Что запрещено – так это идея, что можно пройти весь путь до актуальной бесконечности и получить бесконечное число частей нулевой длины. Аристотель считал, что это ведет к бессмыслице – как в нашем случае, когда произведение бесконечности и 0 может дать любое число. Поэтому он запретил пользоваться актуальной бесконечностью в математике и философии. Математики поддерживали его мнение в течение следующих двадцати двух столетий.
Когда-то в далекие доисторические времена кто-то понял, что числа никогда не заканчиваются. Вместе с этой мыслью родилась бесконечность. Это числовой аналог глубин, скрытых в нашей психике, в наших ночных кошмарах о бездонных ямах и в наших надеждах на вечную жизнь. Именно бесконечность лежит в основе множества наших мечтаний, страхов и безответных вопросов. Насколько велика Вселенная? Сколько длится вечность? Насколько могуществен Бог? Тысячи лет бесконечность сбивает с толку лучшие умы человечества во всех областях мысли – от религии и философии до науки и математики. Ее запрещали, объявляли вне закона и отвергали. Во времена инквизиции монах Джордано Бруно[32] был сожжен заживо на костре за предположение, что Бог в своей бесконечной силе создал бесчисленные миры.
Парадоксы Зенона
Примерно за два тысячелетия до казни Джордано Бруно бесконечность осмелился созерцать другой отважный философ. Зенон Элейский (около 490–430 до нашей эры) изложил ряд апорий (парадоксов), связанных с пространством, временем и движением, и бесконечность играла в них главную роль. Эти апории предвосхитили идеи, положенные в основу анализа, и обсуждаются до сих пор. Бертран Рассел называл их неизмеримо тонкими и глубокими[33].
Мы не знаем, что именно пытался показать своими рассуждениями Зенон, поскольку ни одно из его сочинений не сохранилось, если они вообще существовали. Его рассуждения дошли до нас в передаче Платона и Аристотеля, которые в основном пытались их опровергнуть. В их пересказе Зенон пытался доказать, что изменения невозможны. Наши чувства говорят нам иное, но они нас обманывают. Изменение, согласно Зенону, – это иллюзия.
Особенно известны три парадокса Зенона[34],[35]. Первый, «Дихотомия», аналогичен загадке стены, но гораздо печальнее. Он гласит, что вам не удастся даже сдвинуться с места, поскольку для того, чтобы сделать первый шаг, нужно сделать полшага, а перед этим – четверть шага и так далее. Так что вы не только не сможете добраться до стены, но даже не сможете начать движение.
Это блестящий парадокс. Кто бы мог подумать, что для шага требуется выполнить бесконечно много подзадач? Хуже того, нет самой первой задачи, которую надо выполнить. Она не может состоять в том, что нужно сделать полшага, потому что до этого пришлось бы сделать четверть шага, а до того – восьмую часть шага и так далее. Если вы думаете, что у вас много дел перед завтраком, представьте, что вам нужно закончить бесконечное количество дел, прежде чем добраться до кухни.
Другой парадокс, названный «Ахиллес и черепаха», утверждает, что быстрый бегун (Ахиллес) никогда не догонит медленного бегуна (черепаху), если у того будет фора.
К тому времени, когда Ахиллес достигнет места, откуда отправилась в путь черепаха, она успеет немного продвинуться вперед. К тому моменту, когда Ахиллес достигнет этого нового места, черепаха снова продвинется, и так далее. Поскольку все мы считаем, что быстрый бегун может обогнать медленного, то либо наши чувства нас обманывают, либо что-то не так с нашими рассуждениями о движении, пространстве и времени.
В этих первых двух парадоксах Зенон, похоже, возражал против принципиальной непрерывности пространства и времени, то есть против того, что их можно делить до бесконечности. Его умной стратегией было применение доказательства от противного (некоторые утверждают, что он его и изобрел), известное среди юристов и логиков как reductio ad absurdum (доведение до абсурда). В обоих парадоксах Зенон предположил непрерывность пространства и времени, а затем вывел из этого допущения противоречие, поэтому предположение о непрерывности должно быть ложным. Анализ основан именно на этом предположении, а потому ставки тут весьма высоки. Он опровергает Зенона, демонстрируя ошибки в его рассуждениях.
Например, вот как анализ справляется с Ахиллесом и черепахой. Допустим, что черепаха стартует в 10 метрах перед Ахиллесом, а Ахиллес бежит вдесятеро быстрее своей соперницы – скажем, 10 метров в секунду против 1 метра в секунду. Таким образом, за 1 секунду Ахиллес отыгрывает 10-метровую фору черепахи. За это время черепаха продвинется на 1 метр. Чтобы покрыть это расстояние, Ахиллесу понадобится еще 0,1 секунды. За это время черепаха преодолеет еще 0,1 метра. Продолжая рассуждать в том же духе, мы видим, что последовательные отрезки времени, которые нужны Ахиллесу, чтобы покрыть разделяющее расстояние, складываются в бесконечный ряд:
1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … = 1,111… секунд.
