Итак, откуда же есть пошли уравнения Навье-Стокса? Они описывают поведение жидкостей и газов. Да-да, оказывается, физики, создающие теории двадцати-с-лишним-мерного пространства суперструн, решающие загадки черных дыр и полным ходом движущиеся к построению квантового компьютера, до сих пор не могут описать поведение самой обычной воды. Все уравнения вполне естественны и, по большому счету, очевидны из общепринятой физической модели несжимаемой жидкости. Первое из уравнений - это второй закон Ньютона, F=ma. Правда, в F, кроме внешней силы f=(f(i), i=1…n) (общая постановка задачи формулируется в n-мерном пространстве, но интересный случай, конечно, тот, в котором n равно трем[Вспоминается известный анекдот про математика, который шел по улице и заметил вывеску: «Камерный оркестр». «Интересно…» - подумал математик и зашел. Через минуту вышел разочарованный: «Тривиальный случай… ка равно трем». В нашей задаче ка, равное трем, - отнюдь не тривиальный случай]), должны войти также силы, отвечающие за давление p и трение внутри жидкости. Итого получается:
где u(x,t)=ui(x,t)- неизвестный вектор скорости, x - n-мерный вектор координат, t - время, а n - коэффициент вязкости. Второе уравнение говорит, что жидкость несжимаема. На математическом языке это выглядит так:
div u = 0.
Кроме того, разумеется, уравнения должны быть снабжены начальными условиями, причем, чтобы оставаться в рамках разумных физических моделей, как начальный вектор, так и сила f (точнее, их производные) должны достаточно быстро уменьшаться по мере удаления от нуля координат к бесконечности, а вся система должна иметь ограниченную энергию:
Свои имена уравнениям дали французский инженер Клод-Луи Навье (Claude-Louis Navier), выдающийся мостостроитель, разработавший первую в мире теорию подвесных мостов, и Джордж Габриэль Стокс (George Gabriel Stokes), научные заслуги которого в основном относятся к математической физике и дифференциальной геометрии. Кстати, Стокс дал имя британской единице вязкости.
Неудивительно, что эти уравнения долгое время привлекали внимание математиков всего мира. И здесь есть серьезные причины для гордости за отечественную науку: весомый вклад в развитие теории уравнений Навье-Стокса внесла Ольга Александровна Ладыженская, одна из замечательных представителей петербургской математической школы. Главным результатом Ладыженской в этой области было полное решение проблемы в двумерном случае: Ольга Александровна доказала однозначную разрешимость задачи. В трехмерном случае она получила частичные результаты: доказала однозначную разрешимость уравнений на конечном промежутке времени, а также решила общую задачу в предположении малости так называемого числа Рейнольдса (этот параметр задает соотношение между инерцией и вязкостью; при больших значениях числа Рейнольдса поток становится турбулентным). А вот вопрос о единственности так называемого слабого решения Хопфа, которое существует для бесконечного промежутка, до сих пор остается открытым - и за ответ на него решение Clay Mathematical Institute готов заплатить миллион долларов.
Вклад Ладыженской в математику, разумеется, не ограничивался решением двумерных уравнений Навье-Стокса: достаточно сказать, что работы, выполненные ею в сотрудничестве со своей ученицей Ниной Николаевной Уральцевой[Мне посчастливилось слушать курс матфизики у Нины Николаевны и лично знать Ольгу Александровну (благодаря поддержке которой я и оказался в СПбГУ); правда, уроки на пользу не пошли, и при выборе научного пути матфизике я предпочел алгебру и информатику], фактически закрыли цикл исследований по 19-й и 20-й проблемам Гильберта. Эти фантастические достижения навсегда вписали Ольгу Александровну в историю математики. Но, на мой взгляд, не менее фантастическим является ее научное долголетие. До последних дней жизни (это не штамп и не преувеличение) Ольга Александровна активно занималась научной деятельностью, редактировала многочисленные научные сборники, участвовала в конференциях - и ушла из жизни 12 января 2004 года, немного не дожив до своего восемьдесят второго дня рождения…
Но вернемся к уравнениям Навье-Стокса. Аналитическому решению они не поддаются, однако проектировать подводные лодки и особенно самолеты (разумеется, движение воздуха описывается теми же уравнениями, только вязкость у воздуха гораздо меньше, чем у воды, - а, значит, турбулентность больше, и решать уравнения методом Ладыженской не получается) все-таки нужно. Что делать? Ответ прост и для физиков традиционен: решать уравнения приближенно. И здесь, конечно, компьютерные технологии пришлись ко двору. Возник целый раздел на грани матфизики и computer science - вычислительная динамика жидкостей и газов (computational fluid dynamics, CFD).
