Пуанкаре особо указал, что без первоначального периода подготовки успеха не достичь. Подсознанию, настаивал он, необходимо дать как можно больше пищи для размышления, в противном случае удачные идеи, которые в конечном итоге могут привести к решению, просто не возникнут. Вдохновения без трудового пота не бывает. Кроме того, Пуанкаре наверняка знал ведь об этом знает любой математик-исследователь, что одного такого трехэтапного процесса редко бывает достаточно. Решение серьезной задачи, как правило, требует нескольких озарений. Этап вынашивания одной идеи может быть прерван вспомогательным процессом подготовки, вынашивания и озарения какой-то другой задачи, решение которой оказалось необходимым для работы над первой, основной идеей. Решение любой стоящей задачи, великой или не слишком, обычно включает в себя множество таких последовательностей, заключенных одна в другой, как замысловатые фракталы Бенуа Мандельброта. Вы решаете задачу, разбивая ее на подзадачи. Вы убеждаете себя, что если удастся решить эти подзадачи, то затем из полученных результатов можно будет собрать решение задачи в целом. Иногда они решаются, иногда приходится возвращаться к началу пути. Иногда подзадача сама рассыпается на несколько кусочков. Даже уследить за происходящим и удержать в голове общую картину порой очень и очень непросто.
Я назвал работу подсознания «интуицией». «Интуиция» одно из удобных, но вводящих в заблуждение слов, таких как «инстинкт», которые широко используются, хотя и не имеют четкого значения. Подобными словами называют нечто непонятное, присутствие чего тем не менее отрицать невозможно. Математическая интуиция это способность разума чувствовать форму и структуру и распознавать закономерности, которые мы не в состоянии уловить на сознательном уровне. Интуиция не обладает кристальной чистотой осознанной логики, зато способна привлечь наше внимание к вещам, которые мы никогда не стали бы рассматривать сознательно. Нейробиологи еще только начинают понимать, как человеческий мозг справляется с гораздо более простыми задачами. Понятно, однако, что интуиция, как бы она ни работала, существует благодаря структуре мозга и его взаимодействию с внешним миром.
Зачастую главное, чем помогает в работе интуиция, она подсказывает, где у задачи слабые места, где к ней можно подступиться с максимальными шансами на успех. Математическое доказательство подобно сражению или, если вы предпочитаете менее воинственные сравнения, шахматной партии. Как только потенциально слабое место выявлено, исследователь бросает в бой (т. е. на его изучение) все свои возможности исследователя, весь математический аппарат, которым владеет. Как Архимед нуждался в точке опоры, чтобы перевернуть Землю, так и математик-исследователь нуждается в рычагах воздействия на задачу. Одна-единственная ключевая идея может раскрыть ее, сделать доступной для стандартных методов. Ну а после этого довести решение задачи до конца дело техники.
Мой любимый пример рычагов такого рода задачка, которая не имеет особого математического смысла, но помогает объяснить важный момент. Предположим, у вас есть шахматная доска из 64 клеток и набор костяшек домино, каждая из которых по размеру точно закрывает две соседние клетки доски. Очевидно, 32 костяшек достаточно, чтобы закрыть всю доску. Но теперь представьте, что из доски удалили две противоположных по диагонали угловых клетки, как показано на рис. 1. Можно ли закрыть оставшиеся 62 клетки при помощи 31 костяшки? Попробовав, вы поймете, что ничего не получается. С другой стороны, явных причин, по которым это задание можно было бы счесть невыполнимым, вроде бы тоже не видно. Но ровно до тех пор, пока вы не сообразите, что каждая костяшка домино, как их ни раскладывай, должна закрывать одну черную и одну белую клетку доски. Вот ваш рычаг, и теперь остается только применить его. Он подразумевает, что любая площадь, закрытая костяшками домино, содержит равное число черных и белых клеток. Но противоположные по диагонали клетки одного цвета (в данном случае белые), так что при их удалении возникает фигура, в которой черных клеток на две больше, чем белых. А никакую фигуру такого рода полностью закрыть костяшками невозможно. Наблюдение о том, что любая костяшка домино обязательно закрывает две клетки разного цвета, и есть слабое место этой головоломки. Поняв это, вы получаете точку, к которой можно приложить логический рычаг и нажать. Если бы вы были средневековым бароном и осаждали замок, это стало бы для вас слабым местом замковой стены местом, где следует сосредоточить огонь требушетов или начать делать подкоп.
Однако в одном существенном моменте математические исследования отличаются от сражения. Любая территория, которую вам однажды удалось оккупировать, остается вашей навсегда, и после этого вы можете сосредоточить усилия на чем-то ином. Но доказанная теорема никуда не исчезает. И именно благодаря этому математики достигают прогресса в решении задачи, даже если дойти до конца им не удается. Однажды установленный факт становится доступен всем, и воспользоваться им может кто угодно и совершенно в любом контексте. Нередко отправной точкой новой атаки на древнюю как мир проблему становится незамеченное ранее сокровище, затерявшееся в целой куче разнообразных фактов. И это одна из причин, по которым любые новые математические расчеты ценны сами по себе, даже если польза от них не видна сразу. Это еще один кусок завоеванной территории, еще одно оружие в арсенале. Возможно, его время еще придет но этого не случится, если его посчитают «бесполезным» и забудут или просто не дадут увидеть свет, потому что не поймут, какой в нем смысл.
2. Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха
Некоторые великие задачи встречаются и в начальном курсе математики, хотя мы этого не замечаем. Вскоре после того, как ребенок осваивает умножение, он знакомится с концепцией простого числа. Известно, что некоторые числа могут быть получены при перемножении двух меньших чисел, к примеру: 6 = 2 × 3. Другие, такие как 5, невозможно разложить подобным образом на сомножители. Максимум, что можно сделать, это записать 5 = 1 × 5, но в этом выражении нет двух меньших чисел. Числа, которые можно разбить на сомножители, называют составными, а те, что разложить невозможно, простыми. Простые числа кажутся такой несложной темой! Если вы уже умеете перемножать натуральные числа, то способны разобраться и в том, что представляет собой простое число. Простые числа первичные строительные кирпичики для всех натуральных чисел, и обнаружить их можно в самых разных разделах математики. Но в них есть тайна, и, на первый взгляд, они раскиданы среди положительных целых чисел почти случайным образом. Нет никаких сомнений: простые числа настоящая загадка. Возможно, это естественное следствие их определения ведь определяются они не через какое-либо присущее им свойство, а напротив через свойство, которое у них отсутствует. С другой стороны, для математики это фундаментальное понятие, поэтому мы не можем просто так в ужасе поднять руки и сдаться. Нам необходимо с ними освоиться и каким-то образом вызнать их потаенные секреты.
Некоторые свойства простых чисел очевидны. За исключением самого маленького из них, двойки, все они нечетные. Сумма цифр простого числа, за исключением тройки, не может быть кратна трем. Они, за исключением пятерки, не могут заканчиваться на цифру 5. Если же число не подпадает под эти правила и под несколько других, более тонких, то невозможно посмотреть на него и сразу сказать, простое это число или нет. Да, существуют формулы для простых чисел, но это в значительной степени обман. Эти формулы не дают никакой полезной новой информации о простых числах; это просто хитрый способ зашифровать определение «простоты» в виде формулы. Простые числа как люди: каждое из них личность, и они не подчиняются общим правилам.
За тысячелетия математики сумели постепенно расширить свои знания о простых числах. Время от времени и сегодня решаются новые серьезные проблемы, с ними связанные. Однако многие вопросы по-прежнему остаются нерешенными. Некоторые из них фундаментальны и легко формулируются, другие понятны немногим. В этой главе говорится о том, что мы знаем и чего не знаем об этих раздражающих своей неприступностью, но все же фундаментальных числах. Начинается она с установления некоторых базовых понятий: в частности, концепции разложения на простые множители как представить заданное число в виде произведения простых чисел. Даже этот знакомый процесс заводит нас на глубину сразу же, как только мы начинаем задавать вопросы о по-настоящему эффективных методах поиска простых множителей конкретного числа. Как ни удивительно, определить, является ли данное число простым, относительно несложно, но если число составное, то отыскать его простые множители часто намного труднее.
Разобравшись в основах, перейдем к самой известной из нерешенных задач, связанных с простыми числами, к проблеме Гольдбаха, которой уже 250 лет. В последнее время в работе над ней достигнут колоссальный прогресс, но полностью она пока не решена. А несколько других задач представят нам примеры того, что еще предстоит сделать в этой важной, но трудно поддающейся исследованию области математики.
Простые числа и разложение на множители знакомы нам из школьного курса арифметики, однако большинство интересных свойств простых чисел на этом уровне не рассматривают и никаких доказательств не представляют. Тому есть веские причины: доказательства даже самых очевидных, на первый взгляд, свойств удивительно сложны. Вместо этого школьников учат некоторым простым методикам работы с простыми числами, акцентируя внимание на вычислениях, где цифры относительно невелики. В результате наши первые впечатления от встречи с простыми числами, как правило, обманчивы.
Древние греки были знакомы с некоторыми базовыми свойствами простых чисел и знали, как их доказать. Простые числа и сомножители основная тема Книги VII евклидовых «Начал», классического труда, посвященного геометрии. В этой книге имеется, в частности, геометрическое представление арифметических действий деления и умножения. Греки предпочитали работать не с числами как таковыми, а с длинами линий (отрезков), но их результаты несложно переформулировать на языке чисел. Так, Предложение 16 Книги VII доказывает, что при перемножении двух чисел результат не зависит от того, в каком порядке берутся эти числа. Иными словами, ab = ba, фундаментальный закон алгебры.
Простые числа и разложение на множители знакомы нам из школьного курса арифметики, однако большинство интересных свойств простых чисел на этом уровне не рассматривают и никаких доказательств не представляют. Тому есть веские причины: доказательства даже самых очевидных, на первый взгляд, свойств удивительно сложны. Вместо этого школьников учат некоторым простым методикам работы с простыми числами, акцентируя внимание на вычислениях, где цифры относительно невелики. В результате наши первые впечатления от встречи с простыми числами, как правило, обманчивы.