Всем известно, что рождение Пифагора предсказала пифия в Дельфах, сказав, что он принесет столько пользы людям, как никто иной. Именно поэтому его родители так и назвали ("предсказанный пифией").
Внешность Пифагора описывали так: красивый высокий мужчина в восточном тюрбане.
В детстве Пифагор жил на острове Самос, но в молодости начал много путешествовать и встречаться с мудрецами того времени. В юном возрасте поехал в Египет, перенимать тамошнюю премудрость. Греки вообще, как уже упоминалось, считали Египет колыбелью науки. Чтобы в Египте ему писцы рассказали секретную науку, самосский тиран Поликрат дал Пифагору личную рекомендацию к фараону Амасису. Из Египта Пифагор попал в плен к персам. Попав в плен, Пифагор так шикарно себя зарекомендовал, что ему разрешили изучать математику и астрономию у местных жрецов. В итоге за его великий и непревзойденный ум, персы его освободили из плена (по другой версии, знатный грек увидел его в плену и выкупил; по третьей версии, его вообще никто в плен не брал, а он там был просто в обычной тур.поездке).
Все путешествия Пифагора заняли лет 20. По возвращении на свой родной Самос он довольно быстро поссорился с вышеупомянутым тираном Поликратом, и был вынужден эмигрировать в другой греческий город Кротон (который находится на территории современной Италии, на берегу Ионического моря). В Кротоне Пифагор прожил 40 лет. И именно там основал свою Школу.
С Поликратом он поссорился по вполне понятной причине. Он начал активно заниматься политикой. И выступал он за аристократию, однако же не за аристократию крови, а за аристократию интеллектуальную. Он считал, что люди умные и образованные должны править остальными, должны быть высшей кастой. Конечно же, Поликрату, потомственному тирану, это не могло понравиться. Впрочем, именно за эту же его активную политическую позицию 40 лет спустя разгромили его Школу в Кротоне, откуда ему тоже срочно пришлось убегать.
Что Пифагору не нравилось в древней восточной математике? Во-первых, Не было доказательств. Формулы были, и почему-то они соответствовали практике. Но почему? Никого это не волновало. В некотором смысле, можно считать, что прикладная математика уже была, а чистой еще не было. Во-вторых, поэтому не было никакой мотивации изучать, а тем более "двигать" математику. В-третьих, не было никакой системы математического образования. Хочешь изучать математику иди в жрецы. Поэтому Пифагор решил основать свою Школу.
Итак, основывая свою Школу, Пифагор тем самым решает третью проблему проблему отсутствия математического образования. Хотя надо сказать, что на деле в школе изучалась далеко не одна только математика (а, например, еще и "основы праведной жизни"), но даже в математику включались такие 4 основные раздела: учение о фигурах и измерениях (геометрия), учение о числах (арифметика), теория музыки (гармония) и астрономия (астрология).
Рисунок 4.2: Федор Бронников. Гимн пифагорейцев восходящему солнцу
А зачем же изучать математику (т.е. какая же у нас мотивация)? Пифагор во многом, не просто учитель он пророк. Если Будда (живший, кстати, примерно в одно с ним время) считал, что человек входит в нирвану через внутренний покой и ничего неделание, то Пифагор призывал к чисто интеллектуальному деянию, сопряженному с интеллектуальным экстазом. А самый высший кайф думать не о мире реальном, а о мире идеальном. Думать о том, чего в мире нет, думать так, чтобы испытывать восторг от работы мысли. /*Всем же нам, математикам, известен восторг на грани с экстазом от решения трудной задачи, доказательства новой теоремы! Так вот, это и есть цель жизни, смысл жизни по Пифагору.*/ До Пифагора математика была прикладной наукой, ориентированной на решение жизненных задач. После стала наукой об идеальных сущностях, не существующих в реальности.
Конечно, именно Фалес изобрел первым идею, что все нуждается в доказательстве. Но именно Пифагор эту идею возвел в ранг религии и распространил ее среди своих последователей. Без Пифагора математика могла бы так и умереть в зародыше.
Смысл математики как раз в том, чтобы дать человеку (пусть и на время) свободу от реального мира, вывести его из бесконечной цепи смертей и рождений (как и все в те времена, Пифагор верил в переселение душ), сделать человека счастливым.
Рисунок 4.3: Питер Пауль Рубенс. Пифагор проповедует вегетарианство.
Таким образом, Пифагор в первую очередь не ученый, нет, он пророк. Цель его жизни не в том, чтобы познать математику. Цель его жизни в том, чтобы научить людей быть счастливыми (правда, посредством математики).
К сожалению, нам совсем ничего не известно о том, что доказал сам Пифагор. Самое известное математическое открытие, связанное с его именем, теорема Пифагора, скорее всего, была ему известна с доказательством только в случае равнобедренного треугольника. (Хотя формулировка точно была известна в общем). Сама теорема Пифагора была известна в Древнем Китае и Древней Индии намного раньше, чем жил Пифагор. Но от них Пифагор узнать эту теорему не мог (с ними научного общения в те времена не было ни в каком виде). С другой стороны, все ученики школы Пифагора считали своим долгом все свои математические результаты подписывать именем Пифагора, хотя они тоже к нему никакого отношения не имеют.
Однако, в пифагорейской школе действительно много математических открытий и математических знаний. Например, пифагорейцы умели считать сумму начала натурального ряда и сумму первых нечетных чисел . Знали формулы сокращенного умножения. Что характерно, все арифметические формулы они снабжали геометрическим доказательством.
Число, являющееся суммой всех своих делителей (кроме него самого, конечно), пифагорейцы называли совершенными. Например, 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. В «Началах» Евклида утверждается, что еще пифагорейцы доказали, что если 1+2+4++2n = p, где p простое число, то 2np совершенное число. (И только в 18 веке Эйлер доказал, что других совершенных чисел не бывает! То есть, пифагорейцы уже знали (описали) все совершенные числа).
Похоже, что именно в школе Пифагора совершили открытие иррациональных чисел (а именно, доказали, что число иррациональное).
Активно пифагорейцы изучали и музыку. Например, если уменьшить длину струны или флейты вдвое, то тон ее повысится на одну октаву. Если уменьшить в и в раза, то этому будут соответствовать интервалы квинта и кварта. Вообще, пифагорейцы полагали, что музыку можно просчитать. Что при таких-то параметрах будет звучать благозвучно, а при других нет.
Короче говоря, хотя совершенно неизвестно, что же сделал в математике Пифагор, главное он сделал математику мейнстримом, хайпом, даже религией. Благодаря Пифагору, все образованные греки мечтали заниматься математикой, а все состоятельные греки мечтали, чтобы хотя бы их дети познали эту прекрасную науку.
После разгрома Школы, Пифагор скрылся. Опять же, достоверно ничего не известно, некоторые утверждают, что он сгорел в пожаре вместе со школой. Другие что удалился на покой и счастливо прожил еще лет 10-15 в кругу семьи. Но пифагорейцы после разгрома точно расселились по всему греческому миру. И стали нести учение Пифагора и веру в математику повсюду.
Лекция 5.
Платон
Вообще говоря, Платон-то математиком не был. Любой экскурс в историю математики мог бы прекрасно обойтись без Платона. Почему же в этой книжке, такой короткой, без Платона-таки не обошлось?
Платон в философском плане последователь Пифагора с одной стороны. А с другой стороны, он идеи Пифагора во многом завершил, оформил, и именно четкий след Платона прослеживается позже в том, что говорили Декарт, Спиноза и многие другие философы; да и вообще во всей истории объективного идеализма Платон нехило так наследил, раскидав то тут, то там отсылки в математику.
/*Когда я училась в универе, наш препод философии рассказывал нам, что в зависимости от ответа на главный вопрос философии (что первично, материя или идея?) все мыслители всех времен всегда делились на две большие категории. Материалисты и идеалисты (а идеалисты в свою очередь на объективных и субъективных). Дальше он нам доказывал, и очень убедительно (с его точки зрения, разумеется, мы же математики, для нас слова "убедительно" и "философ" не могут стоять в одном утвердительном предложении), что материализм это правильно и нормально; а идеалисты, которые субъективные они просто сумасшедшие, а те, которые объективные религиозные фанатики (читай: тоже не очень-то здоровы психически), потому что объективный идеализм ни что иное как религия. Ну, так вот. Математика (с некоторой точки зрения) это типичный пример объективного идеализма. (И это очень хорошо показано в философии Платона). В математике идея всегда идет вперед ее материального воплощения. Поэтому с философской точки зрения иначе как религией математику назвать вообще никак нельзя.
Ну, а мы, математики, все сплошь как один получаемся религиозные фанатики. */
Рисунок 5.1: Платон. примерно 428 примерно 348 гг. до н.э.
Но основа моего рассказа не история математики, как таковая, а скорее попытка проследить, повлияла ли математика на общечеловеческую культуру и историю. И с точки зрения того, как же математика повлияла на общечеловеческую (хотя бы общеевропейскую) культуру в целом, на философию, на человеческое мышление, разговор никак не может обойти стороной такую глыбу мысли, как Платон. На фреске Рафаэля "Философия" (см. рисунок 3.1 на стр.33) Платон центральная фигура (что-то объясняющий своему спутнику человек в красном балахоне в самом центре).
Платон родился примерно 70 лет спустя после смерти Пифагора. Пифагор еще не был нереальной легендой, а был довольно близкой историей (как для моих студентов, например, Фихтенгольц, а для меня ну, предположим, Марков, который изобрел "цепи Маркова" главный принцип, на котором сейчас работают нейросети и искусственные интеллекты). Пифагорейцы были очень активны и рассеяны по всей Греции. Уезжать в путешествия для получения образования Платон вовсе не хотел, он хотел получить образование в колыбели культуры в Афинах, в школе Сократа. Но увы и ах, школу Сократа тоже закрыли, Сократ умер, и Платон, чтобы продолжить свое образование, вынужден был путешествовать. Ездил он и в Египет по следам Пифагора, и в Кротон (где была пифагорейская школа), и в африканскую часть Древней Греции, в Сиракузы (где позже появится Архимед). Именно в этом путешествии Платон и научился математике. Однако же, кроме математики, узнал много чего еще. В конце-концов, вернулся в Афины, где основал первое в истории высшее заведение Академию Платона. Которая просуществовала в итоге больше 900 лет! (закрыта лишь в 529 году нашей эры).