Wikipedia предлагает целую коллекцию ссылок на программные продукты (как коммерческие, так и свободные), реализующие различные задачи вычислительной динамики. Примечательно, что один из самых успешных проектов - система OpenFOaM (Open Field Operation and Manipulation) - начинал свой путь как коммерческий, закрытый продукт, а затем был переведен разработчиками под GPL. Наверное, его и можно порекомендовать желающим всерьез заняться этим направлением - для него написано множество расширений и библиотек, и благодаря открытой архитектуре проекта и активному сообществу разработчиков количество этих расширений увеличивается. А красивые картинки, например, получаются из Gerris Flow Solver, хотя, конечно, глаз вряд ли способен насладиться рисованными векторными полями так же, как видом трехмерной, играющей на солнце всеми красками радуги жидкости. Для всевозможных пакетов трехмерного моделирования написано множество CFD-плагинов, позволяющих добавлять в трехмерную сцену «физически точные» картины различных течений. Обычно они стоят немалых денег (например, RealFlow, плагин для 3DS MAX, продается по сверхнизкой цене всего лишь в 1080 долларов), но в России, как известно, цена софта - штука весьма и весьма условная…
Итак, подводим итоги. Уравнения Навье-Стокса - центральная проблема современной математической физики. Существуют целые конференции, посвященные исключительно этим уравнениям (например, конференция в Киото, запланированная на 2006 год, или петербургская конференция, прошедшая в 2002 году), и миллион долларов за их решение назначен не зря. Однако практические применения уравнений не очень сильно страдают от проблем с аналитичностью или единственностью решений. Самолеты, конечно, иногда падают, а подводные лодки тонут, но обычно это происходит по причинам, весьма далеким от уравнений Навье-Стокса - и, сдается мне, устранить эти причины куда труднее, чем решить какую бы то ни было задачу на миллион…
Природа: Люди и звезды
В лондонской Национальной галерее висит портрет человека, обозначенного как «пират и гидрограф». Звали его Уильям Дампир (William Dampier, 1651-1715). Один из тех, кого в эпоху Великих географических открытий равно влекли нажива и знание. Наемник. Неудачливый торговец. Пират. Офицер Королевского флота. Первый человек, трижды обогнувший земной шар. Его именем названы архипелаг и пролив. За книгу «New Voyage round the world» (1697) Дампир был избран членом Королевского общества. Его кузеном называл себя сам Лемюэль Гулливер. Карты Дампира использовал Джонатан Свифт при описании Лилипутии и земли гуингмов. А политический оппонент Свифта Даниэль Дефо положил в основу «Робинзона Крузо» историю Александра Селькирка, снятого с необитаемого острова Дампиром в путешествии 1703 года. И именно Дампир впервые, на заре метеорологии, в «A Discourse of Tradewinds, Seasons, Tides, d. c. in the Torrid Zone» на основе одного из своих судовых журналов описал мощь тропических ураганов.
Сегодня, как показали недавние события на берегах Мексиканского залива, даже самая развитая страна планеты так же уязвима перед мощью стихий, как и города конкистадоров и буканьеров эпохи парусных кораблей.
Как же возникают тропические ураганы? Где они берут свою силу?
Сначала - немного филологии и определений.
Слово ураган имеет два значения. По шкале Бофорта - это ветер в 12 баллов, со скоростью более 32,7 м/с, дующий, в отличие от шквала, длительное время.
А на берегах Мексиканского залива так называют тропические циклоны. Французское ouragan, через испанское huracan пришло из языка карибских индейцев, наблюдающих это явление веками. Если обычный циклон (от греческого kyklon - кружащийся) есть вращение атмосферных масс вокруг области низкого давления и имеет диаметр от 1000 до 3000 километров, то диаметр циклона тропического куда меньше - 300, редко 400 километров. В этих размерах наблюдается колоссальная концентрация энергии атмосферы. Именно концентрация! Ветры, порожденные тропическим циклоном, движутся со скоростью в среднем 60 м/с, часто достигая и рекордных значений в 120-150 м/с. В океане циклон гонит перед собой исполинскую волну. Попадая на мелководье, она становится все более крутой и высокой. Отсюда и гигантская разрушительная энергия ветра и волн, обрушивающихся на берег. Откуда же она берется?
