Но все это лишь верхушка айсберга. Кеплер и Ньютон обнаружили, что планеты нашей Солнечной системы описывают орбиты в форме эллипсовтех самых кривых, которые на 2000 лет раньше изучал древнегреческий математик Менехм (ок. 350 г. до н. э.). Геометрии нового типа, которые описал Георг Фридрих Бернхард Риман (18261866) в своей классической лекции, прочитанной в 1854 году, как выяснилось, сослужили важнейшую службу Эйнштейнуименно они позволили описать ткань мироздания. Математический «язык» под названием «теория групп», разработанный юным гением Эваристом Галуа (18111832) исключительно ради того, чтобы определять, имеются ли у тех или иных алгебраических уравнений корни среди целых чисел, стал сегодня языком физиков, инженеров, лингвистов и даже антропологов, позволяющим описать все симметрии на свете. Более того, концепция закономерностей математической симметрии в известном смысле перевернула с ног на голову весь научный метод. На протяжении столетий путь к пониманию устройства мироздания начинался со сбора экспериментальных или наблюдательных фактов, после чего ученые методом проб и ошибок пытались сформулировать общие законы природы. Работа должна была начинаться с локальных наблюдений, после чего мозаику приходилось собирать по кусочкам. Когда в ХХ веке стало понятно, что структуру субатомного мира определяют четкие математические закономерности, современные физики стали поступать диаметрально противоположным образом. Они сначала привлекают принципы математической симметрии и настаивают, что законы природы и, разумеется, кирпичики, из которых состоит вещество, должны подчиняться определенным закономерностям, и выводят из этих предпосылок общие законы. Но откуда природа знает, что ей положено следовать абстрактным математическим симметриям?
В 1975 году Митч Фейгенабаум, который тогда был молодым специалистом по математической физике в Национальной лаборатории в Лос-Аламосе, играл со своим карманным калькулятором HP-65. Он изучал поведение одной простой функции. И обнаружил, что последовательность чисел, получавшаяся в результате вычислений, устремляется все ближе и ближе к определенному числу4,669. Когда Митч изучил некоторые другие уравнения, то, к своему изумлению, обнаружил, что и там появляется то же самое загадочное число. Вскоре Фейгенбаум сделал вывод, что открыл некую универсальную закономерность, которая каким-то образом знаменует переход от порядка к хаосу, хотя объяснения этому найти не мог. Неудивительно, что поначалу физики отнеслись к этому весьма скептически. И в самом деле, с какой стати одно и то же число должно характеризовать поведение разных на первый взгляд систем? Первая статья Фейгенбаума проходила рецензирование в течение полугода, после чего ее отклонили. Однако довольно скоро эксперименты показали, что если нагревать жидкий гелий снизу, он ведет себя именно так, как предсказывает универсальное решение Фейгенбаума. Как выяснилось, так себя ведут и многие другие системы. Удивительное число Фейгенбаума возникало и при переходе от упорядоченного течения жидкости или газа к турбулентности и даже в поведении воды, капающей из крана. Перечень подобных случаев, когда математики «предвосхищали» потребности различных дисциплин на несколько поколений вперед, все пополняется и пополняется. Среди самых поразительных примеров загадочного и неожиданного взаимодействия между математикой и реальным (физическим) миромистория создания математической теории узлов. Математический узел похож на обычный узел на тонком шнуре, концы которого намертво сращены. То есть математический узелэто замкнутая кривая без свободных концов. Как ни странно, первоначальный толчок развитию математической теории узлов дала ошибочная модель атома, разработанная в XIX веке. Когда эту модель отверглиспустя всего 20 лет после создания, теория узлов стала разливаться дальше как сравнительно малоизвестная отрасль чистой математики. Невероятно, но факт: в наши дни это абстрактное начинание неожиданно нашло широчайшее применение в самых разных областях исследованийот молекулярной структуры ДНК до теории струн, попытки объединить субатомный мир с гравитацией. К этой восхитительной истории я еще вернусь в главе 8, поскольку ее циклическая структура, пожалуй, лучше всего показывает, как из попыток объяснить физическую реальность возникают отрасли математики, которые затем уходят в область отвлеченной математики, однако впоследствии неожиданно возвращаются в реальность.
