Когда после двух лет пребывания в Линкольншире Ньютон вернулся в Кембридж, он никому не рассказал о методе флюксий, о чем впоследствии очень сожалел. На континенте над созданием аналогичной системы работал Готфрид Лейбниц, немец по рождению, являющийся человеком вне границ — юристом, дипломатом, алхимиком, инженером и философом. Кроме того, еще и математиком, который придавал большое значение системе обозначений. Символы, введенные им для своей системы, были более понятны, чем символы Ньютона, — именно их мы и используем до сих пор.
Лейбниц ввел обозначения dx и dy для бесконечно малой разности между значениями x и y. Градиент, который представляет собой отношение одной бесконечно малой разности к другой, он записывал как dx/dy. Поскольку Лейбниц употреблял слово difference («разность»), вычисление градиента было обозначено термином «дифференцирование». Кроме того, Лейбниц ввел напоминающий вытянутую букву s символ ∫ для обозначения расчета площади. S — это сокращение от слова summa («сумма»), поскольку, как мы уже видели, площадь рассчитывается как сумма бесконечно большого количества бесконечно малых величин. По рекомендации своего друга Иоганна Бернулли Лейбниц назвал этот метод calculus integralis — интегральное исчисление, а расчет площади стал известен как интегрирование. Преимущество такого длинного (и поддающегося расширению) символа состоит в том, что рядом с ним можно указать значения на горизонтальной оси, ограничивающие рассчитываемую площадь. В таком случае площадь А, показанная на рисунке с кривой С, записывается так:
что читается как «интеграл по С от 0 до x». Введенный Лейбницем символ ∫ — самый величественный символ в математике, напоминающий форму резонаторного отверстия в виолончели или скрипке.
Более двух десятилетий Лейбниц и Ньютон вели уважительную дружескую переписку по поводу бесконечно малых величин [8]. Когда Лейбниц первым опубликовал детали своей системы исчисления, все предположили, что он изобрел ее самостоятельно. Но в 1699 году, через несколько лет после того, как Ньютон обнародовал свой метод флюксий, молодой швейцарский математик, живший в Англии, обвинил Лейбница в краже идей Ньютона. Через пять лет появилась реакция на это заявление: в журнале Acta Eruditorum вышла статья (по всей вероятности, написанная Лейбницем) с предположением о том, что это Ньютон совершил плагиат. Такие перепалки между британским и континентальным научным сообществом становились все ожесточеннее, и эта вражда заполнила все последующие годы жизни Лейбница и Ньютона. Споры по поводу приоритета были в то время далеко не редкостью, но ни в один из них не были вовлечены ученые такого масштаба, и ни один не стал столь гневным и продолжительным. Эта вражда не закончилась даже после их смерти. Великобритания, где из чувства национальной гордости использовали флюксии Ньютона вместо дифференциалов, оказалась изолированной от европейских научных достижений на протяжении лучшей части столетия. Только когда англичане приняли систему обозначений Лейбница и перешли, как писал Огастес де Морган, «от эпохи флюксий с точечными обозначениями к эпохе исчисления с его деизмами», Британия восстановила свой статус в математике [9].
В 1891 году немецкая компания Bahlsen начала выпускать прямоугольное масляное печенье с зубчатыми краями под названием Leibniz — по имени самого известного выходца из Ганновера. По случайному совпадению в тот же год один булочник из Филадельфии сделал свое первое пирожное Fig Newton — рулет с инжирным кремом, названный в честь города Ньютона в штате Массачусетс. Так что в наши дни спор «Ньютон против Лейбница» протекает разве что во время чаепития.
Как мы уже знаем, исчисление состоит из двух процедур: дифференцирование (вычисление градиента) и интегрирование (вычисление площади). Если говорить в общих чертах, то градиент — это скорость изменения одной переменной величины по отношению к другой, а площадь — мера того, в каком количестве накапливается одна переменная величина в зависимости от другой. Таким образом, исчисление предоставляет ученым возможность моделировать поведение величин, меняющихся в зависимости друг от друга. Этот удивительный инструмент позволяет объяснить физический мир, поскольку во Вселенной все, от крохотных атомов до самых больших галактик, находится в постоянном движении.