Возникает тропический циклон над океаном. Для его зарождения нужна достаточно обширная масса воды с поверхностной температурой не ниже 26-27 градусов Цельсия. Нагретый у поверхности и насыщенный водяными парами воздух устремляется вверх, в холодные воздушные слои. Там происходит конденсация влаги. При этом рождаются облака и выделяется тепло, которое способствует увеличению мощности восходящих потоков воздуха и падению давления в месте их появления. В область низкого давления, атмосферной депрессии, устремляются все новые и новые массы влажного воздуха, несущие с собой тепло, накопленное океаном. Вот первое условие рождения урагана.
Вторым условием, позволяющим тропическому циклону накачать мускулы, является наличие у него своеобразных «стен». Их создает круговое движение притекающих к центру депрессии атмосферных масс, закручиваемых силой Кориолиса. Против часовой стрелки в северном полушарии, по часовой стрелке - в южном. Определенные этой силой особенности атмосферной циркуляции исключают рождение ураганов ниже 5 градусов северной и 8 градусов южной широты.
С вращением Земли связана и траектория движения тропических циклонов: с востока на запад, с последующим отклонением по параболе к более высоким широтам, и нередкими возвратными движениями к северо-востоку и юго-востоку в северном и южном полушариях соответственно.
О том, как рождается ураган, есть три теории: конвективная, фронтальная и восточной волны.
Согласно первой из них, ураган порождается конвективным воздушным потоком достаточной силы, возникающим при неустойчивой термической стратификации атмосферы. «Закручивание» тропического циклона происходит уже после.
По фронтальной теории возникновение урагана объясняется взаимодействием воздушных масс северного и южного полушарий на тропическом фронте в зоне встречи пассатов, где, вследствие интенсивного нагрева морской поверхности, наблюдается резкий перепад температур верхних и нижних слоев атмосферы, приводящий к неустойчивости воздушных масс.
Третья теория объясняет рождение ураганов прохождением длинной (до 2000 км) волны атмосферного давления, которая, перемещаясь с востока на запад, теряет устойчивость и превращается в вихрь.
Рискнем предположить, что правильны все три. Ураган - процесс хаотичный. Недаром же во всех трех теориях упоминается потеря устойчивости. Как и все самоподдерживающиеся процессы, вроде лесных пожаров, он очень чувствителен к начальным условиям. И траектории, по которым он будет шествовать, в зависимости от начальных условий - распределения полей температуры и давления, морфографии океана и суши, характера течений воздуха и океанских вод - будут подвержены очень сильной бифуркации. При которой могут возникать как указанные выше базовые сценарии, так и многие другие.
Но бесспорно следующее. Тропический циклон, ураган, - это процесс, порожденный энергией Солнца. Излучение нашего светила накапливается под щитом атмосферы в океанских массах. И далее в тропическом циклоне эта энергия концентрируется.
Температура воздуха в центре циклона часто вдвое превышает температуру окружающего, достаточно теплого воздуха, побивая при этом рекорды пустынь. Это получается за счет эффекта теплового насоса. Ну, вот обычный домашний кондиционер, работающий на отопление, на одну калорию электроэнергии производит три калории тепла. Закон сохранения энергии здесь, конечно же, не нарушается - кондиционер забирает тепло из окружающей среды. Так и тропический циклон отбирает энергию у вод океана. Только не в объеме, ограниченном трубками теплообменника, а внутри области, оконтуренной потоками ветра колоссальной силы.
Потому-то так и разрушительны тропические циклоны.
Сила Эола
В год наблюдается около ста тропических циклонов.
Самое низкое давление зафиксировано в центре тайфуна Ида в 1958 году - 877 гПа (658 мм ртутного столба).
Расчетный минимум давления в центре урагана - 847 гПа.
Мощность, выделяемая в течение секунды средним тропическим циклоном, равна мощности трех бомб «хиросимского» типа.
За сутки большой ураган расходует энергию, равную взрывам 13 тысяч мегатонных бомб.
Ураган 7 октября 1737 года в дельте Ганга сопровождался двенадцатиметровой волной с бенгальского залива и погубил 300 тысяч человек, потопив 12 тысяч судов и лодок.
В ноябре 1970 года в Восточном Пакистане погибло 300 тысяч человек, затонуло 90% судов.
Количество осадков при урагане достигает 1000-1200 мм в сутки.
Максимальная высота длинной волны при урагане была зарегистрирована 30 июля 1905 года у Маршалловых островов и составила 14 м.
