В ходе исследований Кэрол Дуэк и ее коллег было установлено, что примерно у 40 % детей отмечается пагубное фиксированное мышление и они убеждены, будто интеллект – дар, который «либо есть, либо нет». 40 % учеников свойственно мышление роста, а оставшиеся 20 % демонстрируют признаки обоих типов мышления (Dweck, 2006b). Ученики с фиксированным мышлением чаще легко сдаются, а ученики с мышлением роста продолжают трудиться, даже если им приходится постоянно выполнять нелегкую работу, демонстрируя при этом качество, которое Анджела Дакворт называет твердостью характера (Duckworth & Quinn, 2009). В ходе одного исследования учеников седьмого класса был проведен опрос для определения типа мышления. Потом исследователи на протяжении двух лет отслеживали успеваемость этих учеников по математике. Результаты оказались впечатляющими: успеваемость учеников с фиксированным мышлением оставалась на прежнем уровне, а у учеников с мышлением роста она постоянно повышалась (Blackwell et al., 2007; рис. 1.1).
Рис. 1.1. Ученики с мышлением роста опережают в математике учеников с фиксированным мышлением
Источник: Blackwell et al., 2007.
В ходе других исследований ученые показали, что фиксированное мышление у детей (и взрослых) может трансформироваться в мышление роста. Когда это происходит, их подход к обучению становится гораздо более позитивным и успешным (Blackwell et al., 2007). Кроме того, получены новые данные (подробнее см. главу 2) о том, что, когда ученики с мышлением роста совершают ошибки, активность их мозга более позитивна; при этом у них активизируется больше участков мозга, они уделяют больше внимания ошибкам и исправляют их (Moser, Schroder, Heeter, Moran, & Lee, 2011).
Мне не нужны были другие доказательства важности помощи детям (и взрослым) в развитии мышления роста, в частности в математике. Но недавно мне довелось работать в Париже вместе с членами команды PISA[5] (программы Организации экономического сотрудничества и развития, ОЭСР) над анализом поразительного объема данных о 13 миллионах учащихся из разных стран. Команда PISA проводит международные тесты раз в четыре года, а их результаты публикуются информационными агентствами во всем мире. В США результаты тестов часто вызывают тревогу – и не без оснований. По итогам последнего (на момент написания книги) теста США заняли 36-е место по уровню знаний в математике среди 65 стран – членов ОЭСР (PISA, 2012). Подобно многим другим итогам, этот результат говорит о наличии настоятельной потребности в реформировании преподавания и изучения математики в США. Однако команда PISA занимается не только организацией тестов по математике, но и проводит опросы учащихся с целью сбора информации об их представлениях и убеждениях в отношении математики и своего мышления. Я получила предложение поработать со специалистами PISA, после того как некоторые члены этой команды прошли онлайн-курс, который я проводила прошлым летом. Одним из этих людей был Пабло Сойдо – учтивый испанец, который глубоко анализирует вопросы изучения математики и имеет богатый опыт работы с огромными объемами данных. Пабло – аналитик PISA. Проанализировав имеющиеся данные, мы с ним обнаружили нечто поразительное: именно учащиеся с мышлением роста добиваются самых высоких результатов в математике и опережают других более чем на год изучения математики (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Мышление и математика
Источник: PISA, 2012.
Фиксированное мышление (когда ученики считают, что они либо умные, либо нет), которое приводит к пагубным последствиям, свойственно ученикам всех уровней успеваемости. Но самый тяжелый вред оно наносит девочкам с высоким уровнем успеваемости (Dweck, 2006a). Как оказалось, губительна даже уверенность в собственных умственных способностях (одна из установок на данность). Ведь ученики с фиксированным мышлением менее склонны пробовать свои силы в более тяжелой работе или изучении более сложного предмета: они боятся, что совершат ошибку и их уже не будут считать умными. Ученики с мышлением роста берутся за трудную работу и воспринимают ошибки как вызов и стимул прилагать еще больше усилий. Высокая распространенность фиксированного мышления среди девочек – одна из причин того, что они не стремятся изучать технические дисциплины STEM[6]. Это не только ограничивает их жизненные шансы, но и обедняет дисциплины STEM, которые нуждаются в мышлении и видении девушек и женщин (Boaler, 2014a).
В США у многих людей сформировалось фиксированное мышление, в частности из-за того, как родители и учителя хвалят их. Когда ученики получают похвалу за какое-то качество (например, интеллект, если они хорошо справились с каким-то заданием), поначалу они чувствуют себя хорошо. Но когда они позже сталкиваются с неудачами (а они бывают у каждого), для них это означает, что на самом деле они не так уж умны. В ходе одного из недавних исследований было обнаружено, что от того, как родители хвалят детей от момента рождения до трех лет, зависит их мышление через пять лет (Gunderson et al., 2013). Влияние похвалы, которую получают ученики, может быть настолько сильным, что это сразу сказывается на их поведении. В ходе одного из исследований Кэрол Дуэк 400 ученикам пятого класса предложили пройти небольшой легкий тест, с которым почти все справились хорошо. Затем половину детей похвалили за интеллект («Ты такой умный!»), а другую – за усилия при выполнении задания («Ты работал очень усердно!»). После этого детям предложили пройти еще один тест, дав им возможность выбрать между простым вариантом, с которым они могли легко справиться, и более сложным, в котором они могли сделать ошибку. 90 % учеников, которых хвалили за усилия, выбрали более трудный тест. Большинство же тех, кого хвалили за интеллект, предпочли легкий вариант (Mueller & Dweck, 1998).
