Annotation
Занимательные рассказы о числах-великанах и числах – карликах, о системах счисления, об арифметических парадоксах и головоломках разнообразят школьную программу и сделают интересным ваш досуг.
Яков Исидорович Перельман
Предисловие
Глава I Старое и новое о цифрах и нумерации
Таинственные знаки
Старинная народная нумерация
Секретные торговые «меты»
Арифметика за завтраком
Арифметические ребусы
Десятичная система в книжных шкафах
Наши любимые цифры
Глава II Камни преткновения Пифагоровой таблицы
Трудные места таблицы умножения
Умножение с помощью пальцев
Механическое умножение на 9
Глава III Потомок древнего абака
Чеховская задача
Русские счеты
Умножение на счетах
Деление на счетах
Отголоски старины
Глава IV Немного истории
«Трудное дело – деление»
Мудрый обычай старины
«Русский» способ умножения
Из Страны пирамид
Глава V Недесятичные системы счисления
Загадочная автобиография
Простейшая система счисления
Необычайная арифметика
Чет или нечет?
Дроби без знаменателя
Глава VI галерея числовых диковинок
Арифметическая кунсткамера
число 12
число 365
Три девятки
Число Шехеразады
Число 10101
Шесть единиц
Числовые пирамиды
Девять одинаковых цифр
Цифровая лестница
Магические кольца
Феноменальная семья
Глава VII Фокусы без обмана
Искусство индусского царя
Не вскрывая конвертов
Угадать число спичек в коробке
Чтение мыслей по спичкам
Идеальный разновес
Предсказать сумму ненаписанных чисел
Предугадать результат ряда действий
Мгновенное деление
Любимая цифра
Угадать день рождения
Одно из «утешных действ» Магницкого
Глава VIII Быстрый счет и вечный календарь
«Сколько мне недель?»
«Сколько мне дней?»
«Сколько мне секунд?»
Приемы ускоренного умножения
Какой день недели?
Календарь на часах
Глава IX Числовые исполины
Как велик миллион?
Миллион секунд
В миллион раз толще волоса
Упражнения с миллионом
Названия числовых великанов
Миллиард
Биллион и триллион
Квадриллион
Кубическая миля и кубический километр
Глава X Числовые лилипуты
Лилипуты времени
Лилипуты пространства
Сверхисполин и сверхлилипут
Глава XI Арифметические путешествия
Ваше кругосветное путешествие
Ваше восхождение на Монблан
Пахари-путешественники
Незаметное путешествие на дно океана
Путешествующие сидя на месте
Яков Исидорович Перельман
Предисловие
Этот небольшой сборник отличается от имеющихся у нас других книг сходного содержания [1] главным образом тем, что предлагает менее использованный материал, а в способе его обработки – теснее примыкает к школьной арифметике, затрагивая разнообразные ее отделы. Чтобы не превращать приятной игры ума в утомительное занятие, чересчур серьезное для развлечения и нередко слишком бесплодное для серьезной работы, – автор избегал трудных вопросов и подбирал только такой материал, который вполне посилен для большинства читателей.
Хотя книжка имеет в виду читателей, знакомых лишь с элементами арифметики, в ней найдутся страницы, небезынтересные, быть может, и для более сведущих.
Петроград Май, 1923 г.
Я.П.
Во 2-м издании прибавлена глава «Числовые лилипуты» и сделаны необходимые исправления в тексте.
Сентябрь, 1923 г. Я.П.
Глава I Старое и новое о цифрах и нумерации
Таинственные знаки
В первые дни русской революции, в марте 1917 года, жители Петрограда были немало озадачены и даже встревожены таинственными знаками, появившимися неизвестно как у дверей многих квартир. Молва приписывала этим знакам разнообразные начертания. Те, которые мне пришлось видеть, имели форму восклицательных знаков, чередующихся с крестами, какие ставятся обычно возле фамилии умерших. Знаки, по общему убеждению, ничего хорошего означать не могли и вселяли страх в растерянных граждан. По городу пошли зловещие слухи. Заговорили о грабительских шайках, помечающих квартиры своих будущих жертв. «Комиссар города Петрограда», успокаивая население, утверждал, что «таинственные знаки, которые чьей-то невидимой рукой делаются на дверях мирных обывателей в виде крестов, букв, фигур, как выяснилось по произведенному дознанию, делаются провокаторами и германскими шпионами»; он приглашал жителей все эти знаки стирать и уничтожать, «а в случае обнаружения лиц, занимающихся этой работой, задерживать и направлять по назначению».
