Каждые 48 дней или примерно 8 раз в год почтальон или врач поднимаются по лестницам на высоту, равную высочайшей вершине Европы. Скажите, какой спортсмен ежегодно по 8 раз взбирается на Монблан?
Не надо непременно быть почтальоном, чтобы выполнять подобные подвиги, самому того не ведая. Я живу во 2-м этаже, в квартире, куда ведет лестница с
20 ступеньками – число, казалось бы, весьма скромное. Ежедневно мне приходится взбегать по этой лестнице раз 5, да еще посещать двоих знакомых, живущих, скажем, на такой же высоте. В среднем можно принять, что я поднимаюсь ежедневно 7 раз по лестнице с 20 ступенями, то есть взбегаю вверх каждый день по 140 ступеней. Сколько же это составит в течение года?
140 ? 360 = 50400.
Итак, ежегодно я поднимаюсь более чем на 50000 ступеней. Если мне суждено дожить до 60-летнего возраста, я успею подняться на вершину сказочно высокой лестницы в три миллиона ступеней. Как изумился бы я, если бы ребенком меня подвели к основанию этой уходящей в бесконечную даль лестницы и сказали, что некогда я, быть может, достигну ее вершины… На какие же исполинские высоты взбираются те люди, которые по роду своей профессии только и делают, что поднимаются на высоту, например, служители при лифтах? Кто-то подсчитал, что например, служитель при лифте одного из нью-йоркских небоскребов совершает за 15 лет службы подъем до высоты… Луны!
Пахари-путешественники
Взгляните на странный рисунок, приведенный на следующей странице. Кто те сказочные пахари-богатыри, что проводят борозды кругом земного шара?
«Кто те сказочные пахари-богатыри, что проводят борозды кругом земного шара?»
Вы полагаете, рисунок – создание чересчур разыгравшейся фантазии художника? Нисколько: художник лишь изобразил наглядно то, о чем скажут вам достоверные арифметические подсчеты, если вы дадите себе труд их произвести. Каждый пахарь проходит со своим плугом в течение нескольких лет (4–6) такое расстояние, которое равно окружности земного шара. Выполнение этого неожиданного по своим результатам арифметического подсчета предоставляю читателю произвести самостоятельно.
Незаметное путешествие на дно океана
Весьма внушительные путешествия выполняют обитатели подвальных помещений, служители таких же складов и т. п. Много раз в день сбегая вниз по ступенькам маленькой лестницы, ведущей в погреб, они в течение нескольких месяцев проходят расстояние в целые километры. Нетрудно рассчитать, во сколько времени мальчик – служитель подвального склада проходит, таким образом, вниз расстояние, равное глубине океана. Если лестница углубляется, скажем, всего на 1 сажень, т. е. 2 метра, и мальчик сбегает по ней ежедневно всего 10 раз, то в месяц он пройдет вниз расстояние в 30 ? 20 = 600 метров, а в год 600 ? 12 = 7200 метров – более 7 километров. Вспомним, что глубочайшая шахта простирается в недра Земли всего на 2 километра!
Итак, если бы с поверхности океана вела на его дно лестница, то любой служитель подвального торгового помещения достиг бы дна океана в течение одного года (наибольшая глубина Тихого океана – около 9 верст). Сам того не подозревая, такой приказчик проходит ежегодно вниз расстояние, которое в океане перенесло бы его в таинственную область причудливых глубоководных созданий, куда достигал до сих пор только лот исследователя морских пучин.
Путешествующие сидя на месте
Не думайте, что арифметические путешествия совершает лишь тот, кто перемещается, хотя бы и пешком. Есть люди, которые, сидя неподвижно за своей работой, тем не менее совершают длиннейшие странствования. Далеко ли, казалось бы, может путешествовать портной, прилежно работающий иглой, сидя неподвижно на столе? Однако и он не ускользает от общей участи быть кругосветным путешественником. Его проворная игла успевает ежесекундно пробежать вперед и назад полсотни сантиметров. Сколько это составит в час?
50 ? 60 ? 60 = 180000 см = 1800 метров.
Итак, игла портного пробегает ежечасно почти два километра. За 8 часов рабочего дня она проходит более 14 километров.
