86. Лестницы метро.Как-то, выходя из станции метро «Керли-стрит», мы столкнулись с молодым атлетом Перси Лонгмеиом. Он остановился на эскалаторе и сказал:
— Вверх по эскалатору я всегда иду. Знаете ли, лишняя тренировка никогда не помешает. Этот эскалатор самый длинный на линии — почти тысяча ступенек. Но вот что интересно — и это относится и к другому, меньшему эскалатору, по которому мне часто приходится подниматься: если, поднимаясь вверх, я шагаю через две ступеньки, то на последний шаг приходится одна ступенька; если я шагаю через три ступеньки — то две ступеньки; если через четыре — то пять; если через пять — то четыре; если через шесть — то пять и, наконец, если я шагаю через семь ступенек, то на последний шаг приходится шесть ступенек. Почему так происходит, не знаю.
Когда Перси пошел дальше вверх, перешагивая через три ступеньки сразу, мы рассмеялись и мой спутник сказал:
— Он едва ли подозревает, что если бы делал шаги в 20 ступенек, то на последний шаг ему их осталось бы 19!
Сколько ступенек в эскалаторе на станции «Керли-стрит», если верхнюю площадку считать ступенькой, а нижнюю нет? [6]
87. Автобусная прогулка.Джордж отправился с любимой девушкой покататься на автобусе, но, подсчитав свои ограниченные ресурсы, понял, что возвращаться назад им придется пешком.
Если скорость автобуса 9 км/ч, а наша пара пешком делает 3 км/ч, то как далеко они могут прокатиться, чтобы на всю прогулку туда и обратно затратить 8 ч?
88. Транспортная головоломка.Двенадцать солдат должны одновременно как можно быстрее попасть в пункт, расположенный в 20 км от их местонахождения. Для этого они остановили небольшую автомашину.
— Я еду со скоростью 20 км/ч, — сказал водитель, — но с собой могу одновременно взять только четверых. С какой скоростью вы идете пешком?
— Каждый из нас проходит 4 км/ч, — ответил один из солдат.
— Прекрасно, — воскликнул водитель, — тогда я поеду вперед с четверыми из вас, подвезу их на какое-то расстояние, затем вернусь и посажу еще четверых, подвезу их тоже и возвращусь за остальными. От вас требуется лишь одно: все время, пока вы не едете на машине, идти пешком, я позабочусь об остальном.
Солдаты отправились в путь ровно в полдень. Когда они прибудут на место?
89. Чему равно расстояние?«Пароход, — заметил один из наших офицеров, вернувшихся с Востока, — способен развивать по течению скорость 20 км/ч, а против течения — только 15 км/ч. Поэтому весь путь между двумя пунктами вверх по течению занимает у него на 5 ч больше времени, чем вниз по течению».
Мы все не могли удержаться от того, чтобы не попытаться определить в уме расстояние между этими двумя пунктами. Чему оно равно?
90. Туда и обратно.Полковник Крэкхэм утверждает, что его приятель, мистер Уилкинсон, идет от своего загородного дома до ближайшего города со скоростью 5 км/ч, а возвращаясь немного усталым, проходит тот же путь со скоростью 3 км/ч. Путешествие туда и обратно занимает у него ровно 7 ч.
Как далеко от города расположен дом мистера Уилкинсона?
91. Встречные автомобили.Крэкхэмы должны были сделать первую остановку в Баглминстере и провести там ночь в доме друга семьи. Этот друг в свою очередь должен был выехать из дома одновременно с ними и остановиться в Лондоне в доме Крэкхэмов. И Крэкхэмы, и друг семьи ехали по одной дороге, высматривая друг друга, и встретились в 40 км от Баглминстера. В тот же вечер Джордж придумал следующую небольшую головоломку:
— Я обнаружил, что если бы по прибытии на место каждый из наших автомобилей немедленно двинулся в обратный путь, то мы встретились бы в 48 км от Лондона.
Если Джордж прав, то чему равно расстояние от Лондона до Баглминстера?
92. Велосипедные гонки.Два велосипедиста участвуют в гонках по круговой дорожке. Браун делает полный круг за 6 мин, а Робинсон — за 4 мин.
Через сколько минут Робинсон обгонит Брауна?
93. Небольшая головоломка с поездами.Экспресс из Баслтауна в Айрончестер идет со скоростью 60 км/ч, а экспресс из Айрончестера в Баслтаун, который выходит одновременно с ним, — со скоростью 40 км/ч.
На каком расстоянии друг от друга они будут находиться за час до встречи?
Я не смог найти эти города ни на карте, ни в справочнике, поэтому мне не известно точное расстояние между ними. Примем его не превышающим 250 км.
94. Прогулка по-ирландски.
