Как правило, чаще всего, но не всегда. И сейчас мы поговорим об одном «чисто объективном» факторе, способствующем выделению особых точек на этой континуальной шкале. Это так называемый обертоновый (или натуральный) звукоряд. Его физическая природа состоит в том, что вибрирующее тело например, струна колеблется не только всей своей длиной, но и каждой своей половиной, а также каждой своей третьей частью, четвертой частью, пятой частью и так далее. Самый громкий звук (основной тон) рождается колебанием струны по всей длине. Дальнейшие звуки, порождаемые колебанием частей струны, называются обертонами. Последние, как правило, не слышны в качестве самостоятельных звуков, но в своей совокупности образуют окраску звука тембр. Впрочем, и в этом превращении обертонового состава звука в его тембр опять-таки мы должны констатировать появление человека и его влияния.
Отношения частот здесь весьма простые: если частоту основного тона принять за x, то частота первого обертона равна 2x, частота второго 3x, частота третьего 4x и т. д. Что же касается полутоновой шкалы (темперированного строя), проекция на него натурального звукоряда выглядит более сложно. Если, к примеру, основной тон это до малой октавы, то первый обертон до первой октавы, второй обертон соль первой октавы, третий обертон до второй октавы, четвертый обертон ми второй октавы Более подробную информацию на эту тему легко отыскать в соответствующих источниках.
Исторический процесс развития музыкального искусства особенно на ранних его стадиях демонстрировал взаимодействие континуальной и натуральной (обертоновой) шкал, когда неслышимые элементы обертонового ряда как бы «проступали» в виде точек на звуковысотном континууме. Это «проступание» соблазнительно принять за своего рода «естественный» процесс становления различного рода звукорядов, аккордов и т. д. Однако следует все же признать, что без участия человека, его практики, его экспериментов и отбора результатов, так или иначе отвечающих его потребностям, не обошлось и обойтись не могло. Физические, независимые от человека шкалы в определенном смысле действительно существуют. Но их взаимодействие, а также складывание на их основе различных элементов музыкального языка уже обнаруживают участие человека, его психофизиологических особенностей, его практики, его потребностей, человеческого общества и человеческой культуры. Сами по себе, как чисто природные, эти процессы происходить не могут.
Вернемся к рассмотрению шкалы на рис. 2. В ее строении мы выявили две закономерности.
Первая закономерность состоит в том, что она делит (квантует) звуко-высотный континуум на равные отрезки «полутоны». Каждый полутоновый шаг равен предыдущему полутоновому шагу, так же, как и последующему. Приняв эту закономерность за основу последующих построений, мы можем продолжать движение по полутонам, как в одну, так и в другую сторону, теоретически, до бесконечности. Эту потенциально бесконечную конструкцию мы будем называть «полутоновая прямая».
Понятно, что полутоновая прямая есть теоретическая абстракция, подобная «идеальному газу» или «абсолютно твердому телу». Говоря о ней, мы абстрагируемся от того, что диапазон слышимых звуков ограничен и в реальности никакое движение в бесконечность здесь не представляется возможным. Но мы отвлекаемся от этих естественных ограничений, сосредотачивая внимание на самом способе порождения данной конструкции. Мы также не обращаем внимания на различие белых и черных клавиш, что, фактически, означает переход к тому способу представления, который лежит в основе рис.3. Можно сказать, что разница между этими двумя рисунками нас просто не интересует. Пока не интересует.
Вторая закономерность наглядно видна именно на рис.2, где закономерное чередование белых и черных полос (клавиш) обнаруживает повторяющийся через каждые 12 шагов рисунок. Как мы знаем, этому повторению рисунка соответствует одинаковость названий нот, за которой стоит их перцептивное подобие, т. е. «одинаковость», воспринимаемая на слух. Так, начав, например, в До, мы приходим через 12 шагов по полутонам снова к До. То же самое получится от любого другого звука. Таким образом, мы имеем дело с циклическим процессом, который естественно изобразить в виде круга.
