Что-то слишком уж трудоемко, правда? И как же вы поступите на практике? Разумеется, не так следовать правилам слишком сложно. Вместо этого вы скорее всего выберете путь с разумным перепадом высоты при разумной длине пути то есть самую подходящую тропу. Для начала вы хорошенько осмотритесь, наметите еще сверху, с перевала, соответствующее направление так, чтобы не застрять где-то, а затем справитесь со спуском и вдобавок получите удовольствие от окружающего пейзажа.
И разве не удивительно, что, спустившись по выбранной тропе, вы обнаружите, что выбрали в точности самый простой из всех возможных путей, ни разу не сделав неправильного поворота?
И это как раз то самое, что делают физические частицы! Через 150 лет после Галилея Джозеф Луи Лагранж вывел замечательную систему уравнений, в которых лагранжиан (мы ввели обозначение L не случайно) связывается с силой, действующей на частицу, перемещающуюся в пространстве-времени между двумя событиями. Эти уравнения позволяют нам взглянуть на ту же физику, то есть на законы, которые определяют то, как объекты перемещаются в пространстве и времени, с двух разных, но эквивалентных точек зрения.
С одной точки зрения (с которой мы уже познакомились), объект в каждый момент подвергается действию силы, принуждающей его изменить скорость определенным образом. Действие этой силы во времени определяет траекторию частицы.
С другой точки зрения, данный путь в целом «отбирается» природой из всех возможных путей, поскольку на нем достигается минимум или максимум (экстремум) суммарной величины L. Этот метод, у которого есть и другие приложения, часто называют принципом наименьшего действия (хотя, как мы вскоре увидим, это название слегка сбивает с толку, поскольку иногда это на самом деле принцип наибольшего действия). Данный метод и метод сил и скоростей приводят в точности к одним и тем же результатам. Замечательно!
Но как быть с частицей, на которую не действует никакая сила? Мы вместе с Галилеем видели, что она должна двигаться по прямой, а это значит, что ее скорость не должна меняться. Но мы также можем идентифицировать прямой путь как путь, при котором расстояние в пространстве минимально. Для расчета пространственного расстояния мы разбиваем путь на маленькие кусочки и суммируем их физические длины. В этом смысле, если не приложены силы, суммарный лагранжиан L есть просто физическое расстояние.
Мы с вами можем предпринять еще кое-что. Для Галилея говорить только о пространстве это нормально. Но если мы хотим следовать Эйнштейну, то должны рассматривать пространство и время совместно. Вспомним: обсуждая БАШНЮ, мы поняли, что объект, на который не действуют силы, движется по прямой в пространстве-времени. Можем ли мы определить эту траекторию с помощью минимизации (максимизации) какой-либо величины? Да, но с осторожностью эта величина должна иметь физический смысл и быть однозначно определенной, а не чем-то вроде проходимого в пространстве расстояния или затраченного на него времени. Действительно в коане «ВЕНЕЦИАНСКИЕ СНЫ» мы видели, что и то, и другое величины относительные, то есть зависящие от системы отсчета.
Предположим, что к нашему объекту, движущемуся в пространстве-времени, приделаны часы; если же это человек, то у него есть внутренние часы сердце (будем называть отсчитанное им время собственным временем). Поскольку между двумя событиями в пространстве-времени объект движется по некоторому пути, часы должны зафиксировать количество прошедших между событиями секунд. Обозначим эту величину T. Эта величина факт безусловный, оспорить ее не могут даже те, кто находится в других системах отсчета, с другими ощущениями одновременности и пройденных расстояний в этих системах. Однако существует соотношение между T и этими зависящими от системы отсчета расстояниями и длительностями. Эйнштейн (и Герман Минковский) показал, что для маленьких отрезков пути время T, зарегистрированное внутренними часами объекта, можно выразить через пространственное расстояние d и временной интервал t в других системах, почти так же, как в коане «ИДЕАЛЬНАЯ КАРТА» мы смогли рассчитать пространственное расстояние d по расстояниям в направлении запад-восток и север-юг. Но здесь есть два ключевых отличия. Во-первых, мы должны превратить d во временной интервал, разделив его на скорость света с. Во-вторых, мы должны этот найденный временной интервал не складывать с временным интервалом At, а вычитать из него. В результате получаем
(T)2 = (t)2 (d/с)2.
Что замечательно в этом соотношении, так это то, что оно справедливо для всех систем отсчета, независимо от того, в какой из них вычисляется t и d. (В действительности мы можем взглянуть на это с другой точки зрения: это уравнение в каком-то смысле определяет соотношение между инерциальными системами отсчета в специальной теории относительности Эйнштейна.) Эта величина теперь может играть роль лагранжиана L или пространственного расстояния d: разделим путь, по которому может двигаться частица, на сегменты, вычислим ΔT на каждом сегменте, потом сложим их и получим T, отвечающее всему пути. Посмотрим на этот подход на примере трех различных путей в пространстве-времени (рис. ниже).
Три траектории в пространстве-времени с одним и тем же временем начала и окончания движения.
