Наша априорная гипотеза состоит в том, что подозреваемый виновен с вероятностью 0,02 (один из 50 человек, имевших доступ). А теперь представим, что нашему злоумышленнику пришлось попотеть, чтобы справиться с лошадью, и на месте преступления остались следы крови. Как уверяют судебные эксперты, вероятность того, что образец крови подозреваемого совпадет с образцом, взятым на месте преступления, равна 0,85. Мы чертим четырехчастную табличку, как делали это раньше, и заполняем в первую очередь нижнюю строку под ней: один из 50 шансов за то, что подозреваемый виновен (виновен: столбец «да»), и 49 шансов из 50 за то, что невиновен. В лаборатории нам сообщили, что вероятность совпадения образов крови 0,85, вписываем эти данные в верхнюю левую ячейку: вероятность того, что подозреваемый виновен и образцы совпадают. Это означает, что в нижнюю левую ячейку надо записать 0,15 (сумма вероятностей должна давать единицу). Совпадение образцов на 85 % означает, что с вероятностью 15 % кровь была оставлена кем-то еще, не нашим подозреваемым, а значит, его можно оправдать. А еще есть 15 % вероятности, что следы крови оставил кто-то из оставшихся 49 человек, поэтому мы умножаем 49 на 0,15 и получаем 7,35 вписываем это число в правую верхнюю ячейку. Мы вычитаем его из 49, чтобы найти значение, которое запишем внизу справа.
Наша априорная гипотеза состоит в том, что подозреваемый виновен с вероятностью 0,02 (один из 50 человек, имевших доступ). А теперь представим, что нашему злоумышленнику пришлось попотеть, чтобы справиться с лошадью, и на месте преступления остались следы крови. Как уверяют судебные эксперты, вероятность того, что образец крови подозреваемого совпадет с образцом, взятым на месте преступления, равна 0,85. Мы чертим четырехчастную табличку, как делали это раньше, и заполняем в первую очередь нижнюю строку под ней: один из 50 шансов за то, что подозреваемый виновен (виновен: столбец «да»), и 49 шансов из 50 за то, что невиновен. В лаборатории нам сообщили, что вероятность совпадения образов крови 0,85, вписываем эти данные в верхнюю левую ячейку: вероятность того, что подозреваемый виновен и образцы совпадают. Это означает, что в нижнюю левую ячейку надо записать 0,15 (сумма вероятностей должна давать единицу). Совпадение образцов на 85 % означает, что с вероятностью 15 % кровь была оставлена кем-то еще, не нашим подозреваемым, а значит, его можно оправдать. А еще есть 15 % вероятности, что следы крови оставил кто-то из оставшихся 49 человек, поэтому мы умножаем 49 на 0,15 и получаем 7,35 вписываем это число в правую верхнюю ячейку. Мы вычитаем его из 49, чтобы найти значение, которое запишем внизу справа.
Теперь мы можем вычислить данные, которые должны будут оценить судья и присяжные.
P (Виновен | Совпадение) = 0,85 / 8,2 = 0,10
P (Невиновен | Совпадение) = 7,35 / 8,2 = 0,90
С учетом улик вероятность невиновности подозреваемого в девять раз выше, чем виновности. Начинали мы с 2 %-ной вероятности, что он виновен, новая информация увеличила эту вероятность в пять раз, но все же вероятность того, что он невиновен, больше. Давайте представим, что у нас появились дополнительные улики конский волос, найденный на пальто подозреваемого, а вероятность того, что это шерсть лошади, получившей допинг, равна 0,95 (шансы, что он принадлежит другой лошади, пять из 100). Теперь мы можем увязать все байесовские вероятности друг с другом, заполнив новую табличку. В нижней строке вписываем те значения, которые только что получили путем математических подсчетов: 0,10 и 0,90 (статистики иногда шутят, что вчерашние апостериорные события это сегодняшние априорные). Если вы скорее склонны интерпретировать эти цифры как «один шанс из десяти» и «девять шансов из десяти», смело вписывайте целые числа.
Мы знаем от наших судебных экспертов, что вероятность совпадения образцов волос равна 0,95. Умножив это на 1, мы получаем данные, которые вписываем в верхнюю левую ячейку, а вычитая результат из единицы, получаем значение для нижней левой ячейки. Если вероятность того, что образец совпадает с образцом лошади-жертвы, равна 0,95, то с вероятностью 0,05 образец совпадет с образцом другого животного (благодаря чему подозреваемый будет оправдан). Значит, в правую верхнюю ячейку мы вписываем 0,45 результат умножения 0,05 на число внизу таблицы, то есть на девять. Теперь, закончив вычисления, мы видим следующее:
Новые улики показывают, что вероятность виновности подозреваемого в два раза выше, чем вероятность его невиновности. Многие прокуроры и судьи не знают, как работать с уликами, используя таблички, но вы видите, насколько это полезно. Ошибочное мнение, что P (Виновен | Улика) = P (Улика | Виновен), настолько распространено, что даже получило название «ошибка прокурора»[170].
Если вам так удобнее, правило Байеса можно использовать чисто математически, не прибегая к четырехчастной табличке. Как это сделать, описано в приложении.
