Вероятностная теория фондовых бирж - Анатолий Васильевич Кондратенко 12 стр.

Итак, мы подробно опишем такой подход к изучению динамики, или эволюции, экономики в рамках классики на примере простейшей модели, а именно, рынка с одним покупателем и одним продавцом, торгующим одним товаром, например зерном. Экономическое пространство в этом случае является, очевидно, двумерным.

Рассмотрим типичную ситуацию на рынке, в котором есть реальные потенциальные покупатель и продавец определенного товара, скажем зерна. Покупатель хочет купить товар в количестве qD по цене pD, а продавец хочет продать товар в количестве qS по цене pS. Эти четыре параметра полностью характеризуют состояние рынка в классике в каждый момент времени. Это обычное дело на рынке, что и цены, и количества покупателя и продавца не равны друг другу. Поэтому, если они оба будут настаивать на своих предложениях, то сделки, очевидно, не будет. Самый старый, хорошо отлаженный за многие годы с момента возникновения рынков механизм разрешения таких торговых споров заключается в том, что покупатель и продавец вступают в торговые переговоры с целью достижения ими согласия на сделку купли-продажи на условиях, которые устраивают обе стороны. Опишем этот процесс переговоров на математическом языке следующим образом. Пусть функции pD(t) и qD(t) обозначают цену и количество товара, желаемые и предлагаемые покупателем во время переговоров с продавцом о купле-продаже в определенный момент времени t. Аналогично пусть функции pS(t) и qS(t) будут обозначать цену и количество товара, желаемые и предлагаемые продавцом во время переговоров с покупателем на рынке. По своему смыслу введенные выше значения цен и количеств есть основное содержание агентных заявок на покупку или продажу товара. Ниже, для краткости, будем называть эти желаемые и предлагаемые значения цен и количеств котировками покупателя и продавца. А такую линию поведения агентов на рынке будем называть дискретной или точечной стратегией, поскольку в каждый момент времени t эти котировки представляются одной точкой в двумерном пространстве, например, точкой А с координатами pD(t) и qD(t) для покупателя и точкой В с координатами pS(t) и qS(t) для продавца, как это представлено на рис. 1.2. Эти котировки выставляются, конечно, с учетом всех обстоятельств, влияющих на работу рынка: институтов и т.п. На наш взгляд, выставление этих котировок рыночными агентами суть главного рыночного феномена классической экономической теории в представлении австрийской экономической школы, а именно рыночного процесса [Мизес, 2005], состоящего из конкретных актов выбора и действий рыночных агентов, которые в конечном итоге приводят покупателей и продавцов к заключению сделок купли-продажи. Графически, мы можем изобразить эти котировки как траектории движения агентов в экономическом пространстве (рис. 1.3). В реальной рыночной жизни эти котировки являются дискретными функциями времени, но, для простоты, мы будем изображать их графически (так же, как и функции S&D) как непрерывные прямые линии. Такое приближение не приводит в данном случае к потере общности, поскольку эти функции призваны только проиллюстрировать самые общие детали механизма работы рынка и способ их описания (см. рис. 1.3). По экономическому смыслу такие диаграммы характеризуют временную динамику рынка.

Рис. 1.2. Графическое представление точечной стратегии рыночного поведения покупателя A(pD, qD) и продавца B(pS, qS) точками в двумерном пространстве цены-количества в некоторый определенный момент времени для модельного рынка зерна. pD = 280,0 $/ton, qD = 50,0 ton/year, pS = 285,0 $/ton, qS = 52,0 ton/year.

Мы будем говорить (для краткости) об этом совокупном движении агентов как о поведении рынка, а иногда как об эволюции экономики во времени. Все эти термины являются, по сути, синонимами в данном контексте обсуждения. Таким образом, выставляя желаемые цены и количества в качестве своих котировок, покупатели и продавцы принимают участие в рыночном процессе, протекающем здесь в формате переговоров между торгующимися людьми (homo negotians), стремящимися выторговать для себя наилучшие условия при заключении сделки и достичь рыночных целей. Заметим, что в действительности в состав действий рыночных агентов наряду с выставлением котировок входят также процедуры заключения итоговых сделок, но последние учитываются в таком подходе автоматически путем изменения заявок рыночными агентами после заключения сделок. Поэтому нет необходимости явным образом включать в состав действий агентов процедуру заключения сделок, достаточно принимать во внимание только процесс выставления ими котировок в течение торгов.

