Как шаху могла понравиться игра «Убей правителя» – загадка. Однако, гласит легенда, шах был настолько восхищен новым развлечением, что предложил великому визирю самому назначить себе награду. Предложение не застало того врасплох. Визирь ответил, что он человек скромный и просьба его будет самой скромной. Вот игровая доска, расчерченная на восемь столбцов и восемь рядов. Пусть на первую клетку положат всего лишь одно зернышко пшеницы, на вторую в два раза больше, на третью – еще в два раза больше и так далее, пока все клетки не будут заполнены. Шах запротестовал. Столь ничтожная плата за такое замечательное изобретение! Он предлагал драгоценности, красавиц, дворцы. Но мудрец, смиренно потупившись, отвергал любые дары. Все, что ему нужно, – малая толика пшеницы. И правитель, втайне сетуя на непритязательность и упрямство своего советника, согласился.
РАСЧЕТ ВОЗНАГРАЖДЕНИЯ, КОТОРОЕ ШАХ ДОЛЖЕН БЫЛ ВЫПЛАТИТЬ ВИЗИРЮ
Давайте подсчитаем, сколько же зерен пшеницы нужно было поместить на шахматную доску из персидской легенды. Не пугайтесь, это не сложно!
Следующий изящный ход позволит нам получить практически точный результат.
Показатель степени говорит, сколько раз мы умножили число 2 само на себя. 22 = 4, 24 = 16, 210 = 1024 и т. д. Пусть S – общее количество зерен на доске, от одного зернышка на первой клетке до 263 на 64-й. Тогда, очевидно:
S = 1 + 2 + 22 + 23 +… + 262 + 263.
Просто умножив на два обе части уравнения, приведем его к виду:
2S = 2 + 22 + 23 + 24 +… + 263 + 264.
Вычтем первое уравнение из второго:
2S – S = S = 264 – 1.
Это и есть ответ.
Чтобы представить размер этого числа, перейдем к обычной десятичной записи. 210 – это примерно 1000, или 103 (с разницей в 2,4 %). Таким образом, 220 = 2(10 × 2) = (210)2 = примерно (103)2 = 106, что есть 10, взятые шесть раз, т. е. миллион. Аналогично, 260 = (210)6 = примерно (103)6 = 1018. Тогда 264 = 24 × 260 = около 16 × 1018, или 16 с восемнадцатью нулями – 16 квинтиллионов зерен. Точный расчет дает 18,6 квинтиллиона.