Во время урагана 8 августа 1899 года в Пуэрто-Рико за шесть часов выпало 2,6 млрд. тонн воды.
19-21 июня 1972 года во время урагана Агнесса в шт. Северная Каролина за 48 часов выпало 2530 мм осадков.
Обычный циклон 7-9 мая 1941 года, прошедший от Крыма до Великого Устюга, дал столько воды, сколько содержит озеро Ильмень.
Звездная зола в горне Вулкана
Имя первой жертвы научной любознательности - Кай Плиний Секунд Старший. Римский администратор и военачальник. Ученый, энциклопедист, автор «Naturalis Historiae» («Натуральной истории») в XXXVII книгах и еще 160 сочинений. Во время извержения Везувия 24 августа 79 года, погубившего Помпеи и Геркуланум, Плиний, командовавший Мизенским преторианским флотом, направил флагманскую либурну в черную тучу, окутавшую берег. «Тело его, - писал Тациту племянник ученого, Плиний Младший, - нашли в полной сохранности, одетым как он был; походил он скорее на спящего, чем на умершего».
И первая жертва научного тщеславия тоже связана с вулканом. Эмпедокл из Агрикента, основоположник эволюционного учения, так хотел, чтобы считали, что мудрость вознесла его на небо, что кинулся в кратер Этны. Но предательская лава вынесла на поверхность медные сандалии философа. История сия, однако, известна нам от научных оппонентов Эмпедокла…
Если в случае урагана мы, в конечном счете, имеем дело с энергией звезд, то землетрясения и вулканическая активность обязаны своим существованием звездной золе. Правда, золе «горячей», в смысле - радиоактивной. Пепел звезд первого поколения, возникших, когда Вселенная была молодой, успевших сгореть и взорваться, дав строительный материал нашей Солнечной системе, содержит медленно распадающиеся радиоактивные изотопы. В недрах Земли достаточно калия-40, тория-232, урана (изотопы U-235 и U-238), чтобы обеспечить наличие у нашей планеты жидкого ядра и вулканических извержений. Так что, наблюдая тектоническую и вулканическую активность, мы опосредованно сталкиваемся с энергией голубых и белых звезд, горевших миллиарды лет назад.
Ответ человека на вызов стихий
"Сделай себе ковчег из дерева гофер;
отделения сделай в ковчеге,
и осмоли его смолой внутри и снаружи."
Бытие 6, 14.И ураганы, и землетрясения, и вулканы - все это проявления звездных сил. Потому-то так трудна проблема обуздания их мощи.
Обычно бывает два способа справиться с тем, что нас не устраивает, - силой и хитростью.
Ну, вот муха. Ее бьют мухобойкой, используя превосходство в мощности. Таким способом с ураганом не совладать. Человечество еще очень долго не будет располагать энергиями, необходимыми для противодействия стихии. Да и окажись они под рукой - неумолимые законы термодинамики вынудят пользоваться ими с огромной осторожностью, опасаясь перегрева планеты и новых, еще больших бедствий.
Вот бык. Тореадор направляет его бег легким взмахом мулеты. Мультипликация энергии колоссальная. Можно ли так поступить с ураганом?
В 60-е годы сильны были представления, что благодаря спутниковому наблюдению удастся, выявляя места рождения ураганов, давить их в зародыше путем бомбардировки сухим льдом или солями серебра (подобно тому, как разгоняют облака перед праздниками). Но площадь тропического циклона на порядки превосходит площади современных столиц. А слишком энергичное вмешательство в хаотические процессы хоть и долго еще будет за пределами человеческой мощи, может, осуществись оно на деле, породить куда большие проблемы.
Остается одно - изучение и предсказание. Предсказание долгосрочное, используемое при формировании технико-экономических обоснований развития инфраструктуры в местностях, подверженных ударам ураганов. В конце концов, не греем же мы воздух на улице, борясь с приходом зимы, а строим дома потеплее и покупаем теплую одежду.
120 м/с - скорость, конечно, приличная. Но ведь серийная авиация - российские СБ, американские DC-3 - достигла ее в середине 30-х годов прошлого века. Отказавшись от расчалок, стоек, гофрированных листов оболочки. Широко применяя фанеру и древесину - типовые строительные материалы ураганоопасных районов. И здания маяков с позапрошлого века умеют строить устойчивыми ко всем ураганам и ударам волн. А деревья вырываются с корнем уже при десятибалльном шторме, при скорости ветра 21-25 м/с!