Наиболее часто цитируемым фондовым индексом является индекс ДоуДжонса (Dow Jones Industrial Average, DJIA). Хотя этот индекс базируется на показателях лишь 30 акций и использует менее совершенную процедуру усреднения (индекс определяется путём вычисления средней цены акций 30 компаний), он обеспечивает, по крайней мере, беспристрастную оценку ситуации на рынке.
В России используются индексы фондовых бирж РТС (Российская торговая система) и МосБиржи (Московской биржи). В базу расчёта индекса РТС включены 50 наиболее ликвидных акций российских эмитентов. Цены акций, включённых в индекс РТС, рассчитываются в долларах. Индекс МосБиржи имеет единую с индексом РТС базу расчёта, но определяется в рублях.
Для расчёта фондовых индексов разработаны свои методики, которые определяют набор акций и их доли в индексах. Со временем состав и пропорции ценных бумаг в индексе меняются, и для того, чтобы эти изменения не отразились на текущем значении индекса, в формулы расчёта индексов введены поправочные коэффициенты.
Специфические особенности приёмов построения, расчёта и оценки показателей качества фондовых индексов детально рассмотрены, например, в [8, 9].
2.2. Фондовый индекс капитализационного взвешивания цен активов
Фондовые индексы определяются с использованием четырёх расчётных методов:
капитализационного взвешивания цен активов;
взвешивания цен активов;
равного взвешивания цен активов;
взвешивания средней геометрической величины цен активов.
Из всех фондовых индексов наибольшее распространение получили индексы, рассчитываемые на основе метода капитализационного взвешивания цен активов. В данном методе используется принцип пропорциональности рыночной капитализации актива, то есть акция тем больше значит, чем больше её доля в общей капитализации всех акций, включённых в базу расчёта фондового индекса [8]. Рыночная капитализация акций фондового индекса в ый торговый день рассчитывается по формуле
где и текущий курс акции и количество акций го эмитента в ый торговый день соответственно; количество эмитентов, ценные бумаги которых включены в базу расчёта.
В данном соотношении произведение характеризует капитализацию акции го эмитента в ый торговый день. При расчёте капитализации акции обычно учитываются только те акции, которые свободно обращаются на фондовом рынке (free float). В целях уменьшения чрезмерного влияния акций отдельных эмитентов на значение индекса используются весовые коэффициенты, уменьшающие удельный вес акции в индексе до требуемого значения. Например, в индексе РТС доля акции одного эмитента не должна превышать 15%, а суммарная доля акций любых пяти эмитентов 55%.
Для расчёта фондовых индексов капитализационного взвешивания используется формула [8]
где и текущий и базовый уровни фондового индекса в ый и базовый торговые дни соответственно (в относительных единицах или пунктах); корректирующий коэффициент, учитывающий изменение базы расчёта индекса в ый торговый день; рыночная капитализация акций фондового индекса в базовый торговый день.
Наличие в формуле (2.1) корректирующего коэффициента позволяет избежать скачкообразного (резкого) изменения значения индекса, вызванного изменением базы расчёта фондового индекса или другими причинами [8].
Формула (2.1) лежит в основе расчёта большинства мировых фондовых индексов (S&P 500, Wilshire 5000, NASDAG Composite, NYSE Composite, РТС, МосБиржи и др.). Детальные методики расчёта каждого индекса имеют свои особенности и доступны для всех участников фондовых бирж (см., например, Методику расчёта Индексов Московской Биржи).
Базовый уровень фондового индекса для простоты принимается равным 10; 100; 1000 пунктов. Например, для фондового индекса РТС базовым торговым днём является 1 сентября 1995 г., а его базовый уровень составляет пунктов. Исторические данные по уровню фондового индекса публикуются в виде выборки , где размер выборки.
Фондовые индексы, построенные на основе капитализационного взвешивания, не чувствительны к дроблению и консолидации акций, так как рыночная капитализация при этом не меняется. Однако эти индексы чувствительны к дополнительным эмиссиям акций или выкупам акций на баланс эмитента [8].
