[Примеры этого тождества]
Примечание 2
[Кантово применение определения степени к бытию души]
c) Изменение определенного количества
a) Ее понятие
b) Количественный бесконечный прогресс
Бесконечный прогресс есть вообще выражение противоречия, в данном случае – выражение того противоречия, которое заключается в количественно-конечном или, иными словами, в определенном количестве вообще. Он есть то взаимоопределение конечного и бесконечного, которое мы рассмотрели выше в качественной сфере, с тем различием, что, как мы только что указали, в количественном граница в самой себе выводит себя в свое потустороннее и продолжается в нем, и тем самым, наоборот, и количественно бесконечное положено имеющим в себе самом определенное количество; ибо определенное количество есть в своем вне-себя-бытии вместе с тем оно же само, его внешность есть его определение.
Примечание 1
[Высокое мнение о бесконечном прогрессе]
(«Нагромождаю тьму чисел, мильоны гор, нагромождаю времена над временами, миры над мирами. И когда я со страшной высоты снова взираю с головокружением на тебя, то вся сила чисел, умноженная тысячекратно, еще не составляет и части тебя. Я их вычитаю, а ты – весь предо мною»).
Примечание 2
[Кантовская антиномия ограниченности и неограниченности мира во времени и в пространстве]
Тезис гласит:
c) Бесконечность определенного количества
Примечание 1
Определенность понятия математического бесконечного
Это уже само по себе есть нечто неудовлетворительное; такой образ действия ненаучен. Но он влечет за собою еще и ту невыгоду, что математика, не зная природы этого своего орудия вследствие того, что не справилась с его метафизикой и критикой, не могла также определить, объем его применения и обеспечить себя от злоупотребления им.
При всех своих возражениях против математического бесконечного метафизика не может отрицать или опровергнуть блестящих результатов, которые дало его применение, а математика не умеет выяснить метафизику своего собственного понятия и поэтому не в состоянии также и дать вывод тех приемов, которые делает необходимым применение бесконечного.
Стоит труда рассмотреть ближе математическое понятие бесконечного и те наиболее замечательные попытки, которые ставят себе целью оправдать пользование им и устранить затруднение, тяготеющее над методом. Рассмотрение этих оправданий и определений математического бесконечного, которые я изложу в этом примечании более пространно, бросит вместе с тем наиболее яркий свет и на самую природу истинного понятия и покажет, что оно предносилось уму авторов этих попыток и лежало в основании последних.
Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике относительно этого бесконечного; из них сделается ясным, что в их основании лежит такая мысль о предмете, которая согласуется с развитым здесь понятием, но что создатели этой отрасли математики не обосновали этой мысли как понятие, и в применениях они вынуждены были прибегать к обходным средствам, противоречащим их лучшему делу.
Я приведу еще самое существенное о попытках геометров устранить эти затруднения.
Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя подобным способом доказательства.
Примечание 2
Цель диференциального исчисления, выведенная из его приложения
Если будем доискиваться этого своеобразия путем простого обозрения того, что имеется в этой части математики, то мы найдем в качестве ее предмета
Примечание 3
Еще другие формы, находящиеся в связи с качественной определенностью величины
В чем состоит отличие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, теперь само собою ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это качественное, равно как и бесконечно-малое, есть лишь множитель (в арифметике) относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Долженствующий же быть сделанным качественный переход от дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина, к непрерывному осуществляется как суммирование.
Отношение вообще есть:
О природе излагаемых ниже отношений многое уже было сказано наперед в предшествующих примечаниях, касающихся бесконечного в количестве, т. е. качественного момента в последнем; теперь остается поэтому лишь разъяснить абстрактное понятие этих отношений.
