Будет ли число предстоящего года числом харшад?
ЗАДАЧА 19
(11 октября)
Существует ли натуральное число, сумма цифр которого равна номеру предстоящего года?
Если существует, то будет ли оно единственным?
Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.
Будет ли множество таких чисел бесконечным?
Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.
ЗАДАЧА 20
(12 октября)
Есть ли натуральные числа, имеющие количество делителей равное числу предстоящего года?
ЗАДАЧА 21
(13 октября)
Существует ли натуральное число, произведение цифр которого числу предстоящего года?
Если существует, то будет ли оно единственным?
Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.
Будет ли множество таких чисел бесконечным?
Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.
ЗАДАЧА 22
(14 октября)
Будет ли число предстоящего года радостным?
Алгоритм, позволяющий установить, является натуральное число радостным или нет, вы найдёте на странице 35.
ЗАДАЧА 23
(15 октября)
Амбициозным называют натуральное число, если в результате определённых действий получается совершенное число.
Действия такие:
складываются все собственные делители числа;
затем складываются собственные делители полученной суммы.
Процесс повторяется до тех пор, пока не получится совершенное число или станет понятным, что этого не произойдёт.
Будет ли число предстоящего года амбициозным?
ЗАДАЧА 24
(16 октября)
Число, меньшее суммы своих собственных делителей, называется избыточным.
Будет ли число предстоящего года числом избыточным?
Дополнительные вопросы
1. Может ли избыточное число быть простым?
2. Будут ли простые числа избыточными?
3. Любое ли составное число будет избыточным?
ЗАДАЧА 25
(17 октября)
Число, большее суммы своих собственных делителей, называется недостаточным.
Будет ли число предстоящего года числом недостаточным?
ЗАДАЧА 26
(18 октября)
Будет ли число предстоящего года циклическим?
ЗАДАЧА 27
(19 октября)
Самовлюблённым называется такое натуральное число, которое равно сумме степеней своих цифр, показатели которых равны количеству цифр данного числа.
Будет ли число предстоящего года самовлюблённым?
ЗАДАЧА 28
(20 октября)
Некоторые натуральные числа бывают даже счастливыми3.
Будет ли число предстоящего года счастливым?
ЗАДАЧА 29
(21 октября)
Странными называют числа, которые меньше суммы своих собственных делителей и не равны никакой частичной сумме этих делителей.
Будет ли число предстоящего года странным?
Дополнительные вопросы
1. Могут ли странные числа быть избыточными?
2. Все ли избыточные числа являются странными?
ЗАДАЧА 30
(22 октября)
Будет ли число предстоящего года автоморфным?
ЗАДАЧА 31
(23 октября)
Будет ли число предстоящего года триморфным?
ЗАДАЧА 32
(24 октября)
Будет ли число предстоящего года праймориалом?
ЗАДАЧА 33
(25 октября)
Будет ли число предстоящего года членом последовательности Фибоначчи?
ЗАДАЧА 34
(26 октября)
Будет ли число предстоящего года числом трибоначчи?
ЗАДАЧА 35
(27 октября)
Будет ли число предстоящего года числом Капрекара?
ЗАДАЧА 36
(28 октября)
(28 октября)
Будет ли число предстоящего года числом Софи Жермен?
ЗАДАЧА 37
(29 октября)
Будет ли число предстоящего года числом Лишрел?
ЗАДАЧА 38
(30 октября)
Будет ли число предстоящего года числом Мерсенна?
ЗАДАЧА 39
(31 октября)
Будет ли число предстоящего года числом Улама?
ЗАДАЧА 40
(1 ноября)
Будет ли число предстоящего года числом Ферма?
ЗАДАЧА 41
(2 ноября)
Будет ли число предстоящего года числом Фридмана?
ЗАДАЧА 42
(3 ноября)
Будет ли число предстоящего года числом Каллена?
ЗАДАЧА 43
(4 ноября)
Будет ли число предстоящего года числом Вудала?
ЗАДАЧА 44
(5 ноября)
Будет ли число предстоящего года числом Лейланда?
ЗАДАЧА 45
(6 ноября)
Будет ли число предстоящего года числом Чена?
ЗАДАЧА 46
(7 ноября)
Будет ли число предстоящего года числом Смита?
ЗАДАЧА 47
(8 ноября)
Будет ли число предстоящего года пирамидальным?
ЗАДАЧА 48
(9 ноября)
Будет ли число предстоящего года кубическим?
ЗАДАЧА 49
(10 ноября)
Будет ли число предстоящего года октаэдральным?
ЗАДАЧА 50
(11 ноября)
Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы натуральных чисел (не обязательно различных), произведение которых также равно числу предстоящего года?4
ЗАДАЧА 51
(12 ноября)
Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы целых чисел (не обязательно различных), произведение которых также равно числу предстоящего года?5
ЗАДАЧА 52
(13 ноября)
Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы различных натуральных чисел, произведение которых также равно числу предстоящего года?
ЗАДАЧА 53
(14 ноября)
Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы различных рациональных чисел, произведение которых также равно числу предстоящего года?
ЗАДАЧА 54
(15 ноября)
Можно ли число предстоящего года представить в виде суммы различных рациональных чисел, произведение которых равно числу предстоящего года и, кроме того, количество самих чисел также равно числу предстоящего года?