Чтобы смоделировать траекторию случайного процесса Ито на отрезке [t, Т], этот отрезок разбивается на n равных частей (n должно быть большим), а затем разыгрывается случайная величина ξ, распределенная нормально с параметрами
Тогда для последовательности случайных чисел δ1, δ2…., δn будет построена соответствующая последовательность значений случайной величины ξ, а траектория случайного процесса Ито будет определяться точками:Указанным выше способом можно построить сколь угодно много траекторий случайного процесса Ито.
1.29. Основы теории экстремальных значений
Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин: η1, η2…., ηn…. с функцией распределения F(x).
Можно рассмотреть новую последовательность случайных величин {Mn}, где Mn = max {η1, η2…., ηn….}, n = 1, 2, 3…..
Функция распределения случайной величины Mn определяется следующим образом:
Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин η1, η2…., ηn…..
Если случайные величины η1, η2, …, ηn независимы и одинаково распределены, а n достаточно велико, то функция распределения случайной величины Mn = max{η1, η2, …, ηn} практически совпадает с функцией обобщенного распределения экстремальных значений (при подходящем выборе параметров ξ, μ и σ).
Предположим, что случайная величина Mn = max{η1, η2, …, ηn} имеет распределение Фреше, т. е.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Плотность распределения случайной величины Mn имеет следующий вид (рис. 1.32).
2. Математическое ожидание и дисперсии случайной величины Mn можно найти по формулам:
Параметры ξ, μ, σ можно подобрать на основе статистических данных.
Для измерений экстремальных событий может быть использовано распределение Парето (Pareto distribution), которое определяется функцией:
Для большого класса случайных величин η при достаточно большом пороговом значении u справедливо равенство:
Соотношение (1.85) позволяет оценивать «хвосты» распределений на основе статистических данных.
Литература
1. Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2003.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 2001.
3. Дуглас Л. Г. Анализ рисков операций с облигациями на рынке ценных бумаг. – М.: Филинъ, 1998.
4. Количественные методы финансового анализа / Под. ред. С. Дж. Брауна, М. П. Крицмена. – М.: ИНФРА-М, 1996.
5. Fabozzi F. J. Fixed income mathematics. 3rd ed. – N.Y.: McGraw-Hill, 1997.
6. Fabozzi F. J. (ed.) Advances in fixed income valuation, modeling and risk management. – Pennsylvania: Associates New Hope, 1997.
II. Производные финансовые инструменты
В. Е. Барбаумов
2.1. Введение
В настоящее время для идентификации и измерения рисков широко используется теория производных финансовых инструментов. Изучение производных финансовых инструментов важно еще и потому, что сами эти инструменты являются источниками рисков как для различных финансовых институтов, так и для финансового рынка в целом. Кроме того, производные финансовые инструменты – одно из важнейших средств хеджирования тех или иных рисков. Именно поэтому данная глава посвящена изучению производных финансовых инструментов.
В главе рассматриваются как простейшие производные финансовые инструменты – форвардные и фьючерсные контракты, свопы, так и более сложные – опционы различных видов и инструменты со встроенными опционами. Основное внимание уделяется методам оценки таких инструментов и основным направлениям их использования.
Важнейшими производными финансовыми инструментами являются классические европейские и американские опционы. Подробно рассматриваются методы оценки таких опционов в случае, когда стоимость исходных активов определяется геометрическим броуновским движением. В частности, приводятся формулы Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов и разбирается их использование. Применение классических опционов для хеджирования основных финансовых рисков также рассматривается в данной главе.
В заключительной части главы обосновывается построение биномиальной модели процентной ставки и ее использование для оценки финансовых инструментов, производных от процентных ставок: кэпов, флоров, свопционов и облигаций со встроенными опционами. Кроме того, приводится обзор и других моделей временной структуры процентных ставок.
2.2. Форвардные контракты и их основные характеристики
В настоящее время на развитых финансовых рынках важную роль играют так называемые производные инструменты (derivatives). Простейшим из производных инструментов является форвардный контракт.
Форвардный контракт, или форвард (forward), представляет собой соглашение купить или продать некоторые активы, называемые «базисными» (underlying), в определенный момент времени в будущем по заранее установленной цене. Обычно форвардные контракты заключаются между финансовым институтом и одним из его корпоративных клиентов. Таким образом, в форвардном контракте всегда присутствуют две стороны. При этом говорят, что сторона, согласившаяся в будущем купить активы, занимает длинную позицию, а сторона, согласившаяся продать активы, – короткую.
Так как стороны форвардного контракта равноправны и подвержены одному и тому же риску, то при заключении форвардного контракта никто никому ничего не платит. Это означает, что в момент заключения форвардного контракта стоимость его равна нулю.
Цену, по которой стороны согласились купить (и соответственно продать) активы, называют ценой поставки активов (delivery price). Цену поставки обозначим через K. Момент времени, когда происходит покупка и продажа активов, называют датой исполнения форвардного контракта, или датой поставки. Момент исполнения форвардного контракта обозначим через Т.
В момент исполнения форвардного контракта доход (выигрыш) от той или иной позиции определяется в зависимости от цены поставки K и спот-цены активов ST. Доход от длинной позиции в момент Т равен ST – K, а от короткой позиции K – ST (рис. 2.1 и 2.2).