1. Определенное количество, полагающее себя в своем инобытии тождественным с собою, определяющее само свое выхождение за себя, достигло для-себя-бытия. Таким образам оно представляет собой некоторую качественную целокупность, которая, поскольку она полагает себя как развернутую, имеет своими моментами определения понятия числа – единицу и численность; в обратном отношении численность есть некоторое такое множество, которое еще не определено самой единицей как таковою, а определено откуда-то извне, некоторым третьим; теперь же численность положена как определяемая лишь ею же. Это происходит в степенном отношении, где единица, которая сама по себе есть численность, есть вместе с тем численность в отношении себя как единицы. Инобытие, численность единиц, есть самая же единица. Степень есть некоторое множество единиц, каждая из которых есть самое это множество. Определенное количество как безразличная определенность изменяется; но поскольку это изменение есть возвышение в степень, это его инобытие ограничено исключительно самим собою. – Таким образом, определенное количество положено в степени, как возвратившееся в себя само; оно непосредственно есть оно само и также и свое инобытие.
Примечание
* К излишеству в самом способе доказательства присоединяется здесь еще излишество слов: «Так как у последних (именно, у субстанций) сложность есть лишь случайное отношение субстанций».
* Grad по-немецки степень интенсивности, градус. В большинстве случаев мы предпочли передавать «Grad» не через «степень», а через «градус», чтобы избежать смешения с «Potenz» (математическая степень), хотя «градус», может быть, несколько затушевывает качественный характер интенсивной величины. – ?ерев.
* Anzahl; перевод черев «численность» дан Лениным, хотя и предположительно и как один из возможных переводов (см. «Ленинский сборник» IX, стр. 82). Дебольский переводит – «определенное число»; в томе I настоящего изд. – «определенное множество». – ? е ? е в.
* В примечании к тезису первой космологической антиномии в «Критике чистого разума».
1. Мера есть простое соотношение определенного количества с собою, его собственная определенность в самом себе; таким образом, определенное количество качественно. Ближайшим образом мера, как непосредственная мера, есть некоторое непосредственное и поэтому некоторое определенным образом определенное количество; столь же непосредственным является и сопряженное с ним качество, оно есть какое-нибудь определенное качество. – Определенное количество, как эта уже более не безразличная граница, как соотносящаяся с собою внешность, само, таким образом, есть качество и, будучи отличным от последнего, оно не простирается дальше его, равно как и это качество не идет дальше этого определенного количества. Оно есть, таким образом, возвратившаяся в простое равенство с собою определенность; оно едино с определенным наличным бытием, точно так же, как это последнее едино со своим определенным количеством.
Эта непосредственная мера есть некоторое простое определение величины, как например величина органических существ, их членов и т. д. Но всякое существующее, чтобы быть тем, что оно есть, и чтобы вообще обладать существованием, имеет некоторую величину. – Как определенное количество, она есть безразличная величина, открытая внешнему определению и способная подниматься по лестнице большего и опускаться по лестнице меньшего. Но как мера, она вместе с тем отлична от себя самой как определенного количества, как такого безразличного определения, и есть ограничение этого безразличного движения взад и вперед вдоль границы.
Затруднение, противоречие, получающееся в результате, не есть нечто софистическое в обычном смысле этого слова, не есть ложная уловка, введение в обман. Ложным является то, что совершает предполагаемый другой собеседник, т. е. наше обыденное сознание, принимающее количество лишь за безразличную границу, т. е. берущее его именно в том определенном смысле, в каком оно есть количество как таковое. Это предположение изобличается как ложное той истиной, к которой оно приводится, истиной, заключающейся в том, что количество есть момент меры и находится в связи с качеством; что здесь опровергается, – это одностороннее цепляние за абстрактную определенность определенного количества. – Вышеуказанные обороты рассуждения и не суть поэтому пустая или педантическая шутка, а внутренне правильны и являются порождениями сознания, интересующегося явлениями, встречающимися в области мышления.
Эта последняя есть
a) Правило (57)
b) Специфицирующая мера
Примечание
c) Отношение обеих сторон как качеств