В этой книге мы не собираемся излагать ее в деталях. Тем не менее, узнав, каким образом из идеи о фотонах следуют основные характеристики планковского распределения, можно лучше понять характер поведения излучения в расширяющейся Вселенной.
Спад графика плотности энергии в области больших длин волн объяснить легко: излучение с трудом помещается в ящике, размеры которого меньше длины волны. Об этом можно было догадаться (и догадались) и без квантовой теории всего-навсего на основе старых представлений о волновой природе излучения.
Спад графика плотности энергии в области больших длин волн объяснить легко: излучение с трудом помещается в ящике, размеры которого меньше длины волны. Об этом можно было догадаться (и догадались) и без квантовой теории всего-навсего на основе старых представлений о волновой природе излучения.
А вот понять убывание плотности энергии чернотельного излучения при продвижении в сторону очень малых длин волн, оставаясь в рамках классической теории, нельзя. В статистической физике хорошо известно утверждение: при заданной температуре трудно произвести частицу, волну или еще какое-нибудь возбуждение, если ее энергия превосходит некоторое пороговое значение, прямо пропорциональное температуре. Получается, если волновые импульсы излучения могут иметь сколь угодно маленькую энергию, то на очень коротких волнах они беспрепятственно рождаются в сколь угодно больших количествах. Однако это не только противоречит экспериментальным данным, но и приводит к безумному утверждению о том, что полная энергия чернотельного излучения бесконечна! Единственным выходом было предположить, что энергия существует в виде отдельных порций (квантов) причем чем меньше длина волны, тем больше энергии содержит одна порция. Тогда при любой заданной температуре в коротковолновой области будет наблюдаться дефицит излучения, поскольку отдельные порции в ней становятся очень энергонасыщенными. Окончательная формулировка этой гипотезы, предложенная Эйнштейном, звучит так: энергия фотона обратно пропорциональна длине волны. Следовательно, при заданной температуре в излучении черного тела очень мало фотонов с очень высокой энергией, а значит, почти нет фотонов со слишком маленькой длиной волны. Именно поэтому в планковском распределении виден спад в коротковолновой области.
Если переходить к цифрам, то энергия фотона с длиной волны 1 см равна 0,000124 электронвольта и пропорционально увеличивается с уменьшением длины волны. Энергию фотонов удобно измерять в электронвольтах, каждый из которых равен энергии, набираемой электроном, прошедшим разность потенциалов в один вольт. Скажем, батарейка для фотовспышки на 1,5 вольта, проталкивая электроны по нити накала, затрачивает на каждый электрон 1,5 электронвольта энергии. (В системных единицах один электронвольт равен 1,602 × 1012 эрг или 1,602 × 1019 джоулей.) Как следует из правила Эйнштейна, энергия фотона микроволнового излучения с длиной волны 7,35 см, на которой работали Пензиас и Вильсон, равнялась 0,000124 электронвольта, деленного на 7,35 т. е. 0,000017 электронвольта. А у типичного фотона видимого света длина волны составляет примерно двадцать тысячных сантиметра (5 × 105 см). Значит, его энергия равна 0,000124 электронвольта, умноженного на 20 000, или 2,5 электронвольта. В любом случае с макроскопической точки зрения энергия фотона чрезвычайно мала, поэтому множество фотонов сливается для нас в непрерывный поток излучения.
Кстати, энергетика химических реакций также составляет порядка нескольких электронвольт на атом или на электрон. Например, чтобы вырвать электрон из водородного атома, требуется 13,6 электронвольта, хотя для химии, заметим, это поистине катастрофическое событие. Тот факт, что фотоны солнечного света имеют энергии порядка одного электронвольта, для нас жизненно важен: они участвуют в химических реакциях (фотосинтезе), без которых многие формы жизни не смогли бы существовать. В ядерных же реакциях энергия составляет порядка миллиона электронвольт на ядро. Именно поэтому взрыв одного килограмма плутония в тротиловом эквиваленте равняется примерно миллиону килограммов.
Представление о фотонах дает нам возможность без труда разобраться в основных качественных свойствах чернотельного излучения. Прежде всего, из принципов статистической физики следует: типичная энергия фотона пропорциональна температуре. А правило Эйнштейна гласит: длина волны фотона обратно пропорциональна его энергии. Таким образом, объединяя эти два утверждения, получаем, что типичная длина волны фотона чернотельного излучения обратно пропорциональна температуре. Говоря языком математики, типичная длина волны, возле которой сосредоточена львиная доля излучения черного тела, при температуре 1 К равна 0,29 см, а при более высоких температурах пропорционально уменьшается.
Скажем, непрозрачное тело при обычной комнатной температуре в 300 К (27 °C) будет испускать чернотельное излучение с типичной длиной волны (0,29 см), деленной на 300, т. е. около одной тысячной сантиметра. Это значение попадает в инфракрасный диапазон и для наших глаз слишком велико. А вот поверхность Солнца нагрета до 5800 К, и, следовательно, максимум в солнечном излучении приходится примерно на пять стотысячных сантиметра (0,29 см поделить на 5800), или, что то же самое, на 5000 Å (ангстрем). (1 Å равен одной стомиллионной (108) сантиметра.) Как уже упоминалось, эта длина волны приходится на середину диапазона, к которому эволюция приспособила наши глаза, и потому относится к видимому свету. Поскольку длины волн видимого диапазона очень малы, то до начала XIX в. люди и не подозревали, что свет имеет волновую природу. Явления, присущие волновым процессам (например, дифракцию), можно заметить, только если изучать прохождение света через крошечные отверстия.