Похвала доставляет удовольствие. Но когда человека хвалят за его личные качества («Ты такой умный!), а не за то, что он сделал («Отличная работа!»), у него создается впечатление, что его способности неизменны. Сказать ученику, что он умный, – значит обречь его на проблемы в будущем. Когда в школе и в жизни ученики терпят неудачу в решении многих задач (что, повторю, вполне естественно), они оценивают себя, решая, умны они или нет. Вместо того чтобы хвалить учеников за умственные способности или другое личное качество, лучше сказать так: «Замечательно, что ты этому научился» или «Ты действительно хорошо все продумал».
В американской системе образования распространено представление, что способности некоторых учеников не позволят им изучать математику определенного уровня сложности. Не так давно я столкнулась с шокирующим фактом: несколько учителей математики в старших классах написали в школьный совет письмо, где утверждали, что некоторые ученики не способны сдать тест по алгебре второго уровня; в частности, что нуждаются в упрощении программы некоторые малообеспеченные ученики из числа нацменьшинств. Письмо было опубликовано в местных газетах, а законодательное собрание штата использовало его в качестве примера, подтверждающего необходимость создания чартерных школ[7] (Noguchi, 2012). Письмо вызвало всеобщий шок, но, к сожалению, мнение о том, что некоторые ученики не способны освоить высшую математику, свойственно многим. Такой ограниченный и расистский подход может принимать разные формы и порой применяется с искренней заботой об учениках. Ведь многие считают, что дети готовы к изучению определенных математических тем только на определенной стадии своего развития. Но на самом деле готовность учеников зависит от накопленных ими практических знаний, а если они не готовы к изучению тех или иных тем, то могут подготовиться, получив необходимый опыт и поддержку и развив мышление роста. Не существует предопределенных темпов изучения математики, поэтому нельзя утверждать, что она недоступна тем, кто не достиг какого-то уровня возрастной или эмоциональной зрелости. Могут быть не готовы разве что те, кто пока не освоил необходимые базовые понятия. Остальное сформируется в процессе обучения.
Для многих из нас понимание важности математического мышления и формирование концепции и стратегий изменения мышления учеников подразумевает более тщательный подход к собственному обучению и отношениям с математикой. Многие учителя начальной школы, с которыми я работала (некоторые из них слушали мой онлайн-курс), рассказывали, что идеи о мозге, потенциале и мышлении роста, с которыми я их познакомила, полностью изменили их жизнь. Под влиянием этих идей у них сформировалось мышление роста в отношении математики, они начали заниматься ею с уверенностью и энтузиазмом и прививать такое отношение своим ученикам. Это особенно важно для учителей начальной школы, поскольку на определенном этапе многим из них говорили, что они не способны освоить математику или что эта дисциплина «не для них». Многие преподаватели математики сами боятся этой дисциплины. Результаты исследований, о которых я им рассказала, помогли им избавиться от страха и встать на другой путь. В ходе важного исследования Сайен Бейлок и ее коллеги пришли к выводу о наличии зависимости между уровнем негативных эмоций, которые учителя начальной школы испытывают по отношению к математике, и уровнем успеваемости девочек из их класса, но не мальчиков (Beilock, Gunderson, Ramirez, & Levine, 2009). Вероятно, это гендерное различие объясняется тем, что девочки отождествляют себя с учительницами, особенно в начальной школе. Они быстро подхватывают негативные сигналы в отношении математики, которые учителя зачастую подают из добрых побуждений, например: «Я знаю, что это очень трудно, но давай попробуем» или «Я никогда не любила математику». Кроме того, это исследование подчеркивает связь между сигналами, которые подают учителя, и успеваемостью их учеников.
Каков бы ни был уровень вашего мышления и знаний в этой области, я надеюсь, что представленные в этой книге данные и идеи помогут вам и вашим ученикам воспринимать математику (на любом уровне) как предмет, доступный для понимания и приносящий истинное удовольствие. В главе 2, главе 3, главе 4, главе 5, главе 6, главе 7 и главе 8 приведено много стратегий формирования мышления роста на занятиях математикой в школе и дома, которые я собрала за долгие годы исследований и практической работы в школах. Они помогут вам дать ученикам такой опыт изучения математики, который позволит им развить сильное математическое мышление.
