Если же Алиса произведёт измерение над любым из своих фотонов, то её фотоны перейдут в собственные состояния с разрушением запутанности, и точно так же запутанность разрушится и на стороне Боба. Теперь на стороне Боба при любом положении поляризаторов парных прохождений будет только 50%. Таким образом, Боб мгновенно узнает, что Алиса произвела измерение своих фотонов.
Конечно, можно предположить, что на стороне Боба запутанность может иметь иной вид, поскольку на стороне Алисы фотоны были пропущены через гейт CNOT:
Однако это ничего не меняет по существу. Просто в этом случае парных прохождений не будет вообще, поэтому по-прежнему сохраняется возможность определить изменение состояний фотонов на стороне Алисы. Теперь уже возникает обратный эффект: при отсутствии измерений у Алисы на стороне Боба будут только равновероятные измерения |01 и |10. Напротив, при наличии измерений у Алисы на стороне Боба будут наблюдаться также и парные прохождения |00 и |11.
Поскольку изменение состояния запутанности на пространственноподобном удалении является физически детектируемым, то это означает мгновенную, нелокальную, сверхсветовую передачу классической информации.
Квантовый семафор
Считается, что главной проблемой при использовании запутанности для передачи информации считается невозможность регистрации фактического состояния квантовых частиц и, как следствие, невозможность различения их неизвестных состояний. Еще одно ограничение на такое различение создаёт запрет на клонирование квантовых частиц: наличие копий частиц давало бы возможность множеством измерений определить их состояние, то есть, выявить различие между частицами, передаваемыми от передатчика к приёмнику.
Таким образом, можно считать, что для принимающей стороны главной проблемой является проблема различимости, то есть, возможности различить посылаемые передатчиком сигналы, квантовые состояния. Передатчик изменяет состояния своих частиц, что приводит к изменению состояния удалённых, принимаемых приёмником частиц, то есть передаёт им квантовую информацию. Считается твердо установленным, что приёмник не способен различить квантовые частицы по их изменённым состояниям, не способен непосредственно "прочитать" эти изменения квантового состояния частицы, превратив их в классическую, читаемую информацию.
Рассмотрим возможности гейта CNOT для использования в режиме фильтрации, селекции фотонов в различных состоянияхих различения. Этот гейт, как отмечено выше, осуществляет логическое сложение сигналов по модулю 2, причём считается, что сигнал на управляющем выходе равен сигналу на управляющем выходе просто вследствие того, что это одна и та же линия (a = A). Однако это справедливо только для ортогональных состояний управляющего кубита. Управляющий кубит в произвольном состоянии будет запутан с управляемым кубитом, потеряет своё первоначальное состояние и перейдет в состояние запутанности.
Таким образом, гейт CNOT оказывается чувствительным к направлениям поляризации как управляемого, так и управляющего фотонов, и это, вероятно, может позволить приёмнику явно зарегистрировать эти направления.
Для определенности назовем "несущей" нелокальную связь фотонов, передающую квантовую информацию. В качестве несущей передаваемой информации удобнее всего использовать чистое запутанное состояние Белла ϕ+, состояние шрёдингеровского кота:
Соответственно, изменение угла наклона поляризатора у передатчика при измерении собственных фотонов из запутанных пар можно назвать фазовой модуляцией нелокальной несущей. При такой модуляции на стороне приёмника также происходит изменение угла наклона поляризации фотонов. Вот эту фазовую составляющую нелокальной несущей на стороне приёмника и позволяет выделить квантовый гейт CNOT.
В основу модуляции положено следующее явление. Логический анализ явления запутанности с точки зрения квантовой теории приводит к выводу, что опережающее измерение запутанных фотонов в одном канале, в передатчике приводит к созданию во втором канале, в приемнике двух смешанных плоско-поляризованных потоков с взаимно перпендикулярными поляризациями. Собственно эффект модуляции несущей состоит в изменении их угла поляризации.
