Данный хребет можно рассматривать, как оптимальную область, поскольку все узлы, расположенные в пределах этой зоны, имеют высокое значение целевой функции (> 6 %). Сама оптимальная область также окружена достаточно широкой областью, состоящей из узлов с относительно высокими значениями целевой функции. Поэтому найденное оптимальное решение можно в принципе считать робастным. Однако следует оговориться, что робастность оптимального решения неодинакова по двум параметрам. Изменения значений параметра «период истории для расчета HV» в пределах оптимальной зоны и вокруг нее приводят к меньшим изменениям целевой функции, чем изменения параметра «число дней до экспирации» (при отступлении от оптимального значения этого параметра [30 дней] в большую или меньшую сторону происходит резкое снижение целевой функции). Следовательно, робастность первому параметру выше робастности по второму.
Рассматриваемое оптимизационное пространство можно условно считать унимодальным. Это утверждение основывается на том, что оптимальная область возвышается достаточно высоко над остальной поверхностью (в случае двумерной оптимизации пространство можно называть поверхностью). Вместе с тем, поскольку данная поверхность не является гладкой, утверждение об унимодальности можно вполне оспорить. Помимо оптимальной области, данная поверхность содержит еще множество участков, в которых значение целевой функции не просто положительно, а колеблется в пределах довольно неплохого диапазона (24 %). По этой причине данную поверхность можно в принципе считать полимодальной. Хотя вопрос классификации не является для нас первостепенным, сам факт наличия локальных максимумов заставляет задуматься о том, что глобальный максимум может оказаться не самым лучшим решением. Если какой-нибудь локальный максимум имеет значение целевой функции, не слишком уступающее глобальному максимуму, но при этом его робастность существенно выше робастности глобального максимума, то вполне может оказаться, что наилучшим решением будет выбрать такой локальный максимум в качестве оптимального решения. Сделать объективный выбор можно, только применив какую-нибудь количественную методику, чему будет посвящен раздел 2.5.
Для того чтобы получить полное представление о форме и свойствах оптимизационного пространства, показанного на рис. 2.2.2, необходимо было вычислить значения целевой функции во всех 3600 узлах. Поскольку данная оптимизация рассчитывалась на 10-летней базе данных (как и все прочие оптимизации, рассматриваемые в этой главе), расчет одного узла занял порядка одной минуты. Соответственно, расчеты для всего оптимизационного пространства заняли порядка 60 часов. Для нашего исследования это вполне приемлемо, но для оперативной практической работы такие большие временные затраты не всегда допустимы. Особенно если учесть, что в реальности может быть больше двух параметров, и каждый параметр может иметь больше 60 значений в своем диапазоне. Кроме того, 3600 это число узлов, которые необходимо вычислить только для одной целевой функции, а их обычно бывает больше (около трех-четырех). Поэтому на практике в большинстве случаев невозможно вычислить все оптимизационное пространство. Вместо этого приходится применять методы целенаправленного поиска оптимального решения (этому вопросу посвящен раздел 2.7).
Для того чтобы получить полное представление о форме и свойствах оптимизационного пространства, показанного на рис. 2.2.2, необходимо было вычислить значения целевой функции во всех 3600 узлах. Поскольку данная оптимизация рассчитывалась на 10-летней базе данных (как и все прочие оптимизации, рассматриваемые в этой главе), расчет одного узла занял порядка одной минуты. Соответственно, расчеты для всего оптимизационного пространства заняли порядка 60 часов. Для нашего исследования это вполне приемлемо, но для оперативной практической работы такие большие временные затраты не всегда допустимы. Особенно если учесть, что в реальности может быть больше двух параметров, и каждый параметр может иметь больше 60 значений в своем диапазоне. Кроме того, 3600 это число узлов, которые необходимо вычислить только для одной целевой функции, а их обычно бывает больше (около трех-четырех). Поэтому на практике в большинстве случаев невозможно вычислить все оптимизационное пространство. Вместо этого приходится применять методы целенаправленного поиска оптимального решения (этому вопросу посвящен раздел 2.7).
2.2.2. Область допустимых значений параметров
В этом разделе мы рассмотрим, каким образом диапазон допустимых значений параметра влияет на форму оптимизационного пространства и на поиск оптимального решения. Начнем с того, что для каждого из двух параметров сократим вдвое диапазоны значений (относительно диапазонов, использовавшихся в предыдущем разделе). Для параметра «период истории для расчета HV» верхняя граница нового диапазона составит 150 дней, для параметра «количество дней до экспирации опционов» 60 дней. Эти ограничения приведут к сжатию объема оптимизационного пространства в четыре раза. (В случае трехмерной оптимизации сокращение диапазона значений в два раза привело бы к восьмикратному сжатию объема.) В этом состоит положительный эффект такого сокращения диапазонов, поскольку теперь для построения полного пространства потребуется произвести 900 вместо 3600 вычислений.