Рис. 1.3. Диаграмма траекторий движения покупателя и продавца. Изображена динамика классической двухагентной рыночной экономики в экономическом пространстве цены (а) и количества (б). В совокупности обе части рисунка представляют эволюцию экономики во времени в двумерном PQ-пространстве.

Можно весь этот торговый процесс, или просто торг, трактовать как динамическую деловую игру между покупателем и продавцом с целью извлечения прибыли или достижения некой другой цели.

Предположим, что переговоры прошли удачно и завершились заключением сделки купли-продажи в момент времени t1E. Это означает, что в этот момент времени значения ценовых (pD(t) и pS(t)), а также количественных (qD(t) и qS(t)) котировок, становятся равными, так как очевидно, что в контракте могут быть указаны только конкретные взаимно-согласованные цена p1E и количество q1E товара. Будем полагать, что в этой переговорной модели есть определенный смысл называть данные значения цены и количества рыночными ценой и количеством товара и считать, что сам рынок при этих значениях цены и количества товара приходит в равновесие или достигает своего равновесного состояния. Формально это описывается с помощью следующих равенств для рыночных цены и количества:

Итак, для двухагентной модели мы получили такой тривиальный, но многозначительный результат: сам факт достижения равновесия дает возможность осуществить сделку и максимизировать объем торгов в денежном выражении. Этот вывод в данном простом случае вполне очевиден: нет согласия, нет равновесия, нет сделки, объем торгов нулевой. Но мы покажем далее, что этот вывод имеет достаточно универсальный характер, что согласуется с постулированным принципом максимизации объема торгов. Кстати, легко показать, что в рамках неоклассической теории в точке равновесия достигается максимум объема торгов в натуральном выражении, т.е. достигается максимум количества проданного товара.

Далее, поскольку жизнь не стоит на месте, покупатель и продавец могут еще не раз встречаться и заключать новые сделки, но уже в новых условиях и, очевидно, с другими ценами и количествами, то для удобства мы будем называть p1E первой рыночной ценой, а q1E первым рыночным количеством. Таким образом, в момент времени t1 интересы покупателя и продавца в первый раз совпали, они были оптимальным образом удовлетворены путем заключения сделки купли-продажи. При этом агенты, естественно, в ходе рыночного процесса (переговоров и изменения котировок) неявным образом принимали во внимание влияние внешней окружающей среды и институциональных факторов на этом и других рынках, т.е. экономики в целом. Здесь можно заметить схожесть в движении экономической системы в экономическом пространстве, описываемом с помощью траекторий покупателя pD(t) и qD(t) и продавца pS(t) и qS(t), и в движении двухчастичной физической системы в реальном пространстве, описываемом траекториями частиц х1(t) и х2(t), которые, кстати, также являются результатом действия определенного физического принципа максимизации, а именно принципа наименьшего действия на физическую систему.

Отмеченная аналогия с физической системой наводит на мысль использовать аналогичный математический аппарат, аналитический и графический. На рис. 1.3, для начала, мы даем графическое представление этих траекторий движения агентов в зависимости от времени с помощью подходящих систем координат время цена (T, P) и время количество (T, Q), аналогично тому, как происходит построение траекторий частиц в классической механике. Заметим, что рис. 1.3 отражает определенную стандартную ситуацию на рынке, когда покупатель и продавец намеренно встречаются в момент времени t1 и начинают обсуждать потенциальную сделку путем взаимного обмена информацией об их условиях, прежде всего желаемых цен и количества товара. Во время переговоров они непрерывно изменяют свои котировки до тех пор, пока не соглашаются на окончательные условия по цене p1E и количеству q1E в момент времени t1E. Такая простейшая «переговорная» рыночная модель применима, например, для экономики вымышленного острова, на котором, скажем для определенности, раз в году путем переговоров происходит торговля зерном между фермером и охотником. Для определенности, будем считать, что они используют для расчетов американский доллар, $. Для наглядности, на рис. 1.3, как и на последующих рисунках, мы используем стрелки для отражения направления движения агентов во время рыночного процесса.