Если записать это число в виде обыкновенной дроби, получим 10/9 секунды. Именно столько времени понадобится быстроногому герою мифа, чтобы догнать черепаху. И хотя Зенон был прав в том, что Ахиллесу требуется выполнить бесконечное количество задач, в этом нет ничего парадоксального. Как показывает математика, он может справиться с ними за конечный промежуток времени.
Такое рассуждение использует анализ. Мы просто суммируем бесконечный ряд и вычисляем предельное значение, как делали при обсуждении, почему 0,333… = 1/3. Всякий раз, когда мы работаем с бесконечной записью десятичных чисел, мы применяем анализ (хотя большинство людей отнеслись бы к этому как к школьной арифметике).
Кстати, анализ – не единственный способ справиться с такой задачей. Мы могли бы использовать алгебру. Для этого нам нужно выяснить, где в произвольный момент времени t находится на трассе каждый из соперников. Пусть Ахиллес начинает в нулевой точке. Поскольку он бежит со скоростью 10 метров в секунду, а расстояние равно произведению скорости на время, то в момент t он пробежит 10 × t. Что касается черепахи, то она начинает двигаться в точке 10 и перемещается со скоростью 1 метр в секунду, поэтому в момент t она находится в точке 10 + 1 × t. Чтобы определить время, когда герой настигнет соперницу, нужно приравнять эти два выражения, поскольку с алгебраической точки зрения это означает, что Ахиллес и черепаха находятся в одной точке в один момент времени. Получаем уравнение
10t = 10 + t.
Чтобы решить его, вычитаем t из обеих частей и получаем 9t = 10. Делим обе части на 9 и получаем t = 10 / 9 секунды, то есть ровно тот же ответ, что нам дал анализ. Таким образом, с точки зрения анализа в ситуации с Ахиллесом и черепахой нет никакого парадокса. Если пространство и время непрерывны, все прекрасно работает.
Зенон в цифровом мире
В третьей апории под названием «Стрела» Зенон выступает против альтернативной идеи, что пространство и время дискретны[36]
Примечания
1
В оригинале используется слово calculus, у которого в русском языке нет однозначного соответствия. В английском языке это слово применяется как для математического анализа или для анализа бесконечно малых в целом, так и для наименования различных областей высшей математики, для которых мы используем слова «анализ» (например, vector calculus – векторный анализ) или «исчисление» (например, differential calculus – дифференциальное исчисление). В данной книге под термином «анализ» будет подразумеваться анализ бесконечно малых, который объединяет интегральное и дифференциальное исчисление. Прим. пер.
2
Калтех – Калифорнийский технологический институт. Частный университет в Калифорнии, один из лучших в США. Прим. пер.
3
Wouk, The Language God Talks, 5.
4
Альтернативное мнение можно найти в книгах: Barrow and Tipler, Anthropic Cosmological Principle; Rees, Just Six Numbers; Davies, The Goldilocks Enigma; Livio, Is God a Mathematician?; Tegmark, Our Mathematical Universe; и Carroll, The Big Picture. С философскими аспектами анализа можно познакомиться в Simon Friederich, Fine-Tuning, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/fine-tuning/.
5
Adams, Hitchhiker’s Guide, и Gill, Douglas Adams’ Amazingly Accurate Answer.
6
В юмористическом фантастическом романе Адамса «Автостопом по галактике» (издана на русском языке: Адамс Д. Автостопом по галактике. М.: АСТ, 2002) специальный суперкомпьютер «Думатель» находит «ответ на главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого», и это оказывается 42. Прим. пер.
7
Wouk, The Language God Talks, 6.
8
Герман Воук скончался в мае 2019 года в возрасте 103 лет. Прим. пер.
9
Исторические аспекты проблемы представлены в книгах: Boyer, The History of the Calculus, и Grattan-Guinness, From the Calculus. Dunham, The Calculus Gallery; Edwards, The Historical Development; и Simmons, Calculus Gems, которые рассказывают историю анализа на примере некоторых наиболее красивых задач и их решений.
10
Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al., The Princeton Companion; и Goriely, Applied Mathematics, передают дух, широту и практичность прикладной математики.
11
Kline, Mathematics in Western Culture, и Newman, The World of Mathematics, соединяют математику с более широкой культурой. Я провел много времени в старших классах, читая эти два шедевра.
12
О математике и физике смотрите Maxwell, On Physical Lines of Force, и Purcell, Electricity and Magnetism. О понятиях и истории смотрите Kline, Mathematics in Western Culture, 304–21; Schaffer, The Laird of Physics; и Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 11. Биографию Максвелла и Фарадея смотрите в книге: Forbes and Mahon, Faraday, Maxwell.