На рис.3 приведена простейшая схема эксперимента по проверке квантовой корреляции, демонстрирующая механизм модуляции нелокальной несущей. Источник S испускает пару запутанных фотонов v1 и v2, которые встречают на своем пути два поляризатора I и II, расположенные перпендикулярно, то есть с взаимным углом, равным π/2. На рисунке фотон v1 не показан, поскольку считаем, что он уже был измерен своим поляризатором I. После коллапса волновой функции фотоном v1 на поляризаторе I второй фотон v2 приобретает одну из двух возможных поляризаций: параллельную или перпендикулярную к направлению модулирующего поляризатора I.
Рис.3. Образование крестовой поляризации
Воспользуемся квантово-механической формулой, дающей вероятность прохождения фотона через поляризатор, если угол между поляризаторами равен θ:
Очевидно, в рассматриваемом случае совместных прохождений фотонов не будет:
Однако через каждый из поляризаторов некоторые фотоны пройдут. Наблюдатели, находящиеся рядом с поляризаторами, зафиксируют вероятность прохождения фотонов, равную 1\2. Если источник испустит, например, 1000 фотонов, то через каждый из поляризаторов пройдут ровно половина500 фотонов. Но это будут некоррелированные фотоны: среди пар не будет ни одной, в которой один из фотонов прошёл через поляризатор одновременно со вторым фотоном, прошедшим через другой поляризатор.
Наоборот, если поляризаторы параллельны, то есть угол θ между ними равен нулю, то через поляризаторы будут проходить только парные фотоны: если пройдет первый фотон, то второй будет спроектирован в коллинеарную поляризацию и так же пройдет через свой поляризатор с вероятностью 1. Предположим, что первый поляризатор находится вплотную к источнику S, а второйна некотором удалении. Поэтому фотоны в направлении влево будут измерены сразу же при вылете из источника. Если этот фотон пройдет через свой поляризатор, то в этот же момент их парные фотоны приобретут поляризацию, параллельную, коллинеарную первому поляризатору. Это означает, что выходной поток в сторону второго поляризатора будет состоять словно бы из двух фотонных потоков. Первый из этих потоковэто поток плоско поляризованных фотонов с известным направлением поляризациипараллельной первому поляризатору. Будет и второй потокиз фотонов, которые имеют другое направление поляризации. Попробуем выяснить, какое именно.
Установим на пути потока фотонов поляризатор II, параллельный первому. Очевидно, что известный нам поток из плоско поляризованных фотонов пройдет через поляризатор с достоверностью. Известно также, что это ровно 1\2 от общего числа всех фотонов, испущенных источником в данном направлении. Исследователь на этой стороне зафиксирует этот факт. Но он может не знать, что фотоны в потоке имеют определенные направления поляризации и скажет, что через поляризатор проходят 1\2 от всех фотонов в потоке. Он (исследователь) не разделяет этот поток на два и считает, что через поляризатор с вероятностью 1\2 проходит любой из прилетевших фотонов. Но мы знаем, что в общем потоке имеется известный нам подпоток, который пройдет через поляризатор с вероятностью 1, и их общее количество равно тому количеству, которое зафиксирует исследователь. Следовательно, остальные фотоны не пройдут через поляризатор, а будут задержаны с вероятностью 1. То есть из остальных фотонов через поляризатор не пройдет ни один. Это означает, что средняя вероятность фотонов в остальном потоке равна 0. Поэтому мы можем с уверенностью сказать, что весь этот поток состоит из плоско поляризованных фотонов с поляризацией, перпендикулярной направлению нашего поляризатора (и, соответственно, первого поляризатора), поскольку через поляризатор с достоверностью не проходят только перпендикулярно поляризованные фотоны.
Это обстоятельство не должно вызвать особых возражений и вполне объяснимо. Фотоны, которые не прошли через первый поляризатор, коллапсировали, очевидно, получив направление поляризации, перпендикулярное первому поляризатору и были им поглощены. Парный им фотон автоматически был спроектирован в такое же направление поляризации и тоже был поглощен вторым поляризатором.