Зная зависимость между двумя переменными величинами, мы можем описать их с помощью уравнения, воспользовавшись символами для обозначения дифференцирования и интегрирования. Уравнение с переменными х и у, в котором присутствует выражение dx/dy, называется простейшим дифференциальным уравнением. Если в уравнении присутствует больше двух переменных, скажем х, у и t, скорость изменения записывается как ∂x/∂y или ∂x/∂t. Это уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными, поскольку такие его члены, как ∂x/∂y, говорят нам о том, как одна переменная меняется в зависимости от другой, но не от всех переменных. Дифференциальные уравнения с частными производными наиболее распространены в прикладной математике, поскольку позволяют ученым делать прогнозы. Зная, как две величины меняются с течением времени, мы можем предсказать их состояние в любой момент в будущем. Уравнения Максвелла, объясняющие поведение магнитных и электрических полей; уравнение Шредингера, лежащее в основе квантовой механики; уравнения поля Эйнштейна, представляющие собой основу Общей теории относительности, — все это дифференциальные уравнения с частными производными.
Первое уравнение такого типа описывало поведение скрипичной струны в момент ее поперечного колебания — задача, которая десятилетиями не давала ученым покоя. Это уравнение открыл в 1746 году Жан Лерон Д’Аламбер, известный математик своего времени. Д’Аламбера, появившегося на свет в результате непродолжительной связи артиллерийского генерала с бывшей монахиней, сразу же после рождения подбросили на ступеньки расположенной рядом с собором Парижской Богоматери Круглой церкви святого Иоанна в Париже (Saint Jean Le Rond), в честь которой ему и дали имя Жан Лерон. Воспитанный в семье стекольщика, Д’Аламбер смог наперекор всему стать постоянным секретарем Французской академии. Он был не только серьезным математиком, но и ярым защитником ценностей эпохи Просвещения, кроме того, общественным деятелем, желанным гостем аристократических салонов и одним из редакторов «Энциклопедии», для которой написал вступление и более тысячи статей.
Д’Аламбер был прообразом французского ученого-интеллектуала, роль которого в наше время с удовольствием играет Седрик Виллани.
Во второй раз я встретился с Виллани в Париже. С 2009 года он возглавляет Институт Анри Пуанкаре — элитный французский математический институт, расположенный среди университетских зданий в Латинском квартале Парижа. В кабинете ученого царит уютный беспорядок из книг, бумаг, кофейных чашек, наград, головоломок и геометрических фигур. Внешность Виллани совсем не изменилась со времени нашей первой встречи на Международном конгрессе математиков два года тому назад: бордовый галстук, синий костюм-тройка и металлический паук, сверкающий на отвороте пиджака. Седрик сказал, что этот образ сформировался еще тогда, когда ему было двадцать с лишним лет. Сначала он носил рубашки с широкими рукавами, затем с кружевами, после чего пришел черед цилиндра… «Это был своего рода научный эксперимент, в ходе которого постепенно возникло ощущение “это и есть я”». А что насчет паука? Виллани нравится его неоднозначность. «Одни считают, что паук — это материнский символ. По мнению других, паутина — это символ Вселенной, или паук — великий архитектор мироздания, своего рода способ персонифицировать Бога. Пауки не оставляют людей безразличными. Реакция наступает мгновенно». «Паук — это архетип, имеющий множество разных интерпретаций, — подумал я, — подобно тому как математика — абстрактный язык, имеющий множество областей применения».
Дифференциальные уравнения с частными производными — и есть область научных интересов Виллани. Он утверждает, что, хотя этим уравнениям уже почти триста лет, их «по-прежнему понимают достаточно плохо. Создается впечатление, что за каждым уравнением с частными производными стоит своя теория. Существует множество подразделов таких уравнений при совсем небольшой общей базе и полном отсутствии общей классификации. Многие пытались их классифицировать, но даже лучшие специалисты потерпели неудачу». Дифференциальное уравнение с частными производными, которому Виллани посвящает большую часть своего времени, — это уравнение Больцмана, ставшее темой его докторской диссертации, а впоследствии — частью той работы, за которую он получил Филдсовскую премию. Виллани и сейчас относится к этому уравнению с любовью и нежностью. «Это как первая любовь, — признаётся он. — Это первое уравнение, на которое смотришь и думаешь, что оно самое прекрасное в мире». Полюбуйтесь им еще раз:
Уравнение Больцмана относится к области статистической механики — раздела математической физики, изучающего зависимость между микроскопическим поведением отдельных молекул и макроскопическими свойствами, такими как температура и давление. Это уравнение описывает, как рассеивается облако газа, посредством анализа вероятности нахождения его молекул в определенной точке, при определенной скорости и в определенное время [10]. Данная модель исходит из предположения о том, что частицы газа движутся по законам Ньютона, но в случайных направлениях, и описывает последствия их столкновений посредством теории вероятностей. Виллани показал на левую часть уравнения: «Это частицы, двигающиеся по прямой». Затем на правую часть: «А здесь описаны их столкновения. Бац! Бац!» Он несколько раз стукнул кулаками друг о друга. «В уравнениях такого типа часто бывают напряженные отношения между их разными членами. Уравнение Больцмана — идеальный случай для изучения, поскольку разные его члены описывают разные феномены и обитают в совершенно разных математических мирах».