В дальнейшем мы будем исходить из следующих предположений:
1. Рынки являются совершенными (perfect):
• отсутствуют транзакционные расходы и налоги;
• ни один инвестор, покупая или продавая активы, не может повлиять на цены;
• разрешены короткие продажи.
2. Участники рынка могут неограниченно кредитовать или занимать деньги под одну и ту же безрисковую ставку
(при непрерывном начислении).3. По форвардным сделкам отсутствует кредитный риск.
4. Отсутствуют прибыльные арбитражные возможности, т. е. нельзя получить безрисковый доход за счет различия цен на активы.
При соблюдении этих условий все форвардные контракты на один и тот же вид активов с датой поставки Т будут в данный момент времени заключаться по одной и той же цене поставки.
Действительно, предположим, что в данный момент времени можно заключить форвардные контракты с ценами поставки К1 и K2, где K1 > K2.
Тогда можно занять короткую позицию по первому контракту и одновременно длинную позицию по второму контракту, при этом начальные затраты будут нулевыми. В момент Т исполнения контрактов будет получен доход K1 – K2 на каждую единицу активов. Так как отсутствуют прибыльные арбитражные возможности, то этого быть не может. В силу этого закона одной цены имеет смысл следующее определение:
Цена поставки, по которой в данный момент времени t заключаются форвардные контракты на данный вид активов с датой исполнения Т, называется форвардной ценой активов (forward price) на срок Т – t лет.
Итак, в начальный момент времени стоимость форвардного контракта равна нулю, так как в этот момент времени форвардная цена активов совпадает с ценой поставки этих активов. Однако через некоторое время форвардная цена активов может измениться, а цена поставки зафиксирована в контракте. Значит, после заключения форвардного контракта та или иная позиция по этому контракту может приобрести положительную или отрицательную стоимость. Эта величина показывает, что можно было бы получить, продав форвардный контракт, если бы существовал вторичный рынок для таких контрактов.
Если бы существовал вторичный рынок для форвардных контрактов, то стоимости длинной и короткой позиций в форвардном контракте определялись бы следующими равенствами:
где t – текущий момент времени (после заключения форвардного контракта);
Т – дата поставки;
K – цена поставки;
F – форвардная цена на момент t.
Докажем, например, равенство (2.1). Если
то займем сумму fдл под безрисковую ставку
на срок Т -1 лет, приобретем длинную позицию по форвардному контракту с ценой поставки K и займем короткую позицию по контракту с ценой поставки F. В момент времени Т будет получен безрисковый доход:При отсутствии прибыльных арбитражных возможностей этого быть не может. Предположим теперь, что
В этом случае произведем короткую продажу длинной позиции по форвардному контракту с ценой поставки K, полученную денежную сумму fдл инвестируем под ставку
на Т- t лет и займем длинную позицию по форвардному контракту с ценой поставки F. В момент времени Т доход составит:Так как этот доход, очевидно, является безрисковым, то и неравенство (2.4) выполняться не может. Значит,
Популярным видом форвардных контрактов является соглашение о форвардной процентной ставке (forward rate agreement – FRA).
Соглашение о форвардной процентной ставке – это контракт, устанавливающий на определенный будущий период процентную ставку для заемщика и кредитора.
Сторона, занимающая длинную позицию по FRA, обязана через Т1 месяцев от текущего момента взять кредит размером L на срок Т2 – Т1 месяцев под контрактную процентную ставку fk. Сторона, занимающая короткую позицию по FRA, обязана через Т1 месяцев от текущего момента предоставить кредит размером L на срок Т2 – Т1 месяцев под контрактную процентную ставку fk.
Замечание. Обычно разность Т2 – Т1, измеряемая в месяцах, является делителем 12, причем если 12/(Т2 – Т1) = m, то контрактная процентная ставка определяется при начислении m раз в году.
Выигрыш стороны с длинной позицией по FRA на момент Т2 составляет:
где R – рыночная процентная ставка на момент Т1.
В самом деле, взяв кредит размером L под контрактную процентную ставку fk, можно полученную сумму инвестировать под рыночную ставку R. Тогда выигрыш на момент Т составит:
Пример 2.1. Длинная позиция по FRA эквивалентна следующей стратегии:
• взять кредит за 5 месяцев;
• инвестировать полученную сумму на 2 месяца.
Во многих случаях по условиям FRA фактического размещения денежных средств не производится, а расчеты производятся в момент времени Т1.
В этом случае сторона с длинной позицией по FRA в момент Т1 получает денежную сумму
а сторона с короткой позицией ее платит.При отсутствии арбитражных возможностей контрактная процентная ставка по FRA должна совпадать с предполагаемой форвардной процентной ставкой Т1fТ2.
Для доказательства рассмотрим следующие две стратегии:
2.3. Форвардная цена финансовых активов
Форвардная цена активов зависит от вида этих активов и от того, приносят ли эти активы доходы. В данном разделе мы рассмотрим, как оцениваются форвардные цены финансовых активов, т. е. таких, которые рассматриваются участниками рынка только как средство инвестирования, в отличие от товаров, которые участники рынка рассматривают как средство потребления.