Глава 2. Сила ошибок и трудностей
Я начала проводить семинары о преподавании математики с ориентацией на мышление роста вместе со студентами магистратуры из Стэнфорда (Сарой Селлинг, Кэти Сан и Холли Поуп), после того как директора калифорнийских школ рассказали мне о том, что их учителя прочли книги Кэрол Дуэк и полностью поддерживают изложенные там идеи, но не знают, что все это значит для преподавания математики. Первый семинар состоялся в кампусе Стэнфордского университета, в светлом и просторном центре Ли Ка-Шинга. Одна из самых ярких фраз Кэрол Дуэк поразила учителей: «Каждый раз, когда ученик делает ошибку в математической задаче, у него появляется новый синапс». Все мысленно ахнули. Ведь речь шла о силе и ценности ошибок – хотя большинство учеников считают, что ошибки означают отсутствие у них математических способностей или, того хуже, отсутствие интеллекта. Многие учителя годами говорили ученикам, как полезны ошибки: они свидетельствуют о том, что мы учимся. Но новые данные о мозге и ошибках указывают на нечто гораздо более важное.
Психолог Джейсон Мозер со своей группой изучил нейронные процессы в мозге человека в момент совершения ошибки (Moser et al., 2011). Они обнаружили нечто удивительное. Мозг может отреагировать на ошибку двумя способами. Ответная реакция первого типа под названием «вызванный ошибкой негативный импульс» (error-related negativity, ERN) – повышенная электрическая активность при конфликте между правильным ответом и неверным. И такая активность возникает независимо от того, знает ли человек об ошибке. Ответная реакция второго типа под названием «вызванный ошибкой позитивный импульс» (positivity error, Pe) – сигнал, отражающий осознанное внимание к ошибкам. Такая реакция имеет место, когда человек знает, что совершил ошибку, и уделяет ей осознанное внимание.
Когда я сказала учителям, что ошибки активируют мозг и стимулируют его рост, они отреагировали так: «Конечно, только при условии, что ученики исправляют ошибку, а потом продолжают решать задачу». Но на самом деле это не так. Результаты исследований свидетельствуют о том, что мозг активизируется независимо от того, знаем ли мы об ошибке. Когда учителя спрашивают меня, как это возможно, я говорю, что пока лучшее объяснение таково: мозг активизируется и растет, когда мы делаем ошибки, ведь в это время он напряженно работает.
В ходе исследования Мозер с коллегами проанализировали мышление людей и сопоставили разные его типы с реакцией ERN и Pe при ошибочных ответах на поставленные вопросы. Ученые сделали два важных вывода. Во-первых, электрическая активность мозга учеников в случае реакций ERN и Pe была выше, когда они совершали ошибки, чем когда давали правильные ответы. Во-вторых, в случае ошибок активность мозга участников с мышлением роста оказалась выше активности мозга участников с фиксированным мышлением.
Очень важно то, что наш мозг реагирует на ошибки повышенной активностью. Подробнее об этом чуть позже.
Исследование также показало, что люди с мышлением роста лучше осведомлены об ошибках, чем люди с фиксированным мышлением, поэтому чаще исправляют свои промахи. Это согласуется с результатами других исследований (Mangels, Butterfield, Lamb, Good, & Dweck, 2006), продемонстрировавших, что у учеников с мышлением роста проявляются усиленная реакция мозга и внимание к ошибкам. Все ученики реагировали на ошибки возбуждением синапсов, но у людей с мышлением роста мозг чаще начинал активную работу, показывая осведомленность об ошибке.
Результаты неврологических исследований головного мозга и ошибок крайне важны для нас, учителей математики и родителей. Они свидетельствуют, что ошибки полезны. Когда мы их совершаем (даже если сами того не осознаем), наш мозг активизируется и растет; вдобавок мы учимся. Это важно, поскольку дети и взрослые во всем мире часто испытывают крайне негативные эмоции, когда ошибаются в решении математических задач: ведь они воспитывались в культуре достижений (см. Boaler, 2014b), где ошибки не ценят или того хуже – за них наказывают. Увы, многие задания для работы в классе составлены так, чтобы ученики смогли без проблем выполнить их правильно. Но на самом деле необходимо, чтобы ученики совершали ошибки. Чуть ниже представлены математические задачи, которые увлекают учеников и способствуют росту их мозга, и сигналы, которые должны подавать при этом учителя и родители.
В странах с самым высоким уровнем знаний по математике (например, в Китае) подход к ошибкам совсем иной. Недавно я наблюдала за уроком математики в Шанхае – китайском городе, где ученики демонстрируют самые высокие результаты в стране и в мире. Учитель давал ученикам серьезные концептуальные задачи, а затем устраивал опрос. Пока ученики с удовольствием рассказывали о проделанной работе, переводчик шепнул мне, что учитель выбирает детей, которые сделали ошибки. Те с гордостью рассказывали об ошибках, поскольку учитель придает им большое значение. В главе 9 дано описание короткого и очень интересного эпизода одного из уроков в Китае.