Скажем, непрозрачное тело при обычной комнатной температуре в 300 К (27 °C) будет испускать чернотельное излучение с типичной длиной волны (0,29 см), деленной на 300, т. е. около одной тысячной сантиметра. Это значение попадает в инфракрасный диапазон и для наших глаз слишком велико. А вот поверхность Солнца нагрета до 5800 К, и, следовательно, максимум в солнечном излучении приходится примерно на пять стотысячных сантиметра (0,29 см поделить на 5800), или, что то же самое, на 5000 Å (ангстрем). (1 Å равен одной стомиллионной (108) сантиметра.) Как уже упоминалось, эта длина волны приходится на середину диапазона, к которому эволюция приспособила наши глаза, и потому относится к видимому свету. Поскольку длины волн видимого диапазона очень малы, то до начала XIX в. люди и не подозревали, что свет имеет волновую природу. Явления, присущие волновым процессам (например, дифракцию), можно заметить, только если изучать прохождение света через крошечные отверстия.
Как нам уже известно, спадом плотности энергии на больших длинах волн чернотельное излучение обязано тому факту, что всегда трудно поместить в ящик волну, длина которой больше размеров этого ящика. На самом деле среднее расстояние между фотонами чернотельного излучения равно типичной длине волны фотона. Но, как мы знаем, типичная длина волны обратно пропорциональна температуре, а значит, среднее расстояние между фотонами также обратно пропорционально температуре. Кроме того, число любых объектов в заданном объеме всегда обратно пропорционально кубу среднего расстояния между ними. Таким образом, делаем вывод: число фотонов в заданном объеме пропорционально кубу температуры.
С помощью этого утверждения можно прийти к выводу о зависимости энергии чернотельного излучения от температуры. Энергия на литр, или «плотность энергии» это просто количество фотонов в литре, умноженное на энергию одного фотона. Но, как мы видели, число фотонов в литре пропорционально кубу температуры, а средняя энергия одного фотона пропорциональна температуре. Следовательно, энергия на литр для излучения черного тела пропорциональна произведению куба температуры на саму температуру. Другими словами, четвертой степени температуры. Если переходить к цифрам, то при температуре 1 К плотность энергии чернотельного излучения равна 4,72 электронвольта на литр, при 10 К 47 200 электронвольт на литр и т. д. (Эта зависимость носит имена Стефана и Больцмана.) Если открытый Пензиасом и Вильсоном микроволновый шум интерпретировать как чернотельное излучение, то, зная температуру (3 К), получаем плотность энергии примерно 380 электронвольт на литр (4,72 электронвольта умножить на 3 в четвертой степени). Когда температура была в тысячу раз выше, плотность энергии была в миллион миллионов (1012) раз больше.
Теперь можно вернуться к вопросу о происхождении реликтового излучения. Как мы уже знаем, когда-то в прошлом Вселенная была настолько горячей и плотной, что вместо атомов в ней существовали отдельно ядра и электроны причем фотоны, рассеиваясь на свободных электронах, пребывали в термодинамическом равновесии с веществом. Космос постепенно расширялся и охлаждался, став наконец настолько холодным (примерно 3000 К), что ядра и электроны образовали атомы. (В астрофизической литературе этот процесс известен под названием «рекомбинации» или «повторного слияния» не очень удачный термин, если вспомнить, что до этого ядра и электроны никогда не существовали в виде атомов.) Стоило свободным электронам неожиданно исчезнуть, как тепловой контакт между излучением и веществом нарушился и первое стало расширяться независимо.
Когда это произошло, энергия излучения на всех длинах волн определялась термодинамическим равновесием, а значит, описывалась законом Планка с температурой, равной температуре вещества (3000 К). В частности, типичная длина волны должна была равняться одному микрону (одной десятитысячной сантиметра или 10 000 Å), а среднее расстояние между фотонами примерно этой же цифре.
Что стало с фотонами потом? Им некуда было исчезнуть и неоткуда возникнуть, поэтому среднее расстояние между ними должно было просто-напросто расти пропорционально размеру Вселенной, т. е. средней дистанцией между типичными галактиками. Но из предыдущей главы мы узнали: из-за космологического красного смещения длина волны любого света при расширении мироздания «расстягивается», т. е. длины волн фотонов растут пропорционально размеру Вселенной. Получается, что фотоны по-прежнему разделяет одна типичная длина волны, как это характерно для чернотельного излучения. Действительно, если призвать на помощь формулы, можно доказать: излучение, заполняющее Вселенную в процессе ее расширения, продолжает в точности описываться законом Планка для излучения черного тела, хотя оно уже вышло из термодинамического равновесия с веществом (см. математическую заметку 4 на с. 243). Единственное, к чему приводит расширение, к увеличению типичной длины волны фотона пропорционально размеру Вселенной. Температура чернотельного излучения обратно пропорциональна типичной длине волны, а значит, при расширении космоса она снижается обратно пропорционально его размеру.