Анализ конкретных случаев
Наука не дает нам уверенности, только вероятности. Мы не знаем на 100 %, появится ли солнце завтра на небосводе, примагнитится ли тот кусочек железа или есть ли что-нибудь быстрее скорости света. Мы думаем, что все это очень вероятно, но наука предлагает нам только лучшие байесовские заключения, с учетом того, что нам уже известно.
Байесовский вид рассуждений учит нас рассматривать вероятности в свете того, что мы знаем о современном мире. Тут важно научиться мыслить критически, как описано в этой книге. Это умение нужно тренировать и оттачивать. Тщательное изучение отдельных случаев стандартный метод, потому что позволяет отточить полученные навыки по-новому то, что теоретики обучения называют переносом. Это самый эффективный способ сохранения знания, который нам известен.
Бесчисленными путями ошибочные рассуждения и дезинформация проникают в нашу жизнь. Наш мозг не приспособлен к тому, чтобы противостоять им. Мы всегда придерживались научного подхода, старались, окинув мысленным взором данные, тщательно их осмыслить и уложить в систему. Конкретные практические ситуации предстают перед нами в виде историй, в основе которых лежат настоящие происшествия или их фрагменты, и, конечно, мы все очень любим рассказывать и слушать истории. Мы запоминаем истории и то, каким интересным образом они возвращают нас к фундаментальным идеям. Давайте вместе поразмышляем над конкретными примерами, приведенными ниже.
У чудо-пса по кличке Шедоу рак (или нет?)
Мы взяли нашу собаку Шедоу, помесь померанского шпица с шотландской овчаркой, из приюта, когда ему было два года. Мы дали ему такую кличку, потому что он изо дня в день ходил за нами тенью, из комнаты в комнату, всегда был поблизости{59}. Как это часто бывает с хозяевами домашних животных, наши ритмы синхронизировались мы засыпали и просыпались в одно и то же время. Пес часто ездил с нами в командировки, побывал в других городах, приспособился путешествовать на самолетах, поездах и автомобилях.
Когда Шедоу исполнилось 13, у него начались проблемы с мочеиспусканием, и вот однажды мы обнаружили у него в моче кровь. Наш ветеринар провел УЗИ и нашел опухоль прямо на мочевом пузыре. И единственным способом точно определить, рак это или нет, было провести две операции, на которых настаивал онколог: цистоскопию, во время которой ему через уретру введут миниатюрную камеру в мочевой пузырь, и биопсию, чтобы взять анализы. Терапевт был против, потом что риски при общей анестезии в таком возрасте были слишком велики. Если бы оказалось, что это рак, онколог, скорее всего, провел бы операцию, а затем назначил бы курс химиотерапии. Не имея на руках никаких результатов анализов, доктора были уверены, что это рак мочевого пузыря, известный как промежуточно-клеточная карцинома (ПКК). В среднем собаки живут с таким диагнозом от силы полгода.
Мы с женой посмотрели Шедоу в глаза и ощутили абсолютную беспомощность. Мы не знали, больно ли ему, и если больно, то сколько еще боли он вынесет во время лечения или из-за самого заболевания. Забота о нем полностью легла на нас, поэтому решение далось нам непросто, мы были на взводе, но это не означает, что мы забыли о рациональности. Ведь можно думать критически, даже когда решение касается чего-то из области эмоций. Даже когда речь идет о вашей собаке.
Вот с чем обычно сталкиваются люди в ситуациях, когда речь идет об их питомцах: два доктора, два разных мнения, множество вопросов. Каковы риски во время операции? Каковы риски во время проведения биопсии? Сколько еще Шедоу будет жить, если операцию все же провести, а сколько если не проводить?
Во время биопсии специалист с помощью тонкой иголки делает забор образцов ткани для анализа и отправляет их патологу. А тот уже взвешивает все шансы (патологи, как и большинство ученых, которых нам уже довелось встречать, работают не с несомненными фактами, а скорее с шансами, вероятностью того, что в образце могут быть раковые клетки, которая потом экстраполируется на вероятность, что и в непроанализированных тканях могут быть раковые клетки; если же вам нужна определенность, то не стоит ее ждать от патолога). Владельцы домашних животных никогда не интересуются возможными рисками во время биопсии. В медицине собрана специальная статистика для людей, и она известна, но в ветеринарии этот вопрос отражен гораздо хуже. По словам ветеринара, у нашей собаки могла бы возникнуть инфекция, угрожающая жизни (вероятность 5 %), а кроме того, какой-то злокачественный биоматериал (если у нашей собаки рак) мог бы попасть в брюшной отдел, когда иглу будут вытаскивать (вероятность 10 %), и спровоцировать дальнейшее распространение раковых клеток. Есть еще дополнительный риск ведь после биопсии остается рубец, который только усложнит проведение операции. Анестезия, необходимая для этого, могла попросту убить Шедоу. Короче говоря, сама процедура диагностирования могла сильно навредить ему.
Наш ветеринар предложил шесть вариантов развития событий.
1. Провести биопсию через брюшную стенку в надежде, что таким образом мы получим более точный диагноз.
2. Установить диагностический катетер (который разбередит какое-то количество раковых клеток, они начнут отслаиваться, и таким образом их можно будет изучить).
Наш ветеринар предложил шесть вариантов развития событий.
1. Провести биопсию через брюшную стенку в надежде, что таким образом мы получим более точный диагноз.