13
Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 8.
14
В оригинале Truth in, truth out – каламбурная отсылка к фразе Wine in, truth out, что примерно соответствует нашей пословице «что у трезвого на уме, то у пьяного на языке». Прим. пер.
15
Einstein, Physics and Reality, 51. Этот афоризм часто передают так: «Самая непостижимая вещь во Вселенной – то, что она постижима». Другие примеры цитат Эйнштейна, подлинных или приписываемых ему, смотрите в книгах: Calaprice, The Ultimate Quotable Einstein, и Robinson, Einstein Said That.
16
Wigner, The Unreasonable Effectiveness; Hamming, The Unreasonable Effectiveness; и Livio, Is God a Mathematician? См. https://coollib.net/b/322251/
17
Перевод Ю. А. Данилова. Прим. пер.
18
Asimov, Asimov’s Biographical Encyclopedia, 4–5; Burkert, Lore and Science; Guthrie, Pythagorean Sourcebook; и C. Huffman, Pythagoras, https://plato.stanford.edu/archives/sum2014/entries/pythagoras/. Martínez в книгах Cult of Pythagoras и Science Secrets развенчивает многие мифы о пифагорейцах с осторожностью и уничижительным юмором.
19
Here Comes the Bride – популярный на Западе свадебный марш, звучащий во время выхода невесты. Тема взята из оперы «Лоэнгрин» Рихарда Вагнера. Прим. пер.
20
Katz, History of Mathematics, 48–51, и Burton, History of Mathematics, раздел 3.2, обсуждают пифагорейскую математику и философию.
21
И английское слово difference («разница, различие»), и термин «дифференциальный» восходят к латинскому слову differentia («разность, различие»). Прим. пер.
22
И английское слово integrate («объединять»), и термин «интегральный» восходят к латинскому слову integеr («целое»). Прим. пер.
23
Когда альпинисту Джорджу Мэллори задали вопрос, зачем он хочет подняться на Эверест, он ответил: «Потому что он существует». Прим. пер.
24
Исаак Ньютон родился 25 декабря 1642 года по юлианскому календарю (4 января 1643 года – по григорианскому). Прим. пер.
25
Ball, A Century Ago Einstein Sparked, и Pais, Subtle Is the Lord. Оригинальная статья: Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung.
26
Усиление света посредством вынужденного излучения. Прим. пер.
27
Burton, History of Mathematics, и Katz, History of Mathematics, дают полномасштабное (хотя и без подробностей) введение в историю математики от античных времен до XX столетия. На более серьезном математическом уровне тема представлена в Stillwell, Mathematics and Its History. В качестве масштабного гуманистического подхода подойдет книга Kline, Mathematics in Western Culture.
28
Смотрите раздел 4.5 в книге Burton, History of Mathematics; главы 2 и 3 в книге: Katz, History of Mathematics; главу 4 в книге Stillwell, Mathematics and Its History.
29
Katz, History of Mathematics, раздел 1.5, представляет различные подходы к измерению площади круга, сделанные в различных мировых культурах. Первое доказательство было представлено Архимедом; смотрите Dunham, Journey Through Genius, глава 4, и Heath, The Works of Archimedes, 91–93.
30
Henry Mendell, Aristotle and Mathematics, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/aristotle-mathematics/.
31
Katz, History of Mathematics, 56, и Stillwell, Mathematics and Its History, 54, обсуждают аристотелевскую разницу между актуальной бесконечностью и потенциальной бесконечностью.
32
Опираясь на новые свидетельства, Martínez, Burned Alive, утверждает, что Бруно был сожжен за свою космологию, а не за теологию. Смотрите также A. A. Martínez, Was Giordano Bruno Burned at the Stake for Believing in Exoplanets? Scientific American (2018), https://blogs.scientificamerican.com/observations/was-giordano-bruno-burned-at-the-stake-for-believing-in-exoplanets/. Также смотрите D. Knox, Giordano Bruno, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/bruno/.
33
Эссе Рассела о Зеноне и бесконечности Mathematics and the Metaphysicians, воспроизведено в книге Newman, The World of Mathematics, vol. 3, 1576–90.
34
Всего в античных трудах упоминается 40 апорий Зенона, но до наших дней дошло 9. Прим. пер.
35
Mazur, Zeno’s Paradox. Смотрите также Burton, History of Mathematics, 101–2; Katz, History of Mathematics, раздел 2.3.3; Stillwell, Mathematics and Its History, 54; John Palmer, Zeno of Elea, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/zeno-elea/; и Nick Huggett, Zeno’s Paradoxes, Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/.
36
От лат. discretus «отделенный, раздельный». Прим. пер.