Но какое отношение имеет весь этот рис к поиску больших простых чисел? С того времени, как греки доказали, что простые числа продолжаются бесконечно, математики находились в непрестанном поиске умных формул, генерирующих все бо́льшие и бо́льшие простые числа. Одна из лучших таких формул была открыта французским монахом по имени Марен Мерсенн. Мерсенн был близким другом Пьера де Ферма и Рене Декарта, он служил своего рода интернет-хабом XVII в. Мерсенн состоял в переписке с учеными по всей Европе и делился идеями с теми, кто, на его взгляд, мог бы способствовать их дальнейшему развитию.
Его общение с Ферма привело к открытию мощной формулы для нахождения простых чисел. Секрет этой формулы спрятан в притче о рисе и шахматной доске. Когда вы считаете рисинки начиная с первой клетки, то сумма часто оказывается простым числом. Например, после первых трех клеток результат равен 1 + 2 + 4 = 7 рисинок, что является простым числом. Общее количество на пяти клетках будет 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 рисинка.
Мерсенн задался вопросом, не будет ли завершение подсчета рисинок на клетке, номер которой простой, также приводить к простому числу. Окажись так, появился бы способ получения все больших и больших простых чисел. Найдите, например, с помощью подсчета рисинок простое число, а затем перейдите к шахматной клетке, номер которой равен ему, и вы найдете еще большее простое число.
К несчастью для Мерсенна и математики, эта идея оказалась не совсем верной. Так, когда вы выберете 11-ю клетку на шахматной доске (этот номер соответствует простому числу), то с первой по эту клетку включительно будет 2047 рисинок. К сожалению, 2047 – составное число, оно равно 23 × 89. Но, хотя идея Мерсенна срабатывает не всегда, она привела к нахождению некоторых из самых больших известных простых чисел.
Книга Гиннесса простых чисел
Во время правления королевы Елизаветы I самым большим известным простым числом было количество рисинок на шахматной доске до девятнадцатой клетки включительно: 524 287. К тому моменту, когда лорд Нельсон сражался в Трафальгарской битве, рекордное простое число дошло до 31-й клетки: 2 147 483 647. Швейцарский математик Леонард Эйлер доказал в 1772-м, что это десятизначное число – простое. Оно удерживало первенство до 1867 г.
4 сентября 2006 г. рекорд перешел к числу, которое соответствует 32 582 657-й клетке, будь у нас достаточно большая шахматная доска. В этом новом простом числе более 9,8 миллиона цифр. Чтобы прочитать его вслух, потребовалось бы полтора месяца. Оно было найдено не каким-то гигантским суперкомпьютером, а математиком-любителем, который использовал программу, загруженную из интернета.
Замысел этой программы состоит в том, чтобы использовать компьютер во время его бездействия для проведения вычислений. В ней используется умная стратегия, которая была разработана для проверки того, являются ли числа Мерсенна простыми. Все же настольному компьютеру понадобилось несколько месяцев для проверки числа с 9,8 миллиона цифр. Но это намного быстрее методов, которые используются для тестирования того, является ли случайное число такого же размера простым. К 2009 г. более 10 тысяч человек присоединились к проекту по поиску простых чисел Мерсенна GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Однако будьте начеку, этот поиск небезопасен. Один доброволец GIMPS работал в американской телефонной компании. Он решил привлечь к своему поиску простых чисел Мерсенна 2585 компьютеров компании. Вскоре у руководства возникли подозрения: компьютерам требовалось 5 минут, а не 5 секунд, чтобы выдавать телефонные номера. Когда в конечном счете ФБР сумело найти причину замедления, служащий признался: «Вся эта вычислительная мощь была слишком большим искушением для меня». Но телефонная компания не прониклась симпатией к научному поиску и уволила служащего.
Если вы хотите, чтобы ваш компьютер присоединился к GIMPS, загрузите программное обеспечение на сайте www.mersenne.org.
После сентября 2006 г. математики ждали затаив дыхание, что рекорд преодолеет барьер в 10 000 000 цифр. У предвкушения были не только академические причины: премия в $ 100 000 ждала того, кто первым преодолеет этот барьер. Деньги были выделены расположенным в Калифорнии Фондом электронных рубежей EFF (Electronic Frontier Foundation). Эта организация способствует сотрудничеству в киберпространстве и его развитию.