Если бы вы сняли на видео, как одна частица газа отталкивается от другой, и показали его кому-то из своих друзей, он не смог бы определить, в прямом или обратном порядке вы прокручиваете отснятый материал, так как законы Ньютона обратимы во времени. Но если вы снимете газ, распространяющийся из лабораторного стакана в окружающую среду, зритель сразу же сможет сказать, в каком направлении проигрывается видео, поскольку газ не способен снова втянуться в стакан. Больцман нашел математическое обоснование кажущегося противоречия между макро- и микроскопическим поведением частиц газа посредством введения новой концепции — концепции энтропии. Энтропия — это мера хаоса, в более формальном смысле — количество вероятных позиций и скоростей частиц в любой момент времени. Больцман доказал, что энтропия всегда увеличивается. Виллани открыл, с какой скоростью она увеличивается, прежде чем достичь совершенно неупорядоченного состояния.
Уравнение Больцмана имеет ряд достаточно простых областей применения, таких как самолетостроение, где оно помогает определить, что происходит с самолетами, когда они пролетают сквозь скопления газов. Именно практическая полезность уравнения Больцмана заинтересовала Виллани, когда он приступил к написанию докторской диссертации. Но по мере углубления в изучение уравнения Больцмана его красота все больше пленяла Виллани. Он сравнивает уравнение со скульптурой Микеланджело: «Небезупречное, утонченное и элегантное, но очень человечное, многое испытавшее, пронизанное силой энергии мироздания. В этом уравнении можно услышать рев частиц, наполненных яростью». Виллани добавил, что предпочитает потратить годы на анализ хорошо известных уравнений, пытаясь найти в них нечто новое, чем изобретать новые концепции. «Именно это мне нравится, и именно это — одна из составляющих общей позиции, которая гласит: “Послушайте! Физика высоких энергий, бозон Хиггса, теория струн или что-то в этом роде — все это очень увлекательно, но не забывайте, что мы до сих пор не до конца понимаем ньютоновскую механику”. Остается еще много, очень много нерешенных задач». Он показал мне дифференциальное уравнение с частными производными в какой-то книге. «У этого уравнения есть гладкие решения? Никто, черт возьми, не знает этого!» Он пожал плечами и нахмурил лоб.
На стене позади Виллани висит портрет его любимой певицы Катрин Рибейро, исполняющей песни в стиле «прогрессивный рок», — руки вытянуты в стороны, кулаки сжаты. На столе стоит бюст французского математика Анри Пуанкаре, бородатого и мрачного. «Именно в этом состоит принцип двойственности, приводящий все в движение, заставляет думать», — объясняет Виллани. У Пуанкаре, который жил на рубеже XIX и XX веков, была репутация последнего математика, в совершенстве владеющего всеми разделами своей дисциплины, — это одна из причин того, почему в его честь назван институт, возглавляемый Виллани. В наше время, по утверждению ученого, один человек способен понять лишь треть областей математики, да и то в самом общем смысле. В совершенстве никто не может овладеть более чем пятью процентами знаний о математике. По мере расширения сферы, которую охватывает эта наука, башни ее знаний становятся все выше и шире, а это значит, что каждый математик должен выбрать область специализации как можно раньше. В итоге математика становится дисциплиной, где чрезвычайно большую роль играет сотрудничество. Стереотипное представление о математиках как об эксцентричных отшельниках больше не соответствует действительности, если когда-либо вообще так было на самом деле. «Математика часто оказывается на стыке разных областей, а в этом случае лучше брать двух специалистов, по одному с каждой стороны». Виллани убежден, что сейчас в математике наступил период активного перекрестного обогащения. «Сначала у вас есть одна область, затем она делится на две, каждая из них проходит процесс специализации, после чего вы получаете ряд различных подобластей и т. д. Затем они снова пересекаются. Когда происходит такое скрещивание после специализации, это очень интересно. Мы живем во времена, когда разные области математики объединяются между собой, а также пересекаются с другими научными областями, причем сейчас этот процесс проходит гораздо эффективнее, чем в прошлом».