Теперь нетрудно вычислить, в течение какого времени игла портного, – если только он обеспечен работой, – проходит путь, равный окружности земного шара. Разделив длину этой окружности, 40000 километров, на 14, получим более 2800 дней. Это значит, что примерно в 8 лет усердно работающий портной совершает концами своих пальцев кругосветное путешествие. «Неподвижный кругосветный путешественник»…Не найдется человека, который так или иначе не совершил бы в этом смысле кругосветного путешествия. Можно сказать, что замечательным человеком является не тот, кто проделал кругосветное путешествие, а тот, кто его не совершил. И если кто-нибудь станет уверять вас, что не совершил подобного подвига, вы, надеюсь, сможете теперь «математически» доказать ему, что он не составляет исключения из общего правила.
Примечания
1
Среди них известный сборник Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки» (из трех книг; книги 2-я и 3-я составлены при моем участии) почти исчерпывает весь «классический» материал арифметических развлечений.
2
Вечерний выпуск газеты «Биржевые Ведомости» от 16 марта 1917 г.
3
Их было много тогда в Петрограде. Позднее я узнал, что китайский иероглиф для 10 имеет как раз указанную форму креста. Китайцы вообще не употребляют наших «арабских» цифр.
4
Подтверждение того, что знаки эти были в широком употреблении среди населения.
5
Расположение чисел здесь такое, какое принято в Англии и Америке: частное и делитель пишутся по обе стороны делимого.
6
Английское название игры «div-a-let» – сокращение от «division by letter» – деление буквами.
7
«Арифметика, сиречь наука числительная, повелением царя Петра Алексеевича в великом граде Москве типографским тиснением ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей на свет произведена в лето от рождества Бога слова 1703».
8
Максом Дюрингом («Zeitschr. f. pad. Psychol.», 1912).
9
Это была доска (стол), разграфленная на полосы, по которым передвигали особые шашки, игравшие роль косточек наших счетов. Такой вид имел греческий абак. Абак римский имел форму медной доски с желобами (прорезами), в которых передвигались кнопки. Родственен абаку перуанский «квипос» – ряд ремней или бечевок с завязанными на них узлами; этот счетный прибор получил особенное распространение среди первоначальных обитателей Ю. Америки, но, без сомнения, был в употреблении также и в Европе (см. далее, стр. 43).
10
Этот прием полезен и для устного деления на 9.
11
Один считает на камешках, другой – на бобах, читаем у Кампанеллы в «Государстве Солнца» (1602).
12
Перечисленные приемы умножения описаны в старинной «Арифметике» Тарталья. Наш современный способ умножения имеется там под названием «шахматного».
13
Венеция и некоторые другие государства Италии в XIV–XVI столетиях вели обширную морскую торговлю, и потому в этих странах приемы счета были, ради коммерческих надобностей, разработаны раньше, чем в других. Лучшие труды по арифметике появились в Венеции. Многие итальянские термины коммерческой арифметики сохранились еще в настоящее время.
14
Последние две девятки приписаны к делителю в процессе деления.
Это выясняется попутно при выводе признака делимости на 9 (читатель найдет вывод в каждом подробном учебнике арифметики).
15
Папирус был разыскан английским египтологом Генри Риндом; он оказался заключенным в жестяном футляре. В развернутом виде имеет 10 сажен длины, при 6 вершках ширины. Хранится в Британском музее, в Лондоне.
16
Звание «писец» принадлежало третьему классу египетских жрецов; в заведывании их находилось «все относившееся к строительной части храма и к его земельной собственности». Математические, астрономические и географические знания составляли их главную специальность (В. Бобынин).
17
«Природа и Люди» (потом была перепечатана в сборнике Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки»).
18
Зато, как увидим далее, для такой системы до крайности упрощаются таблица сложения и таблица умножения.
19
Нечетное число, умноженное на себя (т. е. на нечетное), всегда дает нечетное число (напр., 7 ? 7 = 49, 11 ? 11 = 121 и т. п.).
20
Древние (последователи Пифагора) считали 9 символом постоянства, так как все числа, кратные 9, сохраняют одну и ту же сумму цифр – 9.
Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-ричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.
Почему 12345 ? 9 + 6 дает именно 111111 – было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.
21
Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-ричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.
22
Почему 12345 ? 9 + 6 дает именно 111111 – было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.
23
В двоичной системе счисления, как мы уже объясняли ранее (см. главу V), все умножения именно такого рода. На этом примере мы наглядно убеждаемся в преимуществах двоичной системы.
24
Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999999, умноженному на число семерок в множителе; такое умножение легко выполнить в уме. Например, 42857 ? 28 = 999999 ? 4 = 4000000 -4 = 3999996.