Элементы этого круга (они соответствуют хроматической гамме от До до До) мы будем называть гармоническими элементами (ГЭ), как мы это уже делали в первой части «Очерков теории музыкального моделирования» (глава «Гармоническое исчисление»). Тогда для обозначения гармонических элементов мы использовали римские цифры:
Элементы этого круга (они соответствуют хроматической гамме от До до До) мы будем называть гармоническими элементами (ГЭ), как мы это уже делали в первой части «Очерков теории музыкального моделирования» (глава «Гармоническое исчисление»). Тогда для обозначения гармонических элементов мы использовали римские цифры:
12 гармонических элементов (ГЭ)
Здесь мы видим линейное представление системы из 12 гармонических элементов.
А вот круговое представление этой же системы:
Полутоновый круг
Черные кружочки на рисунке соответствуют черным клавишам фортепианной клавиатуры, образуя пентатонический звукоряд. Белые кружочки соответствуют белым клавишам и образуют семиступенную диатонику. Элементы VI и XII образуют тритон Фа Си. Если исключить этот тритон их состава «белых» элементов и включить в группу «черных», то семиступенная диатоника превратится в пентатонику, а пентатоника превратится в семиступенную диатонику (например, в фа диез мажорную гамму). У нашего круга из 12 элементов (похожего на циферблат часов) есть 6 диаметров. Один из них (IIIIX) является осью зеркальной симметрии (белый-белый, черный-черный):
Ось симметрии и асимметрии
Другой диаметр (VIXII), напротив является осью антисимметрии.
Ось асимметрии
Прочие диаметры такими свойствами не обладают.
Если теперь взять любой из элементов круга и двигаться затем двигаться по часовой стрелке или против, не пропуская ни одного элемента, охватим все без исключения и затем вернемся к исходному. Произойдет это через 12 шагов.
Если мы будем двигаться, пропуская на каждом шаге один элемент (с первого на третий), то мы вернемся к исходному элементу через 6 шагов. Получится у нас при этом целотонный звукоряд.
Если мы будем двигаться, пропуская каждый раз два элемента (с первого на четвертый), то вернемся к исходному элементу через 4 шага. В результате получится уменьшенный септаккорд.
Если двигаться, пропуская три элемента (с первого на пятый), то вернемся к исходному через 3 шага, получив в итоге увеличенное трезвучие.
Если пропускать пять элементов (с первого на седьмой), то через два шага вернемся к исходному пункту, получив тритон.
Совсем иная картина получится, если двигаться в любом из направлений, пропуская четыре элемента (по квартам), или шесть элементов (по квинтам), что в итоге одно и то же. Ровно через 12 шагов, перебрав по пути все элементы круга, мы возвращаемся к исходному пункту.
Переход от полутонового круга к квинтовому
В итоге этого путешествия получается квартовый (или квинтовый) круг:
Квинтовый круг
Обратим внимание, что те же самые диаметры играют роль симметрии и антисимметрии, что и в первом случае. Ре-Ля бемоль (Соль диез) ось симметрии, Фа-Си ось антисимметрии.
Кроме того (и в этом нетрудно убедиться самостоятельно), если повторить все наши манипуляции, проделанные с полутоновым кругом, по отношению к квинтовому кругу и попробовать двигаться по нему, пропуская сначала один элемент, потом два, потом три, мы опять получим сначала целотонный звукоряд, затем уменьшенный септаккорд, затем увеличенное трезвучие. То есть, обнаруживается высокая степень структурного подобия между полутоновым и квинтовым кругами.
Далее, выполненную для полутонового круга двенадцати-шаговую процедуру можно повторить теперь для квинтового круга. В результате мы вновь получим полутоновый круг. Таким способом они превращаются друг в друга.
Впрочем, это превращение можно осуществить и более простым путем. Надо из шести диаметров нашего круга выбрать либо все четные, либо все нечетные. А затем элементы, располагающиеся на них поменять местами:
Второй способ перехода
Далее мы можем очень просто «развернуть» этот квинтовый круг в квинтовую прямую, приняв в качестве в качестве идентификационного признака для каждого ее элемента способ порождения данного элемента. Для обозначения этих элементов мы используем привычные названия до, до диез, ре бемоль и т. д.
После всех проделанных преобразований (манипуляций) система приобрела вид композиции из двух шкал квинтовой и полутоновой, каждая их который имеет два представления линейное и круговое. Линейные представления вполне удобно использовать для того, чтобы сделать наглядным характер взаимодействия этих шкал, что мы уже использовали в первом выпуске «Очерков теории музыкального моделирования». Повторим эту схему и в данном тексте: