В XX веке появились новые направления в науке, требующие своих специфических математических теорий, такие, как информатика, программирование, вычислительные методы с применением ЭВМ. От физики поступил заказ на развитие и обоснование суперструнных теорий, где пришлось отказаться от основного понятия классической физики и математики понятия математической точки. Можно сказать, что на рубеже XXI века математика, уже вместе с физикой, переживает очередной острейший кризис, совпадающий с кризисом мировоззрения и самого человечества.
Первичной основой современной математики служит теория множеств. Понятие множества, строго говоря, не определяется. Приближенно множеством можно считать любое собрание объектов, мыслимое как единое целое.
Категории это совокупность однотипных математических объектов и морфизмов между этими объектами. Теория категорий играет в математике роль параллельную и дополнительную к роли теории множеств.
Топология раздел математики, имеющий своим предназначением выяснение и исследование идеи непрерывности. В настоящее время понятие непрерывного отображения предполагает только, что точки и множества рассматриваемой фигуры могут находиться в некотором интуитивно ясном отношении близости, отличном от отношения принадлежности. Такие фигуры называются топологическими пространствами.
Алгебраические системы это множество с определенными на нем операциями и отношениями. Алгебраическая система называется алгеброй (общей, универсальной, абстрактной), если множество отношений пусто, и моделью, если пусто множество операций.
Математическая логика раздел математики посвященный изучению доказательств оснований математики. На основе математической логики были построены различные системы аксиоматической теории множеств. Наиболее известная из них система Цермело-Френкеля. Прикладное значение математической логики конструкция ЭВМ.
Наиболее часто мы сталкиваемся с понятиями операции, отношения и отображения.
Понятие операции интуитивно ясно на примере хорошо известных операций сложения и умножения. Это бинарные операции. Примером унарной операции является отрицание.
Отношения устанавливают связь между множествами.
Отображения это закон, по которому каждому элементу некоторого заданного множества сопоставляется однозначно определенный элемент другого заданного множества. Фундаментальными понятиями математики являются также понятия ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
Ассоциативность это сочетательный закон для операции.
Коммутативность это переместительный закон для операции.
Дистрибутивность это распределительный закон для двух операций.
Навести порядок в этом необозримом море различных алгебр помогает свойство гомоморфизма, которым обладают алгебры одного и того же типа. Гомоморфизм это одно из наиболее важных понятий в математике. Изоморфизмом называется взаимно-однозначный гомоморфизм.
К сожалению, огромное количество новых правил в современной математике отпугивает от нее множество людей, формируя общую неприязнь к математике, что в гуманитарной сфере даже возводится в ранг достоинства. Это происходит видимо потому, что человек изначально воспринимает только ту информацию, которая доступна его пониманию. Именно особое понимание природы на уровне интуиции определяет принадлежность человека к физике, хотя опыт показывает, что зачастую с трудом достигнутое понимание рано или поздно оказывается ложным. В математике ситуация несколько другая, здесь все основные понятия это правила Игры, к которым надо привыкнуть, а не понять. Более того, математики считают, что все введенные ими понятия реальны.
В итоге, мы решили «не пугать» читателей сложными формулами и постараться обойтись без них.
2.2. Фрактальная геометрия
В отличие от физики, в математике революции проходят спокойно и даже незаметно. Появление комплексных чисел большинством математиков XVIII века было воспринято, как естественный процесс расширения множества вещественных чисел (ассоциируемое с линией без ширины), до двумерного множества в плоскости комплексных чисел. То же самое можно сказать и о революционных изменениях в базовых понятиях математики второй половины XIX века.
Все началось с открытия К. Вейерштрассом непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции [17]. В сущности, эта функция уже была прообразом фрактала, но никто еще об этом не догадывался. Математическая мысль пошла в сторону введения новых понятий дробной размерности и, соответственно, дробной производной [18]. «Фрактальная» функция Вейерштрасса, из-за ее «изрезанности» («шероховатости»), воспринималась как линия с шириной.
В начале ХХ века Жюлиа и Фату открыли нелинейное итерационное отображение с комплексными аргументами: zn+1 Zn2 + c.
1
Данная книга является третьим изданием предыдущих наших книг под названием «Начала биокосмологии» (1-ое издание [2], 2-ое издание) [3]), поэтому многие вопросы, затронутые здесь, в том числе и вопрос о терминологии, более подробно обсуждается в [2,3].