Понадобилось еще два года, чтобы рекорд пал. По жестокой прихоти судьбы с промежутком в несколько дней были найдены два простых числа-рекордсмена. Немецкий энтузиаст Ганс-Михаэль Элвених, занимавшийся любительским поиском простых чисел, решил, что он сорвал джекпот, когда его компьютер объявил 6 сентября 2008 г., что найдено новое простое число Мерсенна с 11 185 272 цифрами. Элвених представил результат жюри, но возбуждение сменилось отчаянием – его опередили на 14 дней. 23 августа компьютер Эдсона Смита, работавшего на математическом факультете Калифорнийского университета в Лос-Анджелесe (UCLA), нашел большее простое число с 12 978 189 цифрами. Обновление рекорда простых чисел не было в новинку для Калифорнийского университета. Математик Рафаэль Робинсон, работавший в UCLA, открыл пять простых чисел Мерсенна в 1950-х гг., и еще два были найдены Алексом Гурвицем в начале 1960-х.
Разработчики программы, используемой GIMPS, решили, что призовые деньги не должны просто быть отправлены счастливчику, получившему для проверки число Мерсенна. $ 5000 получили разработчики программного обеспечения, $ 20 000 были поделены между теми, кто обновлял рекорды после 1999 г., $ 25 000 пошли на благотворительность, а оставшиеся деньги достались Эдсону Смиту из Калифорнии.
Если вы по-прежнему хотите выиграть деньги посредством поиска простых чисел, не берите в голову, что отметка в 10 000 000 цифр уже пройдена. За каждое новое число Мерсенна будет выдан приз в $ 3000. Но, если вам нужны большие деньги, знайте, что $ 150 000 предлагается превзошедшему отметку в 100 миллионов цифр, а $ 200 000 получит тот, кто пересечет рубеж в миллиард цифр. Благодаря древним грекам мы знаем, что такие рекордные простые числа дожидаются, пока кто-нибудь обнаружит их. Вопрос лишь в том, насколько инфляция уничтожит призовые деньги, когда очередной рекордсмен подаст заявку на их получение.
Простое число Эдсона Смита феноменально велико. Чтобы записать его цифры в этой книге, понадобилось бы 3000 страниц. К счастью, небольшое математическое упражнение приводит к формуле, которая представляет это число значительно более кратким образом.
Полное число рисинок с 1 по N-ю клетку доски включительно определяется выражением
Прием для нахождения формулы для этого числа состоит в следующем. Перепишем R = 2R – R, данное преобразование настолько очевидно, что на первый взгляд кажется бесполезным. Каким же образом столь очевидное выражение может помочь в вычислении R? В математике часто оказывается полезным взглянуть на вещи с несколько иной перспективы, после чего они могут самым неожиданным образом поменять свой вид.
Давайте сначала вычислим 2R. Это лишь означает удвоение всех слагаемых в большой сумме. Но смысл преобразования в том, что удвоение числа рисинок на одной из клеток приводит к числу рисинок на следующей клетке. Итак,
Следующий шаг состоит в вычитании R. Это выбьет из 2R все члены, кроме последнего:
Итак, полное число рисинок с 1-й по N-ю клетки шахматной доски равно 2N – 1, эта формула и отвечает за бьющие рекорд простые числа сегодняшнего дня. Удваивайте достаточное количество раз, затем отнимите 1, и вы можете надеяться, что наткнетесь на простое число Мерсенна. Так называются простые числа, полученные с помощью данной формулы. В ней нужно положить N = 43 112 609, и вы получите простое число Эдсона Смита с его 12 978 189 цифрами.
Как драконова лапша пересекает Вселенную
Рис – вовсе не единственная еда, которая связана с мощью удвоения для получения простых чисел. Драконова лапша, или лагман, традиционно приготавливается растягиванием теста руками с последующим складыванием, что приводит к удвоению длины. Каждый раз, когда тесто растягивается, лапша становится длиннее и тоньше, но необходимо работать стремительно, потому что тесто быстро высыхает и распадается в крошево.