На левом графике рис. 2.2.3 показано оптимизационное пространство, построенное для новых диапазонов допустимых значений. Сравнение этого уменьшенного пространства с более обширным вариантом (рис. 2.2.2) убеждает в том, что область глобального максимума не была потеряна в результате введения более жестких ограничений на диапазон допустимых значений параметров. Теперь эта область находится почти в центре пространства. Кроме того, за рамками нового оптимизационного пространства осталась большая часть области низких значений целевой функции. Это означает, что доля области оптимальных значений относительно общего объема оптимизационного пространства существенно возросла. Следовательно, вероятность нахождения глобального максимума в процессе поиска оптимального решения (используя методы, не требующие полного перебора) также повысилась. Однако, выбирая область допустимых значений, следует исходить из того, что мы не знаем, как выглядит полное оптимизационное пространство. Поэтому, сокращая диапазон допустимых значений, мы можем исключить из рассмотрения хорошую область, содержащую наилучшее решение.
Кроме того, диапазон допустимых значений не должен обязательно начинаться с наименьших возможных значений параметра, как это было сделано в предыдущих примерах (рис. 2.2.2 и 2.2.3, левый график). Допустим, что разработчик создает стратегию, работающую с более долгосрочными опционами. В этом случае он может задать нижнюю границу на диапазон допустимых значений параметра «число дней до экспирации». Допустим это будет 60 дней (пусть верхняя граница остается без изменений). Изменение в диапазоне этого параметра потребует внесения изменений и в диапазон второго параметра, поскольку при торговле долгосрочными опционами неразумно оценивать их с помощью критерия, рассчитываемого на основании волатильности, оцененной на более коротком периоде, чем период обращения самих опционов. Следовательно, диапазон значений параметра «период истории для расчета HV» должен быть также ограничен снизу 60 днями (для того чтобы количество значений каждого параметра в пределах допустимого диапазона было одинаковым, верхнюю границу ограничим значением 210).
Рассмотрим оптимизационную поверхность, полученную для новых диапазонов допустимых значений параметров (правый график рис. 2.2.3). Совершенно очевидно, что в этом случае результаты оптимизации будут другими. Глобальный максимум теперь имеет другие координаты 106 по горизонтальной оси и 145 по вертикальной. В том случае, когда рассматривалось более широкое пространство, этот узел являлся локальным максимумом. Теперь же, когда более высокий экстремум остался за рамками рассмотрения, локальный максимум превратился в глобальный. Значение целевой функции в этом узле составляет 4,1 % (ниже глобального максимума более широкого пространства, 7,1 %).
Рассмотрим оптимизационную поверхность, полученную для новых диапазонов допустимых значений параметров (правый график рис. 2.2.3). Совершенно очевидно, что в этом случае результаты оптимизации будут другими. Глобальный максимум теперь имеет другие координаты 106 по горизонтальной оси и 145 по вертикальной. В том случае, когда рассматривалось более широкое пространство, этот узел являлся локальным максимумом. Теперь же, когда более высокий экстремум остался за рамками рассмотрения, локальный максимум превратился в глобальный. Значение целевой функции в этом узле составляет 4,1 % (ниже глобального максимума более широкого пространства, 7,1 %).
Таким образом, можно сделать вывод, что диапазон значений параметров влияет на форму оптимизационного пространства и в значительной степени определяет выбор окончательного оптимального решения. В целом, чем больше область допустимых значений параметров, тем больше шанс, что максимум целевой функции попадет в исследуемое оптимизационное пространство. Однако при этом уменьшается шанс найти этот максимум в процессе оптимизации, поскольку, во-первых, возникает необходимость проверять большее количество узлов и, во-вторых, из-за сложности поверхности возрастает риск «застрять» на локальных максимумах.
2.2.3. Шаг оптимизации
Шаг оптимизации не оказывает определяющего влияния на общую форму оптимизационного пространства, однако он влияет самым прямым образом на глубину его проработки. Чем шире шаг, тем больше деталей рельефа оптимизационного пространства может быть упущено в процессе оптимизации. Например, из-за слишком широкого шага оптимизации можно вовсе не обнаружить узкий пик функции полезности. Следовательно, при увеличении шага объем информации о целевой функции уменьшается.
Для рассматривавшейся ранее оптимизационной поверхности (рис. 2.2.2) использовался шаг два дня (для параметра «число дней до экспирации») и пять дней (для параметра «период истории для расчета HV»). Теперь мы увеличим эти значения до четырех и 10 дней соответственно и посмотрим какой эффект это окажет на информативность пространства. Левый график рис. 2.2.4 демонстрирует поверхность, полученную в результате увеличения шага. Сравнивая эту поверхность с рис. 2.2.2, мы видим, что, несмотря на уменьшение деталей, область глобального максимума сохранилась. Ранее узел глобального максимума имел координаты 30 по горизонтальной оси и 105 по вертикальной, теперь глобальный максимум имеет координаты 30 и 100. Хотя узел, имевший самое высокое значение целевой функции (7,1 %) исчез, его место в качестве глобального максимума занял соседний узел, целевая функция которого имеет весьма близкое значение (7 %).