Изобретение или открытие?
Даже такой сжатый рассказ уже содержит в себе массу убедительных доводов в пользу того, что Вселенная либо подчиняется математике, либо, как минимум, поддается анализу посредством математики. Как покажет эта книга, практически все, а может быть, и абсолютно все человеческие начинания, похоже, основаны на каком-то скрытом математическом механизме, даже там, где этого совсем не ждешь. Возьмем хотя бы пример из мира финансовмодель ценообразования опционов Блэка-Шоулза (Black and Scholes 1973). Модель Блэка-Шоулза стяжала своим разработчикам Нобелевскую премию по экономике (правда, только двоим из трехМайрону Шоулзу и Роберту Кархерту Мертону, так как Фишер Блэк скончался до присуждения премии). Главная ее формула позволяет понять, как устроено ценообразование опционов (это такие финансовые инструменты, которые позволяют игрокам на бирже покупать или продавать ценные бумаги в какой-то момент в будущем по заранее согласованной цене). Однако тут-то и начались неожиданности. Эта модель опирается на явление, которое физики изучают уже десятки летброуновское движение, оживленное мельтешение крошечных частичек вроде пыльцы, если размешать их с водой, или частичек дыма в воздухе. А потом, будто этого оказалось мало, выяснилось, что то же самое уравнение применимо и к движению сотен тысяч звезд в звездных скоплениях. Выражаясь словами Алисы, все страньше и страньше, не так ли? Конечно, космос есть космос, но ведь бизнес и финансыэто определенно плод человеческого разума!
Или вспомним, с какими трудностями часто сталкиваются производители электронных комплектующих и разработчики компьютеров. В печатных платах нужно проделывать лазерным сверлом десятки тысяч отверстий. Чтобы снизить затраты, разработчики компьютеров стараются, чтобы сверло не вело себя словно «заблудившийся турист». Задача состоит в том, чтобы проложить кратчайший маршрут между отверстиями, при котором сверло проходило бы точку, где расположено каждое отверстие, ровно один раз. Как выяснилось, математики уже успели позаниматься этой задачей еще в 20-е годы ХХ века, и тогда она получила название «Задача коммивояжера». Суть ее такова: коммивояжеру или политику в рамках предвыборной компании нужно объехать определенные города, причем стоимость дороги между каждыми двумя городами известна заранее. Путешественник должен проложить самый выгодный маршрут, чтобы объехать все города и затем вернуться в исходную точку. В 1954 году было получено решение задачи коммивояжера для 49 городов в США. В 2004 годудля 24 978 населенных пунктов в Швеции. Иными словами, электронная промышленность, компании, которые прокладывают маршруты для развозки посылок и покупок, и даже японские производители игровых автоматов под названием патинкоэто что-то вроде пинбола, которым приходится вбивать тысячи гвоздиков, должны полагаться на математику при выполнении простейших, казалось бы, действийсверлении отверстий, составлении расписания, разработке компьютерного «железа».
Математика проникла даже в те сферы, которые по традиции никак не ассоциируются с точными науками. Например, существует «Журнал математической социологии» («Journal of Mathematical Sociology» (в 2006 году вышел его тридцатый выпуск), тематика которогостатьи о математическом понимании сложных общественных структур, организаций и неформальных объединений. В журнале публикуются статьи по самым разным вопросам от математических моделей прогнозов общественного мнения до предсказания взаимодействий внутри тех или иных социальных групп.
Если двинуться в обратном направлении, от математики в сторону гуманитарных наук, мы попадем в область вычислительной лингвистики, которая изначально привлекала исключительно специалистов по информатике, а сейчас превратилась в пространство междисциплинарных исследований, где совместно трудятся лингвисты, психологи-когнитивисты, логики и разработчики искусственного интеллекта, исследующие тонкости естественного развития языков.