— Однажды мне понадобилось, — рассказывал полковник Крэкхэм, — добраться из Богули в Болифойн, где меня ожидал друг. Из транспорта была доступна лишь ветхая телега старого Пэта Доуля, которую тащила кобыла, чья трудовая жизнь уже явно затянулась.
Невыносимо медленно, но все же неуклонно мы двигались вперед.
— Послушай, Пэт, — спросил я через несколько минут после начала нашего путешествия, — есть ли у твоей машины другая скорость?
— Как не быть, — ответил извозчик, — да только она поменьше этой будет.
— Тогда придется довольствоваться такой, какая есть, — сказал я.
Пэт уверил меня, что лошадь будет идти равномерным шагом, не замедляя и не ускоряя его, до самого конца нашего пути.
— Мы едем уже двадцать минут, — заметил я, посмотрев на часы, — на сколько миль мы отъехали от Богули?
— Как раз проехали вдвое меньше, чем осталось до Пигтауна, — ответил Пэт.
Наскоро подкрепившись в Пигтауне, мы проехали еще пять миль. Я спросил Пэта:
— Сколько миль осталось до Болифойна?
На этот вопрос я получил тот же самый ответ (Пэт, очевидно, мог измерять все расстояния только от Пигтауна):
— Ровно вдвое меньше, чем отсюда до Пигтауна. Прошел еще час, и наше путешествие закончилось. Каково расстояние от Богули до Болифойна?
95. Задача о пешеходах.Один человек, гуляя за городом, оглянулся назад и заметил приятеля, который шел в том же направлении, но на 400 м сзади него. Глядя друг на друга, приятели прошли по прямой еще по 200 м каждый. Вам кажется, что они должны были встретиться? Ничуть не бывало, между ними после этого все еще оставалось расстояние 400 м.
Как это могло получиться?
[7]и знака факториала (например, можно писать 4!, что означает всего лишь 1 × 2 × 3 × 4, или 24). Число 113 уже нельзя представить в виде комбинации четырех четверок.Необходимо выяснить, какие числа можно записать с помощью одной, двух и трех четверок. Большие трудности возникают из-за того, что некоторые числа нелегко поддаются такому представлению. Например, мне кажется, что лишь очень немногие смогут выразить 64 с помощью двух четверок. Сумеет ли это сделать читатель?
109. Две цифры.Напишите любое двузначное число (две различные цифры, отличные от нуля), а затем выразите его, используя те же цифры, взятые в обратном порядке (в случае необходимости разрешается использовать знаки арифметических действий). Например, число 45 = 5 × 9 подошло бы, если бы вместо 9 справа стояла цифра 4, а число 81 = (1 + 8) 2могло бы служить решением задачи, если бы справа в показателе степени не появилась цифра 2.
110. Цифровые совпадения.Если я перемножу две девятки и сложу 9 и 9, то получу 81 и 18 — два числа, состоящие из одинаковых цифр. Если я перемножу и сложу 2 и 47, то получу 94 и 49 — числа с одинаковыми цифрами, Если я перемножу и сложу 3 и 24, то получу 72 и 27 — два числа, состоящие из одинаковых цифр.
Можете ли вы найти два числа, перемножив и сложив которые вы получили бы два новых числа с тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет два решения.
111. Квадраты-палиндромы.Вот любопытный предмет для исследований: найти квадраты целых чисел, которые можно читать как обычным образом, так и справа налево. Некоторые из них найти очень легко. Например, квадраты чисел 1, 11, 111 и 1111 равны соответственно 1, 121, 12 321 и 1 234 321. Все получившиеся числа — палиндромы, и данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему 9. Однако существуют и другие случаи, которые мы могли бы назвать нерегулярными. Например, 264 2= 69 696, а 2285 2= 5 221 225.
Во всех приведенных выше примерах число цифр было нечетным. Не мог бы читатель привести примеры с четным числом цифр?
112. Разложение на множители.На какие множители разлагается число 1 000 000 000 001? На этот вопрос легко ответить, зная кое-что о числах такого частного вида. Не менее легко указать два сомножителя, если между двумя единицами вставить не 11 нулей, а, например, 101 нуль,
Существует одно любопытное простое и красивое правило для всех подобных случаев. Не сумеете ли вы найти его?
113. Два множителя.Найдите два целых числа, разность между которыми минимальна, а их произведение равно 1 234 567 890.
114. Деление на 11.Если девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 записаны в случайном порядке, например 412 539 768, то какова вероятность того, что получившееся число делится на 11? То число, которое я выписал, конечно, не делится на 11, но если в нем поменять местами 1 и 8, то оно будет делиться на 11.
115. Деление на 37.Мне хотелось бы узнать, делится ли число 49 129 308 213 на 37, и если нет, то чему равен остаток. Как мне это сделать, не выполняя деления? Оказывается, что при умелом подходе ответ на интересующий меня вопрос можно получить за несколько секунд.