Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение - Фейнман Ричард Филлипс 9 стр.

L=хр_y-ур_х=rp_танг=р·Плечо импульса. (18.17)

Момент количества движения, как и момент силы, зависит от положения оси, относительно которой он вычисляется.

Прежде чем перейти к рассмотрению более чем одной части­цы, применим полученные выше результаты к движению пла­неты вокруг Солнца. В каком направлении действует сила? Конечно, по направлению к Солнцу. А какой при этом будет момент силы? Разумеется, все зависит от того, в каком месте мы выберем ось, однако результат получится совсем простым, если в качестве точки вращения выбрать само Солнце. Посколь­ку момент силы равен силе, умноженной на ее плечо, или ком­поненте силы, перпендикулярной к радиусу r, умноженной на r, то в этом случае нет никакой тангенциальной составляющей силы, а поэтому момент силы относительно оси, проходящей через Солнце, равен нулю. Следовательно, момент количества движения должен оставаться постоянным. Давайте-ка посмот­рим, что это означает. Произведение тангенциальной компонен­ты скорости на массу и радиус, будучи моментом количества движения, должно оставаться постоянным, потому что скорость его изменения есть момент силы, который в нашем случае равен нулю. Это означает, что остается постоянным произведение тангенциальной компоненты скорости на радиус, поскольку масса-то уж, конечно, не изменяется. Но такая величина, ха­рактеризующая движение планеты, уже вычислялась нами раньше. Предположим, что мы взяли маленький промежуток времени Dt. Какое расстояние пройдет планета при своем дви­жении из точки Р в точку Q (фиг. 18.3)? Как велика площадь той области, которую «заметает» прямая, соединяющая пла­нету с Солнцем? Пренебрегая площадью QQ'P, которая очень мала по сравнению с OPQ, находим, что площадь этой области равна половине основания PQ, умноженного на высоту OR. Другими словами, «заметенная» площадь равна половине про­изведения скорости на ее плечо. Так что скорость изменения этой площади пропорциональна моменту количества движения, который остается постоянным. Итак, мы получим, что закон Кеплера о равных площадях за равные промежутки времени является просто словесным описанием закона сохранения мо­мента количества движения, когда моменты внешних сил от­сутствуют.

§ 4. Закон сохранения момента количества движения

Посмотрим теперь, что получается в случае большого коли­чества частиц, т. е. когда тело состоит из множества частичек со множеством сил, действующих между ними и извне. Разуме­ется, мы уже знаем, что момент силы, действующий на любую i-ю частицу (т. е. произведение силы, действующей на i-ю час­тицу, на ее плечо), равен скорости изменения момента количе­ства движения этой частицы, а момент количества движения i-й частицы в свою очередь равен произведению импульса час­тицы на его плечо. Допустим теперь, что мы сложили моменты сил t_i- всех частиц и назвали это полным моментом сил t. Эта величина должна быть равна скорости изменения суммы момен­тов количества движения всех частиц L_i. Эту сумму можно принять за определение новой величины, которую мы назовем полным моментом количества движения L. Точно так же, как импульс тела равен сумме импульсов составляющих его частиц, момент количества движения тела тоже равен сумме моментов составляющих его частиц. Таким образом, скорость изменения полного момента количества движения L равна полному мо­менту сил

Фиг. 19.1. Центр масс сложного тела лежит на линии, соеди­няющей центры масс двух составляющих его частей.

Центр масс в этом случае можно найти сле­дующим образом. Находим сначала отдельно центры масс сос­тавных частей А и В и их полные массы М_Аи М_B. После этого находим центр масс двух точечных тел, одно из которых имеет массу М_Аи расположено в центре масс части А, а другое — массу М_Bи расположено в центре масс части В, Полученная точка и будет центром масс всего тела. Другими словами, если нам известны центры масс всех частей сложного тела, то, чтобы найти его центр масс, не нужно повторять все сначала, а дос­таточно просто найти центр масс системы точечных тел с мас­сами, равными массам каждой из частей и расположенными в их центрах масс. Посмотрим, как это получается. Пусть мы хотим определить центр масс сложного тела, одни из частиц которого принадлежат части А, а другие — части В. При этом мы можем разбить полную сумму Sm_ix_i на сумму по части А, т. е. S_Am_ix_i и сумму по части В, т. е. S_Bm_ix_i. Если бы мы находили центр масс только части А, то нам потребовалась бы первая из этих сумм, которая, как вы знаете, равна М_АХ_А, т. е. полной массе части А на x-координату ее центра масс: это просто следствие теоремы о центре масс, применен­ной к части A. То же самое можно сказать и о части В. Сумма S_Bm_ix_iдолжна быть равна М_ВХ_В. Сложив эти два результата, мы, конечно, должны получить MX, т. е.

МХ_ц.м.=Sm_ix_i+Sm_ix_i=М_АХ_А+М_ВХ_В. (19.2)

Полная же масса М, очевидно, равна М_А+М_B, так что выражение (19.2) представляет собой не что иное, как определение центра масс двух точек, одна из которых имеет массу М_Аи координату Х_А, а другая — массу М_Bи координату Х_B.

Теорема о движении центра масс интересна не только сама по себе, она еще играет очень важную роль в развитии нашего понимания физики. Если мы предположим, что законы Ньютона верны только для маленьких частей, составляющих большое те­ло, то эта теорема показывает, что они верны также и для боль­шого тела. Мы можем не знать его детального строения и нам известны лишь общая масса и полная сила, действующая на него. Другими словами, законы Ньютона имеют ту особенность, что если они справедливы в малом масштабе, то справедливы и в большом. Нет никакой нужды рассматривать футбольный мяч как ужасно сложную вещь, состоящую из мириада взаимодей­ствующих частиц, а достаточно изучить только движение его центра масс под действием внешней силы F, чтобы получить F=ma, где а — ускорение центра масс, а m — полная масса мяча. Итак, закон F=ma воспроизводит сам себя в большом масштабе. (Наверное, должно быть какое-нибудь хорошее гре­ческое слово, которым можно было бы назвать подобные вос­производящие себя в большом масштабе законы.)

Нетрудно, конечно, догадаться, что первый открытый чело­веком закон должен быть именно таким законом, воспроизво­дящим самого себя в большом масштабе. Почему? Да просто потому, что истинный размер фундаментальных «винтиков и колесиков» Вселенной есть атомный размер, который настолько меньше размеров окружающих нас вещей, что только сейчас начинает входить в обычную жизнь. Итак, первая открытая человеком закономерность не могла иметь отношения к разме­рам атомного масштаба. Если бы законы для малых частиц не воспроизводили себя в большом масштабе, то открыть их было бы не так-то легко. А что можно сказать об обратной проблеме? Должны ли законы микромира быть теми же самыми, что и для больших тел? Никакой необходимости в этом, конечно, нет.