Примеры.
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b) 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
Разложение многочлена на множители.
1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.
Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».
С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.
Примеры.
4x2y3+8xy2z=4xy2 (xy+2z)
9a2b23ab2c+12abc2=3ab (3ab-bc+4c2)
2 способ. Способ группировки.
Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.
Примеры.
5x3+10x2+3x+6=5x2 (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x2+3)
20x312y3+8xy230x2y=20x330x2y+8xy212y3=10x2 (2x-3y) +
4y2 (2x-3y) = (2x-3y) (10x2+4y2)
При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.
Например:
6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =
(3a-c) (2b-9d)
3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.
Примеры.
9x21= (3x-1) (3x+1)
4x2+4x+1= (2x+1) 2
4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax2+bx+c=
=a (x-x1) (x-x2)
где x1 и x2-корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0
О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.
А сейчас просто проиллюстрируем данный способ
одним примером.
Пример.
2x2+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)
Сначала решается квадратное уравнение
2x2 +13x -24 = 0 и находятся его корни x1=3/2, x2=-8
Потом по формуле делается разложение.
Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.
Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x3+24x+4x
Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.
36x3+24x2+4x=4x (9x2+6x+1)
Трёхчлен 9x2+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:
9x2+6x+1= (3x+1) 2
Таким образом, 36x3+24x2+4x=4x (3x+1) 2
Пример 2. Разложить на множители многочлен xy33y3+xy2z-3y2z
Решение: Вынесем за скобки общий множитель y2:
xy33y3+xy2z-3y2z=y2 (xy-3y+xz-3z)
Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z
xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)
Окончательно получим:
xy33y3+xy2z-3y2z=y2 (x-3) (y+z)
Пример 3. Разложить на множители многочлен: a24ab-9+4b2
Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.
(a24ab+4b2) -9= (a-2b) 29
Полученное выражение не что иное, как разность квадратов:
(a-2b) 29= (a-2b) 232= (a-2b-3) (a-2b+3)
Таким образом, a24ab-9+4b2= (a-2b-3) (a-2b+3).
Тестовые задания к теме 2
тест 1
тест 2
тест 3
тест 4
тест 5
тест 6
ЗАДАЧИ
Тема 3
Уравнение, общие сведения. Равносильные уравнения. Основные приёмы решения уравнений. Классификации уравнений. Решение простейших линейных и квадратных уравнений, а также уравнений приводящихся к квадратным
Понятие уравнения является одним из основных понятий алгебры. От того как вы освоите решение уравнений зависит ваше дальнейшее продвижение по усвоению более сложного материала. Поэтому отнеситесь к этой теме с должной серьёзностью.
Итак, равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Корни уравнения значение переменных, обращающие уравнение в верное равенство.
Уравнение может иметь один, два, три и т.д корня, бесчисленное множество корней или не иметь их вовсе.
Уравнение может иметь один, два, три и т.д корня, бесчисленное множество корней или не иметь их вовсе.
Упомянутое выше уравнение имеет один корень.
Уравнение (6-x) (12-x) (3+x) = 0 имеет три корня: 6, 12, -3. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (6-x) (12-x) (3+x) и само произведение соответственно.