Высшая математика. Шпаргалка - Аурика Луковкина

Высшая математика. Шпаргалка

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координат О, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной оси ОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным углом φ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:

Пусть имеются две точки М

1

1

1

2

2

2

Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А

1

1

1

2

2

2

3

3

3

либо (х

2

1

3

1

3

1

2

1

2. Пусть даны две точки А

1

1

1

2

2

2

(х

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

3. Пусть имеются точка М (х

1

1

у – у

1

1

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х

1

1

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

у – у

1

1

или

а(у – у

1

1

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х

1

1

1

1

4. Пусть даны две точки А

1

1

1

2

2

2

1) точки А

1

2

1

1

2

2

2) точки А

1

2

1

1

2

2

3) одна или обе точки А

1

2

1

1

2

2

5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х

1

1

1

1

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y

1

1

Если две прямые пучка L

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

6. Пусть даны точка М (х

1

1

3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат

Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояние р (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный угол α (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние

полярный угол α

причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.

Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение  (знак берется в зависимости от знака С).

Рис. 2

После деления получается нормальное уравнение данной прямой:

Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.

Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х

0

0

0

0

0

0

0

0

При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):

x = x* cosα – y* sinα;

y = x* sinα + y* cosα

или

x* = x cosα + y sinα;

y* = – x sinα + y cosα.

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линией n–порядка.

Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х

2

2

2

(х – а)

2

2

2

Чтобы уравнение Ах

2

2

2

2

2

2

Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах

2

2

2

2

2

2

Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

Прямая АА

1

1

1

1

1

Каноническое уравнение эллипса: x

2

2

2

2

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F

1

1

Рис. 4

Точки F и F

1

1

1

2

2

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F

1

1

1

1

Каноническое уравнение гиперболы: х

2

2

2

2

2

2

2

2

Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у

2

Рис. 5

5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости: Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х

1

1

1

Пусть имеются две плоскости А

1

1

1

1

2

2

2

2

Условие равенства двух плоскостей: А

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М

1

1

1

1

2

2

2

2

Уравнение плоскости, проходящей через точку М

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:

6. Прямая в пространстве

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x

0

0

0

0

0

0

0

Условие параллельности двух прямых: m

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Пусть имеются прямая (x – x

0

0

0

Если прямая задана параметрически x