25
Русский перевод (вольный) Жуковского. Эпизод, о котором далее идет речь, описан в главе VIII этой повести.
26
Проходившие алгебру знают, что и число 1 можно рассматривать, как степень 2, именно нулевую.
27
Единицу можно рассматривать как нулевую степень 3 (вообще как нулевую степень каждого числа).
28
Русский разновес: 2 п., 1 п., 20 ф., 10 ф., 5 ф., 3 ф., 2 ф., 1 ф.
29
Например, изящный фокус с «волшебным веером» – отгадывание задуманного числа, если известно, в каких табличках чисел оно находится.
30
Это свойство разности вытекает из «закона остатков», о котором мы упоминали раньше.
31
Нетрудно ввести и поправку на високосные годы.
32
Прием для вычисления числа минут читатель, после сказанного в следующей статье, не затруднится найти самостоятельно.
33
Деля 1904 на 28, мы уже учли, что 1904-й год – високосный; беря же в феврале 29 дней, мы учитываем это обстоятельство второй раз. Поэтому надо лишний день откинуть.
34
Для наглядности на стр. 140 приложен чертеж такого циферблата.
35
Способов сокращенного вычисления календарных дат существует множество. Я изложил здесь самый простой из известных мне приемов, употребляемый упомянутым выше германским математиком, Ф. Ферролем, прославившимся в последнее время своими поразительно быстрыми устными вычислениями.
36
Тушью, а не чернилами, чтобы возможно было, по миновании надобности, легко смыть точки с циферблата.
37
В книге «Положение человека во вселенной».
38
Например, взаимные расстояния планет измеряются десятками и сотнями миллионов верст; расстояния звезд – миллионами миллионов верст, а число молекул в кубическом сантиметре воздуха – миллионами миллионов миллионов. – Я.П.
39
Отметим для сведения, что в году (астрономическом) 31556926 секунд.
40
До какой степени люди склонны недооценивать величину миллионов, показывает следующий поучительный пример. Тот самый Уоллес, который так предостерегает других от преуменьшения миллиона, заканчивает приведенный выше (стр. 144–145) отрывок таким советом:
«В маленьких размерах каждый может устроить это сам для себя: стоит только достать сотню листов толстой бумаги, разлиновать их на квадратики и поставить крупные черные точки. Подобное изображение было бы очень поучительно, хотя не в такой, конечно, степени, как осуществленное в большом масштабе». Почтенный автор, по-видимому, полагал, что подобная работа под силу одному человеку. Между тем мы уже знаем, что для этого потребовался бы настоящий подвиг труда – несколько месяцев непрерывной работы, всецело посвященной кропотливой расстановке в квадратиках крупных черных точек (конечно, не по одной в секунду). Ошибка Уоллеса произошла, разумеется, вследствие недооценки истинной величины миллиона.
41
Мы проделали здесь умножение несколько необычным путем – вместо умножения числа мы только заменили самую единицу меры другою, в миллион раз большею. Этот прием очень удобен для устных подсчетов, и им следует пользоваться при выкладках с метрическими мерами.
42
Надо заметить, впрочем, что обычные цифровые обозначения весьма больших чисел и их названия употребляются лишь в популярно-научных книгах; в книгах же строго научных по физике и астрономии пользуются обыкновенно иным способом обозначения: биллион обозначается 1012, триллион – 1018, двадцать семь тысяч биллионов – 27–1015 и т. д. При таком способе обозначения сберегается место и, кроме того, гораздо легче производить над числами различные действия (по правилам, изучаемым в алгебре).
43
В каждом кубическом сантиметре воздуха (т. е. примерно в наперстке) насчитывается – отметим кстати – от 20 до 30 триллионов молекул. Не знаешь, чему изумляться больше: огромной численности молекул или их невообразимой малости…
44
Магницкий придерживался той классификации чисел, которая дает каждое новое наименование миллиону низших единиц (биллион – миллион миллионов, и т. д.)
45
Световой год – путь, проходимый лучом света в 1 год (свет пробегает в секунду 300000 километров).
46
Имеются в виду линейные размеры, т. е. поперечник атома, диаметр солнечной системы, высота или длина дома, и т. п.
47
Фурнье Дальб. «Два новые мира» (есть русский перевод).
48
Шувалово – небольшая станция в 10 верстах от Петрограда.