Неужели это какой-то хитроумный розыгрышведь все попытки человека что-то понять, в чем-то разобраться приводят в конце концов к открытию все новых отраслей математики, по законам которой, как видно, создана и сама Вселенная, и мы, ее сложные творения? Неужели математика, как любят говорить педагоги, спрятанный учебник, тот, по которому учится преподаватель, сообщая ученикам неполную версию, чтобы казаться умнее? Или, если обратиться к библейской метафоре, математикаэто и есть плод древа познания?
Как я уже отмечал в начале этой главы, непостижимая эффективность математики задает множество интереснейших загадок. Можно ли считать, что математика существует независимо от человеческого разума? Иначе говоря, можно ли считать, что мы просто открываем математические истины, как астрономы открывают неизвестные ранее галактики? Или математикавсего лишь изобретение человека? Если математика и правда существует в какой-то абстрактной стране чудес, как этот волшебный мир соотносится с физической реальностью? Каким образом человеческий мозг со всеми его ограничениями, о которых нам прекрасно известно, находит путь в этот незыблемый мир вне времени и пространства? С другой стороны, если математика не более чем человеческое изобретение и вне нашего разума не существует, как объяснить тот факт, что изобретение огромного количества математических истин по какому-то волшебству надолго опередило вопросы об устройстве Вселенной и человеческой жизни, которые возникли лишь много веков спустя? Ответить на эти вопросы непросто. Не раз и не два на страницах этой книги вы увидите, насколько разные ответы дают на них даже современные математики, психологи-когнитивисты и философы. В 1989 году французский математик Ален Конн, удостоенный двух самых престижных премий по математикеФилдсовской медали (1982) и премии Крафорда (2001), высказался вполне ясно и недвусмысленно (Changeux and Connes 1995).
Возьмем, к примеру, простые числа (то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу. М. Л.), насколько я могу судить, они составляют куда более стабильную реальность, чем та материальная реальность, которая нас окружает. Математика, который трудится над своей задачей, можно уподобить естествоиспытателю, который изучает неведомый мир. Основные факты обычно выводят из опыта. Например, если проделывать несложные вычисления, становится понятно, что последовательность простых чисел продолжается бесконечно. Значит, задача математикадоказать, что существует бесконечно много простых чисел. Это, разумеется, очень старый результат, мы обязаны им еще Евклиду. Среди самых интересных следствий из этого доказательстваесли когда-нибудь кто-нибудь заявит, будто нашел самое большое простое число, будет легко показать, что он заблуждается. Это справедливо для любого доказательства. То есть мы сталкиваемся с реальностью, которая в точности так же неопровержима, как и реальность физическая.
Мартин Гарднер, знаменитый писатель, автор множества книг и статей о развлекательной математике, тоже придерживается того мнения, что математикаэто открытие. Он ничуть не сомневается, что числа и математика существуют сами по себе и неважно, знают ли о них люди. Как-то раз он остроумно подметил: «Если два динозавра повстречали на полянке двух других динозавров, всего их было четыре, даже если поблизости не было людей и некому было это пронаблюдать, а сами зверюги по глупости об этом не догадывались» (Gardner 2003). Как подчеркивал Конн, сторонники точки зрения «математика-открытие» (что, как мы вскоре убедимся, соответствует взглядам Платона) указывают, что как только удается усвоить какое-то одно математическое понятие, скажем, понятие натуральных чисел 1, 2, 3, 4, как мы натыкаемся на неопровержимые факты вроде 32 + 42 = 52, и при этом не играет никакой роли, что мы думаем об этих соотношениях. Это, по крайней мере, оставляет впечатление, что мы сталкиваемся с некоей существующей реальностью.
Но с этим согласны не все. Когда английский математик сэр Майкл Атья, получивший Филдсовскую медаль в 1966 году и Абелевскую премию в 2004 году, писал рецензию на книгу, в которой Конн излагал свои идеи, то заметил следующее (Atiyah 1995).