Итак, мы можем с достаточной уверенностью заявить, что в рассматриваемой схеме эксперимента по второму направлению, вправо излучаются два потока плоско поляризованных фотонов: с вертикальной и с горизонтальной поляризацией (относительно первого поляризатора). Это обстоятельство не противоречит математике квантовой теории. Понятно, что эти потоки представляют собой случайную смесь, в которой фотоны с ортогональными поляризациями встречаются в случайной последовательности.
Эту смесь из ортогонально поляризованных фотонов можно вращать, наклоняя поляризатор I вблизи передатчика. В простейшем случае мы можем выбрать два фиксированных направления, когда потоки вертикально-горизонтальные и имеют наклоны ±45 градусов к горизонтали. Это максимально возможные градации углов.
Пусть для передачи информации передатчик на своей стороне измеряет фотоны из запутанных пар одним из этих положений: вертикальным или наклонённым под 45о поляризатором. В этом случае на стороне приёмника фотоны также образуют два разных сигнала, каждый из которых состоит из двух таких же ортогональных поляризованных потоков в виде вертикального и наклонного под 45о "крестов". Следовательно, измерений на стороне приемника должно быть, по меньшей мере, четыре, поскольку он принимает четыре различно поляризованных фотона: вертикально, горизонтально, под углом +45о и под углом 45о. Главная цель приёмникаразличить эти два ортогонально поляризованных потока-креста.
Попробуем выяснить, возможно ли это. Произведём измерения четырёх возможных состояний с помощью одной и той же схемы.
Передача сигнала нуля
Сначала рассмотрим смесь из двух потоков ортогонально поляризованных фотонов: с вертикальной и горизонтальной поляризацией, вертикальный "крест". Попробуем использовать его для передачи сигнала "ноль", "нет", false, точка азбуки Морзе и так далее. Каждый из фотонов этой смеси имеет либо вертикальную поляризацию, либо горизонтальную. Пропустим эту смесь через гейт CNOT: поток поступает на управляющий вход гейта, а на управляемый вход подадим фотоны с горизонтальной поляризацией. С выходов гейта CNOT фотоны подаются на два соответствующих наклонённых на 45 градусов расщепляющих поляризатора с ± выходами (П1 и П2 на рис.4). Произведем измерения фотонов этого потока.
Измерение вертикальной составляющей потока прямого "креста". Для вертикально поляризованного потока на входе гейта имеем входное двухкубитное состояние:
Этот вектор в матричном виде, в виде столбца коэффициентов запишем в следующем виде:
Следовательно, после прохождения через гейт CNOT волновая функция в матричном виде будет преобразована следующим образом:
В дираковской форме эта волновая функция может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, то есть, пара не является запутанной:
Эти два фотона (из потока и управляемый фотон на выходе) поступают на два наклонённых под 45 градусов расщепляющих поляризатора, каждый из фотоновчерез свой поляризатор. Поскольку фотоны независимые, то через эти одинаково ориентированные поляризаторы на одноименные выходы пройдёт по 50% фотонов с управляющего и управляемого выходов гейта
CNOT
. Вероятность парного прохождения, то есть, когда на одноименные выходы разных поляризаторов пройдут оба фотона пары, согласно закону Малуса будет равна:
Это очевидно, поскольку в базисе поляризаторов фотоны описываются одинаковыми волновыми функциями
Таким образом, поскольку фотоны не запутанные, совпадений при прохождении через поляризаторы будет 50% (25%оба прошли на плюс, 25%оба прошли на минус).