Повара по всей Азии соревнуются в удвоении длины лапши максимальное количество раз. В 2001 г. тайваньский повар Чанг Хан Ю сумел удвоить длину своего теста 14 раз за 2 минуты. В конце у него получилась настолько тонкая лапша, что она могла бы пройти сквозь игольное ушко. Могущество удвоения таково, что полученная лапша могла бы протянуться из ресторана господина Чанга в центре Тайбэя до окраины города. Когда она была нарезана, то получилось 16 384 куска лапши.
Эта сила удвоения очень быстро приводит к крайне большим числам. Например, если бы Чанг Хан Ю мог продолжить и удвоить длину своей лапши 46 раз, толщина лапши была бы порядка размера атома. Она была бы достаточно длинной, чтобы протянуться из Тайбэя до внешних пределов Солнечной системы. Удвоившись по длине 90 раз, лапша могла бы протянуться от одного края наблюдаемой Вселенной до другого. Чтобы ощутить, насколько велик сегодняшний рекордсмен простых чисел, открытый в 2008 г., представьте, что лапшу удвоили 43 112 609 раз и затем отняли один кусок лапши.
Насколько велик шанс, что ваш телефонный номер – простое число?
Одна из причуд, свойственных математикам, состоит в проверке того, является ли телефонный номер простым числом. Я недавно переехал в другой дом, и мне требовалось поменять телефонный номер. Мой предыдущий телефонный номер не был простым числом, а номер дома, 53, был. Я надеялся, что по новому адресу (номер 1, бывшее простое число) мне повезет больше.
Первый номер, который мне предложила телефонная компания, выглядел обещающе, но, когда я проверил его на компьютере, оказалось, что он делится на 7. «Я не уверен, что сумею запомнить этот номер… нет ли возможности получить другой?» Но следующий также был составным – он делился на 3. (Легкий способ проверки того, делится ли ваш номер на 3, состоит в следующем: нужно сложить вместе его цифры, если сумма делится на 3, то тем же свойством обладает и номер.) После трех последующих попыток терпение служащего телефонной компании лопнуло: «Сэр, боюсь, что я попросту присвою вам первый появившийся номер». И, увы, теперь он у меня четный. Вот это номер!
Итак, каковы были мои шансы получить простой телефонный номер? В нем восемь цифр. У восьмизначного числа приблизительно один шанс из семнадцати оказаться простым. Но как меняется эта вероятность с увеличением количества цифр? Например, имеется 25 простых чисел, меньших 100, что означает, что у числа с 1 или 2 цифрами один шанс из четырех оказаться простым. В среднем при счете от 1 до 100 каждое четвертое число будет простым. Но чем дальше вы считаете, тем реже становятся простые числа.
В приведенной таблице показано изменение вероятности:
В чем состоит задача на миллион долларов?
Вопрос на миллион долларов касается природы этих игральных костей: честные они или шулерские? Будут ли они распределять простые числа во вселенной всех чисел справедливо или же будут области с предвзятыми результатами, где простых чисел слишком много либо слишком мало? Эта задача называется гипотезой Римана. Бернхард Риман был студентом Гаусса в немецком городе Гёттингене. Он разработал крайне изощренный математический аппарат, позволяющий понять, каким образом эти кости распределяют простые числа. Используя специальную функцию, называемую дзета-функцией, особые числа, называемые компле́ксными, и проведя анализ, ошеломляющий по своему объему, Риман разработал математику, контролирующую падение этих игральных костей. Он полагал, основываясь на своем анализе, что игральные кости должны быть «честными», но не мог доказать этого. Доказать гипотезу Римана – ваша задача.
Другая интерпретация гипотезы Римана состоит в уподоблении простых чисел молекулам газа в комнате. Вы не можете знать в произвольном случае, где находится каждая из молекул, но физика утверждает, что молекулы будут довольно равномерно распределены по комнате. Невозможно такое, что в одном углу будет повышенная концентрация молекул, а в другом – полный вакуум. У гипотезы Римана схожие следствия применительно к простым числам. Она не может подсказать нам, где находится каждое из простых чисел, но гарантирует, что во вселенной чисел они распределены справедливым, пусть и случайным образом. Для математиков часто хватает такого вида гарантии, чтобы пуститься в навигацию по вселенной чисел с достаточной степенью уверенности. Тем не менее, пока не получен приз в миллион долларов, мы не вполне можем осознавать, как ведут себя простые числа, по мере того как наш счет уводит все глубже и глубже в нескончаемые просторы математического космоса.