Любой математик не может не сочувствовать Конну. Все мы интуитивно чувствуем, что целые числа или, скажем, окружности и в самом деле существуют в некоем абстрактном смысле и платоновское мировоззрение (о нем мы подробно поговорим в главе 2. М. Л.) необычайно соблазнительно. Однако как его отстоять? Трудно представить себе, чтобы во Вселенной возникла и развилась геометрия, будь Вселенная одномерной или даже дискретной. Может показаться, что с целыми числами мы чувствуем себя увереннее и что счетэто и в самом деле нечто существующее изначально. Однако представим себе, что разумом наделено не человечество, а какая-нибудь огромная одинокая медуза в глубинах Тихого океана. Все ее сенсорные данные определялись бы движением, температурой и давлением. Поскольку все эточистейший континуум, в такой обстановке не может появиться ничего дискретного, и медузе нечего было бы считать.
Поэтому Атья считает, что «человек создал (курсив мой. М. Л.) математику посредством идеализации и абстрагирования элементов физического мира». Той же точки зрения придерживаются и ингвист Джордж Лакофф и психолог Рафаэль Нуньес. В своей книге «Откуда взялась математика» («Where Mathematics Comes From») они приходят к такому выводу: «Математикаестественная составляющая человеческого бытия. Она возникает из нашего тела, нашего мозга, нашего повседневного опыта взаимодействия с миром» (Lakoff and Núñez 2000).
Точка зрения Атья, Лакоффа и Нуньеса затрагивает еще один интересный вопрос. Если математикаэто целиком и полностью человеческое изобретение, универсальна ли она? Иначе говоря, если существуют внеземные цивилизации, будет ли их математика такой же, как наша? Карл Саган (19341996) полагал, что ответ на последний вопрос утвердительный. В своей книге «Космос» Саган, в частности, размышлял о том, какого рода сигналы передавала бы в космос разумная цивилизация, и писал: «Крайне маловероятно, чтобы какой-нибудь естественный физический процесс генерировал радиосообщение, содержащее только простые числа. Получив подобное сообщение, мы можем заключить, что где-то есть цивилизация, которая любит простые числа (пер. А. Сергеева)». Но можно ли утверждать это с уверенностью? Недавно физик и математик Стивен Вольфрам в своей книге «Наука нового типа» («A New Kind of Science») утверждал, что так называемая «наша математика», вероятно, соответствует лишь одному из богатейшего ассортимента «вкусов» математики (Wolfram 2002). Например, вместо того, чтобы описывать природу при помощи законов, выраженных в виде математических уравнений, мы могли бы пользоваться законами иного типа, воплощенными в виде простых компьютерных программ. Более того, некоторые космологи в последнее время стали обсуждать гипотезу, согласно которой наша Вселеннаявсего лишь составная часть множественной Вселенной или мультиверса, огромного ансамбля вселенных. Если множественная Вселенная и вправду существует, вправе ли мы ожидать, что в других вселенных будет такая же математика?
Специалисты по молекулярной биологии и психологии познания предлагают совершенно иную точку зрения, основанную на изучении свойств и способностей мозга. По представлениям некоторых ученых, математикаэто нечто вроде языка. Иными словами, согласно «когнитивному сценарию», после того как человечество сотни тысяч лет таращилось на свои две руки, две ноги и два глаза, появилось абстрактное определение числа 2примерно так же, как возникло слово «птица», обозначающее множество двукрылых теплокровных пернатых существ, умеющих летать. По словам французского нейрофизиолога Жан-Пьера Шанжё: «С моей точки зрения, аксиоматический метод (применяющийся, например, в евклидовой геометрии. М. Л.) выражение способностей головного мозга, связанное с его использованием. Ведь основная характеристика языкаэто именно его генеративный характер (Changeux and Connes 1995)». Однако, если математикатот же язык, как объяснить, что, хотя дети легко учатся родному языку, математика дается многим с таким трудом? Марджори Флеминг (18031811), шотландская девочка-вундеркинд, не дожившая до 9 лет, оставила дневникболее девяти тысяч слов прозы и около пятисот стихотворных строкгде, помимо всего прочего, очаровательно описывает, с какими сложностями сталкиваются дети при изучении математики. В одном месте Марджори жалуется: «А теперь я хочу рассказать тебе, дорогой дневник, как страшно и ужасно мучает меня таблица умножения, ты себе и представить не можешь! Самое кошмарноеэто восемь на восемь и семь на семь, это противно самой природе!»