Измерение горизонтальной составляющей потока прямого "креста". Для горизонтально поляризованного фотона на управляющем входе гейта CNOT и горизонтально поляризованного фотона на управляемом входе имеем волновую функцию:
Или в матричном виде:
На выходе CNOT получаем функцию в матричном виде:
В дираковской форме эта волновая функция также может быть представлена в виде тензорного произведения двух независимых волновых функций, то есть, пара так же не является запутанной:
Поскольку фотоны на управляющем и управляемом выходах гейта CNOT независимые, то при их прохождении через наклонённые на 45 градусов поляризаторы также будет по 25% совпадений. Волновые функции фотонов будут иметь вид
Вероятность парного прохождения, то есть, когда через одноименные выходы поляризаторов пройдут оба фотона, как и в предыдущем случае, будет равна:
То есть, и в этом случае совпадений при прохождении через поляризаторы будет 50% (25%оба прошли на плюсовые выходы, 25%оба прошли на минусовые выходы). Но каждый из полу-потоков составляет 50% от общего количества фотонов в потоке, поэтому в их полном количестве парные совпадения также будут равны, соответственно, P00 и P11. То есть, хотя в каждом полу-потоке вероятность парного прохождения равна 50%, в полном потоке это количество составит только 25%. Следовательно, общее совместное одноименное прохождение, таким образом, составит
Такое 50-процентное совпадение обозначим как сигнал "ноль", "нет", false, точка азбуки Морзе и так далее.
Передача сигнала единицы
В случае поворота поляризатора передатчика на вход приемника поступят два ортогонально поляризованных потока фотонов с наклоненной на 45 градусов вертикальной и горизонтальной поляризацией (наклонный "крест"). Попробуем использовать его для передачи сигнала "единица", "да", true, тире азбуки Морзе и так далее. Смесь в этом случае будет содержать два потока фотонов с волновыми функциями:
Измерение составляющей Ψ+ потока наклонного "креста". Для этой составляющей на управляющем входе гейта CNOT и горизонтально поляризованного фотона на его управляемом входе имеем волновую функцию и её матричную форму:
После их прохождения через гейт получим состояние в матричном виде:
В дираковской форме волновая функция теперь уже не может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, что означает запутанное состояние фотонов (чистое состояние Белла ϕ+, состояние шрёдингеровского кота):
Поскольку фотоны запутанные, то при их прохождении через наклонённые на 45 градусов поляризаторы оба всегда с единичной достоверностью пройдут на одноименные выходы. И на плюсовой и на минусовой выходы фотоны пройдут одновременно с вероятностью:
Вероятности разноименных прохождений равны нулю:
Таким образом, совпадений при прохождении через поляризатор будет 100% (50%оба прошли на плюсовой выход, 50%оба прошли на минусовой выход):
По количеству фотонов это составит 50 фотонов из 100 для каждого из совпадений для данного полу-потока или из 200 пар фотонов в полном потоке.
Измерение составляющей Ψ потока наклонного "креста". Для этой составляющей потока на управляющем входе гейта и горизонтально поляризованного фотона на управляемом входе гейта имеем волновую функцию и её матричную форму:
После их прохождения через гейт CNOT получим совместное состояние в матричном виде:
И в этом случае в дираковской форме волновая функция не может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций, что означает запутанное состояние фотонов (чистое состояние Белла ϕ). Эта волновая функция имеет следующий вид:
Поскольку фотоны запутанные, то через наклонённые на 45 градусов поляризаторы, как и в предыдущем случае, пройдёт 50% пар управляющих и управляемых фотонов с выхода гейта CNOT. То есть, на одноименные выходы расщепляющих поляризаторов оба фотона пройдут с вероятностью:
По количеству фотонов это вновь составит 50 фотонов из 100 для каждого из совпадений. Вероятности разноименных прохождений в этом случае также равны нулю:
Таким образом, как и в предыдущем случае, совпадений при прохождении через поляризатор будет 100%, (50%оба прошли на плюсовый выход, 50%оба прошли на минусовый выход), то есть, для суммарного прохождения фотонов двух полу-потоков эта величина составит 200 фотонов из 200: