§74. Иоганн Бернулли (1725) сформулировал принцип виртуальных скоростей, который состоит в том, чтобы рассматривать нарушение равновесия механической системы бесконечно малым движением, отвечающим условиям сцепления системы, виртуальным движением и выводить из него равенство мощности. [127] Жозеф Луи Лагранж (1788) придал свою общую форму этому принципу: «Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, к которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными». [128] При этом Лагранж ссылается на приоритет Бернулли50 в понимании общности принципа виртуальных скоростей и его полезность при разрешении вопросов статики, ссылаясь на его письмо 1717 года на имя Вариньона. Принцип виртуальных сил это синтез принципов, закрепленных в гораздо более строгих и математических рамках, тогда именуемых «дуализацией» и уже не как «нарушение» равновесия или движения бесконечно малым движением. Лагранж отмечает, что принцип виртуальных51 скоростей, доказанный, таким образом, для случая соизмеримых сил, остается в силе и для случая любых несоизмеримых сил, ибо известно, что всякий закон, который может быть доказан для соизмеримых величин, равным образом, путем приведения к абсурду, может быть доказан и для случая, когда эти величины несоизмеримы.
§75. В 1727 году Джеймс Брэдли открыл аберрацию52 света при попытке обнаружить звездный параллакс. [129] Брэдли работал с Сэмюэлем Молинье до его смерти в 1728 году, пытаясь измерить параллакс гамма Дракона. Этот звездный параллакс должен был проявиться, если он вообще существовал, как небольшое годовое циклическое движение видимого положения звезды. Однако, хотя Брэдли и Молинье не обнаружили ожидаемого видимого движения из-за параллакса, они обнаружили вместо этого другое и необъяснимое годовое циклическое движение. Вскоре после смерти Молинье Брэдли понял, что это вызвано тем, что сейчас известно как аберрация света. Основой, на которой Брэдли отличал годовое движение, фактически наблюдаемое, от ожидаемого движения, обусловленного параллаксом, было то, что его годовой график отличался. Расчеты показали, что если бы было какое-то заметное движение из-за параллакса, то звезда должна была бы достичь своего самого южного видимого положения в декабре, а самого северного видимого положения в июне. Вместо этого Брэдли обнаружил видимое движение, которое достигло своей самой южной точки в марте и самой северной точки в сентябре; и это не могло быть объяснено параллаксом: причина движения с фактически видимым рисунком была сначала неясна53. Брэдли разработал следствия из предположения, что направление и скорость Земли на ее орбите в сочетании с постоянной скоростью света от звезды могут вызвать видимые изменения положения звезд, которые он наблюдал. Он нашел, что это хорошо согласуется с наблюдениями, а также дал оценку скорости света и показал, что звездный параллакс, если таковой имеется, с экстремумами в июне и декабре, был слишком мал, чтобы измерить с точностью, доступной Брэдли. Малость любого параллакса, по сравнению с ожиданиями, также показала, что звезды должны быть во много раз дальше от Земли, чем кто-либо ранее полагал. По результатам наблюдения аберрации звёзд в 1728 году определил скорость света, полученное им значение составило 308 000 километров в секунду, а также выявил явление нутации54. В 1729 году Брэдли представил Королевскому обществу свою работу об этом. [130] Это открытие аберрации света, было неоспоримым доказательством движения Земли и, следовательно, правильности теорий Аристарха и Кеплера. После публикации своей работы об аберрации Брэдли продолжал наблюдать, развивать и проверять свое второе крупное открытие нутацию земной оси, но он не объявлял об этом в печати до 1748 года, когда он проверил его реальность путем мельчайших наблюдений в течение всего оборота (18,6 лет) узлов Луны. [131]
§76. Пьер Бугер (1729) исследовал уменьшение интенсивности света при отражении. [132,133] В своих опытах он рассмотрел отражающую способность различных веществ и влияние на отражение угла падения лучей, определил потерю интенсивности при прохождении лучей через среду, а также установил избирательное поглощение различных цветов в воздухе. Бугер направлял под одинаковым углом свет от свечи на два зеркала и наблюдал одно изображение непосредственно, а другое после еще одного отражения от третьего зеркала. Свеча смещалась до тех пор, пока интенсивность обоих изображений не начинала казаться одинаковой.
§77. Пьер Луи Моро де Мопертюи (1732) в своем трактате о фигурах звезд, обсуждая системы Декарта и Ньютона, предположил, что эллипсоидальная форма «туманных звезд» является признаком их вращения единичных быстро вращающихся тел. [134]
§78. Жан Лерон д'Аламбер (1743) в трактате «О динамике» изложил принцип количества движения, который иногда называют принципом д'Аламбера: «Если рассматривать систему материальных точек, связанных между собой таким образом, что их массы приобретают разные соответствующие скорости в зависимости от того, движутся ли они свободно или солидарно, количество движений, полученных или потерянных в системе, равно». [135] Этот принцип виртуальных (возможных) перемещений лег в основу развития аналитической механики. Д'Аламбер рассматривает общий случай механической системы, которая эволюционирует, оставаясь подчиненной связям; он показывает, что поскольку силы связи уравновешиваются, должна быть эквивалентность между действительными силами, которые накладывают на систему ее движение, и силами, которые должны были бы быть реализованы, если бы связи не существовали. При этом он устранял связующие силы, формы которых обычно неизвестны, и, в некотором роде, сводил рассматриваемую проблему динамики к вопросу равновесия, то есть статики. Это позволяло свести любую проблему статики к применению общего принципа, который тогда назывался «принципом виртуальных (или возможных) скоростей» Иоганна Бернулли55 (1717) из рассмотрения нарушения баланса механической системы бесконечно малым движением, предпочитавшим условия связывания системы, виртуальным движением и выведением равной мощности. Д'Аламбер обобщил Принцип виртуальных сил в Принцип возможных перемещений, согласно которому для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ только активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю (если система приведена в это положение с нулевыми скоростями). Количество линейно независимых уравнений равновесия, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой механической системы. [136]
§79. Леонард Эйлер (1744) опубликовал первую общую работу по вариационному исчислению «Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума», а Пьер Луи де Мопертюи (1744) в трактате «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» дал первую формулировку принципа наименьшего действия: «путь, которого придерживается свет, является путём, для которого количество действия будет наименьшим». [137] Он продемонстрировал выполнение этого закона как для отражения, так и для преломления света. В ответ на статью Мопертюи Эйлер опубликовал (в том же 1744 году) работу «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов», и в этом труде он придал принципу Мопертюи общемеханический характер: «Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума». [138] В 1746 году Мопертюи провозгласил свою новую формулировку принципа наименьшего действия: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают». [139] Эйлер поддержал приоритет Мопертюи и аргументировал всеобщий характер нового закона: «вся динамика и гидродинамика могут быть с удивительной легкостью раскрыты посредством одного только метода максимумов и минимумов». [140]