Первый левый путь прямой. Второй состоит из двух отрезков прямых, и посередине, в точке их пересечения, меняется скорость. Временная протяженность обоих путей одинакова и равна Δt, но в первом случае нет пройденного пространственного расстояния Δd, которое нужно было бы вычитать. Таким образом, собственное время ΔT, которое отсчитали наши наручные часы, больше для первого пути, чем для второго. Аналогично, для третьего пути, когда объект движется взад-вперед, время ΔT меньше, чем для первого пути.
Вывод очевиден: любое изменение направления движения ведет к уменьшению времени, отмеряемого внутренними часами, поэтому прямой путь это путь с максимальным временем по нашим наручным часам.
Просуммируем сказанное: путь частицы через пространство-время можно определить путем нахождения максимума сумм S величин L вдоль каждого пути. Эта величина L включает в себя и время Т, измеряемое внутренними часами, и другие составляющие, связанные с приложенными силами.
Все это хорошо, но если серьезно подумать, здесь кроется загадка, а именно: частица подчиняется силам, которые она ощущает в данный конкретный момент, и движется с некоей скоростью, которую она имеет в данный момент. Но при этом частица полностью уверена, что в течение следующего года пройдет путь, который по прошествии этого года в ретроспективе окажется путем с наибольшим действием S, отобранным из всех возможных путей, которыми она могла пройти в течение этого года. По пути она могла провзаимодействовать с разными объектами весьма сложным образом. Но в конце путь окажется в точности таким, каким нужно. Как это может быть?
Вы сделаны из частиц. Вы и составляющие вас частицы прямо сейчас выбирают направление движения. Оглянувшись назад, сможете ли вы вспомнить, какой путь вы всегда выбирали?
9. Прыжок с обрыва
(Монастырь Ганден, Тибет, 1612 год)
Ты мирно сидишь, читаешь книгу и наслаждаешься закатом в горах, как вдруг в поле твоего зрения появляется Трипа Драгпа. Ты поднимаешь глаза и видишь, как просвечивающее через копну его волос солнце образует фантастическое гало вокруг его головы.
«Брось книгу подальше, приказывает он. Брось ее! Ответь, полетит ли она по прямой? Если скажешь да, ты на правильном пути, но тебе придется выколоть глаза. Если же скажешь нет, тебе придется прыгнуть с обрыва».
Так как она полетит?
Я сидел в кресле в патентном бюро в Берне, и в этот момент мне пришла в голову неожиданная мысль: «Если человек находится в свободном падении, он не чувствует своего веса». Я был потрясен.
Эйнштейн[28]
Если бросить предмет, его траектория окажется искривленной (нужно быть слепым, чтобы не заметить этого), поскольку гравитация тянет предмет к земле. Эйнштейн описал мысль, которая его осенила, когда он сидел в кресле в патентном бюро, как «самую счастливую в жизни», поскольку в конце концов она привела ученого к пониманию того, что траектория, которая выглядит искривленной, должна считаться прямолинейной.
Представьте себе, что вы прыгаете с обрыва, держа в руках эту самую книгу. Поскольку все это происходит лишь в воображении, вам не нужно волноваться по поводу того, что случится, когда вы долетите до дна. Вы также можете при падении пренебречь сопротивлением воздуха и считать, что гравитация это единственное, что на вас действует. Лучше всего просто расслабиться, насладиться свободным падением и провести эксперимент с книгой. Бросайте ее. Что можно сказать о траектории книги, вспоминая об экспериментах Галилея в Пизе? Будет она криволинейной или прямолинейной?
9. Прыжок с обрыва
(Монастырь Ганден, Тибет, 1612 год)
Ты мирно сидишь, читаешь книгу и наслаждаешься закатом в горах, как вдруг в поле твоего зрения появляется Трипа Драгпа. Ты поднимаешь глаза и видишь, как просвечивающее через копну его волос солнце образует фантастическое гало вокруг его головы.
«Брось книгу подальше, приказывает он. Брось ее! Ответь, полетит ли она по прямой? Если скажешь да, ты на правильном пути, но тебе придется выколоть глаза. Если же скажешь нет, тебе придется прыгнуть с обрыва».
Так как она полетит?
Я сидел в кресле в патентном бюро в Берне, и в этот момент мне пришла в голову неожиданная мысль: «Если человек находится в свободном падении, он не чувствует своего веса». Я был потрясен.
Эйнштейн[28]
Если бросить предмет, его траектория окажется искривленной (нужно быть слепым, чтобы не заметить этого), поскольку гравитация тянет предмет к земле. Эйнштейн описал мысль, которая его осенила, когда он сидел в кресле в патентном бюро, как «самую счастливую в жизни», поскольку в конце концов она привела ученого к пониманию того, что траектория, которая выглядит искривленной, должна считаться прямолинейной.
Представьте себе, что вы прыгаете с обрыва, держа в руках эту самую книгу. Поскольку все это происходит лишь в воображении, вам не нужно волноваться по поводу того, что случится, когда вы долетите до дна. Вы также можете при падении пренебречь сопротивлением воздуха и считать, что гравитация это единственное, что на вас действует. Лучше всего просто расслабиться, насладиться свободным падением и провести эксперимент с книгой. Бросайте ее. Что можно сказать о траектории книги, вспоминая об экспериментах Галилея в Пизе? Будет она криволинейной или прямолинейной?