Над входом в Академию Платона висел слоган «Не знающий геометрию не войдет!» Более того, во все времена существования Академии, этого слогана, безусловно придерживались. /*Ах, как было бы хорошо, если бы подобный слоган был руководством к действию в современных вузах. Ну, или хотя бы на математических факультетах!*/
Когда мы говорили о Пифагоре, мы обсудили, что математика родилась в учении Пифагора из философии и религии. Теперь, при Платоне, 100 лет спустя, работает много профессиональных математиков (людей, у которых основное занятие в жизни доказывание теорем). Многие из них вовсе не пифагорейцы, просто им нравится математика. И вот теперь, когда математика уже хорошо развита, математика начинает влиять на философию, на мировоззрение.
Для лучшего понимания философских идей Платона, никак невозможно обойтись без его учения о идеях. Лучше всего, конечно же, читать "Миф о Пещере" в Диалогах Платона [19], но я кратенько перескажу.
Представим себе людей, которые прикованы в темной пещере, и смотрят на освещенную стену. Они не могут шевелиться и видят только стену. За их спиной проносят реальные предметы, которые отбрасывают стену тени. И люди способны увидеть и познать только лишь эти тени, реальные предметы вне поля их зрения. Очевидно, если человек выйдет из Пещеры на яркий свет, ему будет плохо и дискомфортно. Но если он пересилит себя, и останется на свету, постепенно он поймет, что ему хорошо, а плохо было раньше, прикованным в пещере, во тьме. И человек узнает, что знал не настоящие вещи, а лишь их тени. Но если он вернется в пещеру и начнет рассказывать, что тени всего лишь тени, ему не поверят. И на свет с ним идти, возможно, не захочет никто.
Ну, так вот. Платон считал, что мы все, подобно тем узникам в пещере. А настоящий, большой мир это мир идей. Идея предмета реальная, настоящая, первичная. Есть много животных, которых мы можем назвать Кошка. Но это ненастоящие кошки, это лишь тени одной, настоящей идеальной кошки (кошки-идеи) из мира идей. (Так на примере котиков объясняет Бертран Рассел философию Платона).
Это очень математичная идея. Мы можем соорудить в жизни куб? Можем, конечно. Но углы у него будут не четко , длины сторон чуть-чуть, да отличаться, да и в целом будут немного не ребра, а закругления на стыке граней. Этот куб не будет идеальным кубом. Но есть куб-идея. Идеальный куб. И математики никогда не исследуют материальный куб. Они всегда исследуют куб-идею (у которого все углы ровно
, ребра все с бесконечной точностью равны и т.д.) А исследования этого идеального куба приводят нас к выводам о его бледных подобиях в окружающем нас мире кубах материальных.
По мнению Платона, после смерти души людей попадают как раз в Мир Идей. И чьим же душам лучше всего? Душам Мудрецов. Эталон истинного Мудреца обладает у Платона определенными качествами: бесконечная любовь к размышлениям, благожелательность, равнодушие к чувственным удовольствиям, внутреннее спокойствие и обязательное отсутствие страха смерти (ведь после смерти ты попадаешь в лучший мир из Пещеры к Свету). Близко к идеям христиан, только содержит дополнительный интеллектуальный элемент (который не нужен христианам в их религии).
Платон считает, что любое знание это припоминание. Душа человека вне кратких мигов своей земной жизни (как после нее, так и до нее душа вечна-бесконечна) живет в Мире Идей. Таким образом, душа при рождении знает все идеи, только забывает их от шока, попадая в наш мир. Поэтому Платон относится к знанию как к припоминанию. (По этому поводу можно почитать его диалог "Менон" [19], где он это наглядно показывает).
В математике имя Платона присвоено одному примечательному объекту (точнее будет сказать, набору объектов) Платоновым телам. Платоновы тела это правильные многогранники. Вот правильных многоугольников бывает бесконечно много. Правильный треугольник (он же равносторонний), правильный четырехугольник (он же квадрат), правильный пятиугольник и далее любой правильный nугольник (все они существуют). А вот правильных многогранников (т.е. таких объемных тел, у которых все ребра равны, все грани равны, все углы равны (как плоские, так и двугранные) ну, короче, всех таких из себя правильных) таких многогранников существует всего-то пять штук!
Почему они названы именем Платона, не очень понятно. На самом деле, три из пяти правильных тел были точно известны еще Пифагору. А оставшиеся два открыл современник Платона математик Теэтет (и он же первый доказал, что их ровно пять, и больше не бывает). Теэтет открыл и доказал, а назвали именем Платона. Возможно потому, что Платон написал о них в своем диалоге "о природе" (а отсюда уже знание о них распространилось; художественную литературу все же читают намного чаще, чем специальную математическую). Может, это не честно, но уж как есть. Это называется "исторически сложилось".