2.3. Индексный (фондовый) портфель активов
Индексный (фондовый) портфель портфель финансовых активов, структура которого идентична структуре конкретного фондового индекса [1]. То есть по набору ценных бумаг и их стоимостным долям индексный портфель и фондовый индекс идентичны. Очевидно, что индексный портфель и фондовый индекс обладают одинаковыми показателями, отражающими изменение цен одинакового набора ценных бумаг.
Привлекательность индексного инвестирования обусловлена тем, что в долгосрочной перспективе стоимость всех индексов растёт, следовательно, практически гарантируется и рост стоимости индексного портфеля. По этой причине индексные портфели предлагаются многими взаимными фондами в качестве надёжного инвестиционного продукта [1].
Однако активы, входящие в индексные портфели, приобретаются различными инвесторами и в разное время. Как следствие, цена покупки активов одного и того же вида неодинакова. Поэтому идентичные по структуре индексные портфели, как правило, имеют неодинаковые математические ожидания и средние квадратические отклонения доходности.
Способ управления индексным портфелем считается пассивным [1], для которого характерно:
приобретение активов, как правило, на длительный срок;
относительно редкая корректировка структуры портфеля в соответствии с изменениями фондового индекса;
сравнительно низкие транзакционные затраты.
Альтернативой пассивному управлению является активное управление портфелем активов, которое заключается в приложении систематических усилий инвестора для получения результатов, превышающих некоторые показатели индексного портфеля. Активное управление включает процессы поиска неверно оцененных ценных бумаг, их покупку или продажу. Для активного инвестора такие действия открывают потенциальную возможность получить лучшие результаты инвестирования по сравнению с пассивным инвестором. Однако активное управление связано с дополнительными рисками и повышенными транзакционными затратами.
2.4. Фондовый индекс как эталон капитальной доходности
В портфельной теории фондовые индексы используются в качестве эталонов капитальной доходности. В литературе по финансовым инвестициям, (например, в [1, 5]) различают текущую и годовую капитальную доходности актива, портфеля активов и фондового индекса, однако однозначное определение данных понятий отсутствует. Кроме того, корректность способов расчёта определения этих доходностей не очевидна.
Текущая капитальная доходность фондового индекса (актива и портфеля активов). Согласно соотношению (1.1) оценка капитальной доходности основана на сравнении курсов актива на моменты времени его покупки и продажи. При этом как само собой разумеющееся предполагается, что покупается и продается один и тот же актив. В портфельной теории при оценке текущей капитальной доходности фондового индекса, актива и портфеля активов данное условие также не оговаривается, но и не соблюдается.
Показатели, характеризующие уровень фондового индекса, цену актива или стоимость портфеля активов, представим выборкой вида , где размер выборки.
Для расчёта текущей капитальной доходности фондового индекса (актива и портфеля активов) в ый торговый день, применяется формула, которая формально подобна формуле (1.1) [1, 5]
где и текущий и предыдущий уровень фондового индекса (цена актива или стоимость портфеля активов) соответственно.
Величина по отношению к является текущей, а к величине предыдущей, поэтому
То есть каждый член выборки значений по умолчанию приравнивается к цене покупки и цене продажи совокупности активов фондового индекса (отдельного актива и портфеля активов). С точки зрения формальной логики подразумевается осуществление инвесторами непрерывной последовательности операций купли/продажи некоторой совокупности активов по ценам, соответствующим . При этом совокупность покупаемых и продаваемых активов должна оставаться одинаковой.
Другими словами инвесторы покупают/продают совокупность активов по цене, соответствующей , и затем покупают/продают эту же совокупность активов по цене, соответствующей . Затем эта же совокупность активов покупается/продаётся по цене, соответствующей уровню и т.д. Таким образом, текущая цена совокупности активов по отношению к является ценой продажи, а по отношению к ценой покупки этой же совокупности активов.
В действительности последовательность подобных операций является невозможной. Для каждого торгового дня совокупности активов, которые покупаются/продаются на фондовом рынке, не могут быть одинаковыми по естественным причинам. Текущая совокупность покупаемых/продаваемых активов в ый торговый день по сравнению с предыдущим ым и последующим ым торговым днём отличается:
совокупностью инвесторов;
по объёму продаж;
долями активов различных эмитентов в объёме продаж;
структурой активов одного и того же эмитента в объёме продаж.
Рассмотрим процесс расчёта текущей капитальной доходности акции на простейшем примере. Предположим в предшествующий торговый день один инвестор приобрёл совокупность акций одного из эмитентов по курсу , а в текущий торговый день другой инвестор приобрёл другую совокупность акций того же эмитента по курсу . Используя формулу (2.2) и данные о курсах актива и , расчёт величины не представляет особых затруднений.
Однако, вопервых, текущие капитальные доходности совокупностей акций и принципиально не могут быть определены до момента их продажи. Вовторых, совокупность акций отличается от совокупности акций (в том числе и их владельцами), а разность не является доходом ни одного из инвесторов. Втретьих, в действительности разность характеризует изменение цены акции в ый торговый день по отношению к му торговому дню.
Обобщая результаты анализа рассмотренного примера, приходим к выводу, что совокупность значений уровня фондового индекса (курса активов или стоимости портфеля активов) обезличены и не позволяет определить уровни благосостояния инвесторов в начале и конце периода владения активами.
Следовательно, величину некорректно принимать в качестве текущей капитальной доходности фондового индекса (актива или портфеля активов). В [8, с. 52] отношение (2.2) определяется как «относительное изменение», «темп прироста» или «относительный прирост» уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов), но не связывается с понятием капитальная доходность.
Годовая капитальная доходность фондового индекса (актива и портфеля активов). В [1, с. 879880] применительно к портфелю активов отмечается: «Часто эффективность управления портфелем оценивается на некотором временном интервале, обычно не менее четырёх лет, причём доходности измеряются для нескольких периодов (месяцев или кварталов) внутри интервала. Данные измерения обеспечивают достаточно адекватный размер выборки для проведения статистических оценок (например, если размер выборки для проведения измеряется каждый квартал в течение четырёх лет, то имеем 16 наблюдений). На практике, если рассматриваемый интервал равняется четырём годам, то предпочитают использовать месячные наблюдения».
Как следует из приведенной цитаты, временной интервал, продолжительность промежутков времени внутри интервала и конкретные моменты времени оценки ряда значений инвестор выбирает произвольно на интуитивной основе. Поэтому результаты расчётов изменения уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов), т.е. совокупность значений , у различных инвесторов, как правило, не могут быть одинаковыми.
Далее в [1, с. 882] для оценки годовой капитальной доходности актива, портфеля активов и фондового индекса, предлагается использовать одну из двух формул:
или
здесь историческая выборка значений уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов) за один год.
Если инвестор располагает исторической выборкой значений уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов) за несколько лет, то подобным образом рассчитывают среднегодовую капитальную доходность [5].
Учитывая рассмотренную выше особенность соотношения (2.2), под годовой капитальной доходностью целесообразно подразумевать годовое относительное изменение уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов).
Анализ первой формулы позволяет рассчитывать годовое относительное изменение уровня фондового индекса (цены актива или стоимости портфеля активов) на основе двух крайних исторических значений и в выборке. При этом промежуточные значения не принимаются во внимание. Поскольку моменты времени оценки крайних исторических значений и являются случайными и правила их выбора не регламентированы, то величина , вычисленная по первой формуле, зависит исключительно от субъективных предпочтений аналитика. При таком способе вычисления значения полезность его использования в качестве показателя для сравнения активов и портфелей активов относительно фондового индекса представляется сомнительной.
Практика использования второй формулы, на основе которой рассчитывают производный показатель бетакоэффициент (см. п. 2.5), показала [5, с. 466]: «теория не даёт никаких рекомендаций относительно того, как выбрать период, данные за который будут использоваться для регрессионного анализа. Доходность акций компании, а также доходность рыночного портфеля (индекса) можно вычислять, используя ежедневные, еженедельные или ежемесячные данные за один год, пять, десять и пятьдесят лет, и получающиеся в результате этих измерений бетакоэффициенты окажутся различными