Появились таинственные восклицательные знаки и зловещие кресты также у дверей моей квартиры и квартир моих соседей. Некоторый опыт в распутывании замысловатых задач помог мне, однако, разгадать нехитрый и нисколько не страшный секрет этой тайнописи. Своим «открытием» я поспешил поделиться с согражданами, поместив в газетах следующую заметку [2] :
Таинственные знаки
В связи с таинственными знаками, появившимися на стенах многих петроградских домов, небесполезно разъяснить смысл одной категории подобных знаков, которые, несмотря на зловещее начертание, имеют самое невинное происхождение. Я говорю о знаках такого типа:
Можно даже, ради курьеза, с помощью таких цифр-предметов изображать действия над числами – складывать, вычитать, умножать, делить. Вот, например, ряд действий над числами, обозначенными предметами сервировки стола (см. рис.). Вилка, ложка, нож, кувшинчик, чайник, тарелка – все это знаки, заменяющие цифры.
Попробуйте, глядя на эту группу ножей, вилок, посуды и т. п., угадать: какие именно числа здесь обозначены?
С первого взгляда такая задача кажется очень трудной: приходится разгадывать настоящие иероглифы, как сделал некогда француз Шамполион. Но ваша задача гораздо легче: вы ведь знаете, что числа здесь, хотя и обозначены вилками, ножами, ложками и т. п., написаны по десятичной системе счисления, т. е. вам известно, что тарелка, стоящая на втором месте (считая справа), есть цифра десятков, что предмет направо от нее есть цифра единиц, а по левую сторону – цифра сотен. Кроме того, вы знаете, что расположение всех этих предметов имеет определенный смысл, который вытекает из сущности арифметических действий, производимых над обозначенными ими числами. Все это может значительно облегчить вам решение предложенной задачи.
Вот как можно доискаться значения расставленных здесь предметов. Рассматривая первые три ряда на нашем рисунке, вы видите, что «ложка», умноженная на «ложку», дает «нож». А из следующих рядов видно, что «нож» без «ложки» дает «ложку», или что «ложка» + «ложка» = = «ножу». Какая же цифра дает одно и то же и при удвоении и при умножении само на себя? Это может быть только 2, потому что 2 ? 2 = 2 + 2. Таким образом мы узнаем, что «ложка» = 2 и, следовательно, «нож» = 4.
Теперь идем дальше. Какая цифра обозначена вилкой? Попробуем разгадать это, присмотревшись к первым трем рядам, где вилка участвует в умножении, и к рядам III, IV и V, где та же вилка фигурирует в действии вычитания. Из группы вычитания вы видите, что отнимая, в разряде десятков, «вилку» от «ложки», получаем в результате «вилку», т. е. при вычитании два минус «вилка» получается «вилка». Это может быть в двух случаях: либо «вилка» = 1, и тогда 2–1 = 1; либо же «вилка» = 6, и тогда, вычитая 6 из 12 (единица высшего разряда занимается у «чашки»), получаем 6.
Что же выбрать: 1 или 6? Испытаем, годится ли 6 для вилки в других действиях. Обратите внимание на сложение V и VI рядов: «вилка» (т. е. 6) + «чашка» = = «тарелке»: значит, «чашка» должна быть меньше 4 (потому что в рядах VII и VIII «тарелка» минус «вилка» = «чашке»). Но «чашка» не может равняться двойке, так как двойка обозначена уже «ложкой»; не может «чашка» быть и единицей – иначе вычитание IV ряда из III не могло бы дать трехзначного числа в V ряду. Не может, наконец, чашка обозначать и 3 – вот почему: если чашка – 3, то бокальчик (см. ряды IV и V) должен обозначать единицу; потому что 1 + 1 = 2, т. е. «бокальчик» + «бокальчик» = «чашке», убавленной на единицу, которая была занята у него при вычитании в разряде десятков; «бокальчик» же равняться единице не может, потому что тогда тарелка в VII ряду будет обозначать в одном случае цифру 5 («бокальчик» + «нож»), а в другом цифру 6 («вилка» + «чашка»), чего быть не может. Значит, нельзя было допустить, что «вилка» = 6, а надо было принять ее равной единице.