Таким образом, при различных параллельных сдвигах кривой доходностей относительное изменение стоимости портфеля А всегда больше относительного изменения стоимости портфеля В.
При непараллельных сдвигах кривой доходностей (yield curve twist), т. е. когда требуемые доходности изменяются по-разному, ситуация может оказаться противоположной. В частности, если требуемые доходности облигаций Х, Y и Z уменьшаются на 75, 25 и 50 б. п. соответственно, то относительные изменения стоимостей портфелей А и В будут равны 2,662 и 3,287 %, т. е. относительный рост стоимости портфеля А окажется ниже относительного роста стоимости портфеля В.
Основные характеристики портфеля облигаций – средневзвешенная (или внутренняя) доходность, модифицированная дюрация и выпуклость – используются для сравнения портфеля облигаций с точки зрения их инвестиционного качества.
Однако эти характеристики не всегда дают возможность сделать правильный вывод.
Пример 1.44 [5]. Рассмотрим портфели А и В из предыдущего примера 1.43. Основные характеристики этих портфелей приведены в таблице:
Для сравнения портфелей А и В воспользуемся показателем, называемым годовой реализуемой доходностью за 6 месяцев.
В данном случае годовая реализуемая доходность за 6 месяцев портфелей А и В может быть найдена по формуле:
В таблице показаны разности годовых реализованных доходностей портфелей А и В (RB – RA) при различных сдвигах кривой доходностей:
Таким образом, инвестиционная эффективность не определяется основными характеристиками портфелей А и В, а зависит от того, какие изменения требуемых доходностей происходят на рынке.
1.18. Множества. Операции над множествами
Множество (set) – это совокупность некоторых объектов. Объекты, из которых состоит множество А, называют элементами этого множества.
Если а является элементом множества А, то пишут а ∈ А.
Задать множество можно, либо перечислив все его элементы, либо указав характеристическое свойство, которому должны удовлетворять все элементы этого множества.
Например, запись А = {a1, a2, a3, a4} означает, что множество А состоит из элементов a1, a2, a3, a4.
Множество В всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х2 – 2х + 3 ≤ 0, можно записать следующим образом:
где R – множество всех действительных чисел.
Множество А называют подмножеством (subset) множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (рис. 1.13).
Если множество А является подмножеством множества В, то пишут А ⊂ В. Например, множество А = {1, 2, 3} является подмножеством множества В = {1, 2, 3, 4, 5}. Множество Z всех целых чисел является подмножеством множества R всех действительных чисел.
Разностью А\В двух множеств А и В называют множество всех элементов А, не попавших в множество В (рис. 1.14).
Если В ⊂ А, то разность А\В называют дополнением множества В до множества А. Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А\В = = {1, 2}.
Пересечением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое А ∩ B, все элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 1.15).
Например, если А = {1, 2, 3}, а В = {1, 3, 4, 5}, то А ∩ В = {1, 3}.
Если множества А и В не содержат общих элементов, то говорят, что они не пересекаются, и пишут A ∩ B = ∅ (∅ – символ пустого множества).
Аналогично можно определить пересечение трех, четырех и более множеств. В частности, множество
является совокупностью всех элементов, принадлежащих каждому из множеств А1, А2…., Аi…..Объединением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое А ∪ B, все элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1.16).
Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Точно так же определяется объединение трех, четырех и более множеств. В частности, множество
– это совокупность всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2…., Аi…..1.19. Вероятностное пространство
Пусть Ω – некоторое множество. В дальнейшем элементы множества Ω будем называть элементарными событиями, а само множество Ω – пространством элементарных событий.
Набор β подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй случайных событий при выполнении следующих трех условий:
Если пространство элементарных событий конечно, т. е. состоит из конечного числа элементарных событий, то в качестве σ-алгебры случайных событий обычно рассматривают набор всех подмножеств этого пространства.
Пример 1.45. Бросается игральная кость. Пространство элементарных событий состоит из 6 событий: выпадение любого целого числа от 1 до 6. Выпадение четного числа является случайным событием, так как состоит из трех элементарных событий: выпадение чисел 2, 4 или 6. Выпадение числа, меньшего 3, также является случайным событием.
Говорят, что на σ-алгебре случайных событий β определена вероятностная мера Р, если каждому случайному событию A ∈ β поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:
Пример 1.46. Бросаются две одинаковые игральные кости. В данном случае элементарное событие характеризуется следующей парой чисел: числом, выпавшим на первой кости, и числом, выпавшим на второй кости, а пространство элементарных событий состоит из 36 событий:
1.20. Дискретные случайные величины
Случайная величина ξ называется дискретной случайной величиной (discrete random variable), если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений.
Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:
т. е. для каждого возможного значения случайной величины ξ задать вероятность этого значения.
Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины ξ показана на рис. 1.17.
Основные числовые характеристики дискретной случайной величины ξ определяются следующим образом:
Пример 1.48. Дана 10 %-ная облигация с полугодовыми купонами, продающаяся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 года. Инвестор считает, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может принять следующие значения:
Законы распределения вероятностей цены облигации (η) и годовой реализуемой доходности за 6 месяцев (τ) указаны в таблице:
Например, если ξ = 11,0 %, то
Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее дисперсия могут быть найдены следующим образом:
Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облигации за 6 месяцев равно 11,96 %, а ее стандартное отклонение составляет 14,81 %.
Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин ξ и η может быть задан следующим образом:
Pij – это вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение Xi, а случайная величина η – значение Yj, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем
Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как
Дискретные случайные величины ξ и η называются независимыми, если
Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:
Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ξ и η определяется равенством
Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ξ и η определяется следующим образом:
Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.
Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин ξ и η приведено в таблице:
Распределение вероятностей случайных величин ξ,η и ξη имеет следующий вид:
Ковариация и корреляция между случайными величинами ξ и η находятся следующим образом:
1.21. Непрерывные случайные величины
Случайная величина ξ называется [абсолютно] непрерывной (continuous random variable), если существует неотрицательная функция pξ(x), такая, что
где Fξ (x) – функция распределения вероятностей случайной величины ξ.
Функция pξ(x), удовлетворяющая условию (1.50), называется плотностью распределения вероятностей (probability density function – PDF) случайной величины ξ.
Равенство (1.50) означает, что заштрихованная площадь на рис. 1.18 под графиком плотности распределения равна вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше х.
1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение между х1 и x2 (x1 < x2), совпадает с заштрихованной площадью на рис. 1.19.
2. Если pξ(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины, то
3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина ξ принимает то или иное значение, всегда равна нулю, т. е. P{ξ = x} = 0.
4. Производная функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины равна плотности распределения вероятностей этой случайной величины, т. е.