Эта величина не меняется. Итак, мы имеем сохранение момента количества движения. Кстати, многим часто кажется, будто момент количества движения не сохраняется. Подобно энергии, он проявляется в различных формах. Большинство людей думают, будто он связан только с движением, но я покажу вам, что он проявляется и в других формах. Если в проволочную катушку вдвигать магнит, то магнитное поле, магнитный поток внутри нее, увеличится и по проводу пойдет электрический ток. Вообразите, что вместо провода - диск. в котором имеются электрические заряды наподобие электронов в проволоке (рис. 21). Теперь я пододвигаю издалека магнит, вдвигаю очень быстро вдоль оси, точно в середину, и магнитный поток изменяется. Так же как и в проволоке, магнитные заряды начинают двигаться по кругу, и, если диск насажен на подшипник, он закрутится. Это не похоже на сохранение момента: когда магнит далеко от диска, диск не поворачивается, а когда близко - диск крутится.
Мы получили вращение задаром, а это против правил. "Ах, так, - скажете вы, - значит, должно существовать какое-то другое взаимодействие, заставляющее магнит крутиться в обратную сторону". Ничего похожего.
На магнит не действует электрическая сила, которая стремилась бы повернуть его в обратную сторону. Все объясняется тем, что момент проявляется в двух формах. Одна из них - момент, связанный с движением, а другая - момент, связанный с электрическим и магнитным полями. Вокруг магнита существует поле со своим моментом, который не проявляется в движении, но по знаку противоположен вращению. Если мы проделаем опыт в обратном порядке (рис. 22), это станет еще яснее. Когда диск с заряженными частицами и магнит находятся рядом и оба неподвижны, я говорю, что поле обладает моментом, моментом в скрытой форме, не проявляющимся в механическом вращении. Когда же вы убираете магнит, поля разъединяются и момент количества движения должен теперь проявиться - диск закрутится. Причина, заставляющая его крутиться, - это явление электромагнитной индукции.
Меняется ли момент количества движения порциями, я затрудняюсь сказать. На первый взгляд он никак не может изменяться порциями, ибо зависит от того, под каким углом вы строите проекцию системы. Вы смотрите на изменяющуюся площадь и, естественно, видите ее по-разному в зависимости от того, смотрите ли вы на нее прямо или под углом. Если момент изменяется порциями и, глядя на систему под одним углом, вы нашли, что он равен 8 единицам, а потом чуть-чуть изменили угол, то число единиц изменится незначительно, скажем, станет чуть-чуть меньше 8. Но 7 не чуть-чуть меньше 8; 7 меньше 8 на вполне определенную величину, так что момент вряд ли может изменяться порциями.
Однако тонкости и странности квантовой механики позволяют обойти это доказательство: если мы измерим момент количества движения относительно любой оси, он, как ни странно, всегда будет выражаться целым числом единиц. Правда, в отличие от электрического заряда, это не те единицы, которые можно подсчитать. Момент изменяется порциями в математическом смысле таким образом, что при любом измерении величина его выражается целым числом. Но мы не можем толковать его так же, как целое число единичных электрических зарядов - воображаемых единиц, которые мы можем пересчитать: одна, другая, третья... В случае момента количества движения мы не можем представить их себе как отдельные единицы, и тем не менее число их - всегда целое... Что крайне странно.
Есть и другие законы сохранения. Они не так интересны, как те, о которых я рассказывал, и речь в них идет не о сохранении величины. Предположим, у нас есть устройство, в котором частицы движутся симметрично. Пусть их движениям свойственна двусторонняя симметрия (рис. 23). Тогда, согласно законам физики, при любых перемещениях и столкновениях вы можете ожидать, и ожидать не напрасно, что, взглянув на эту систему позже, вы обнаружите в ней прежнюю симметрию. Следовательно, существует еще один вид сохранения - сохранение характера симметричности. Полагалось бы и этот закон занести в нашу таблицу, но тут не сохраняется никакая определенная величина, поддающаяся измерению. О законе сохранения симметрии мы поговорим подробнее в следующей лекции. Классическую физику он мало интересует потому, что такие красивые симметрические начальные условия там очень редки и практического значения он почти не имеет. В квантовой же механике, где мы имеем дело с очень простыми системами вроде атомов, их внутреннее строение часто бывает симметричным (например, с двусторонней симметрией) и характер симметрии сохраняется. Вот почему этот закон важен для понимания квантовых явлений.
Еще один интересный вопрос - заложен ли более фундаментальный принцип в законах сохранения или мы должны принимать их такими, как они есть? Этот вопрос я отложу до следующей лекции, но одну его сторону хочу отметить сразу. При популярном изложении этих разнообразных принципов они кажутся взаимно не связанными. Зато при более глубоком понимании вы обнаруживаете между ними тесную связь - каждый из них так или иначе подразумевает в себе остальные. Взять хотя бы связь между относительностью и локальным характером сохранения. Если бы я не пояснил эту связь примером, то могло бы показаться чудом, что из невозможности определить, как быстро вы движетесь, вытекает, что сохраняющаяся величина не может исчезнуть в одном месте и одновременно возникнуть в другом.
Теперь я хотел бы показать вам, какова связь между сохранением момента количества движения, сохранением количества движения и сохранением некоторых других величин. При сохранении момента количества движения мы имеем дело с площадью, описываемой движущимися частицами. Если нам дано несколько частиц (рис. 24) и мы примем за центр очень далекую точку
Масса в ящике не может переместиться из одного положения в другое просто так, сама по себе. Сохранение массы тут ни при чем: масса все время одна и та же, речь идет лишь о ее перемещениях. Заряд мог бы переместиться, а масса - нет. Позвольте объяснить, почему.
Предположив, что ящик плавно идет вверх, найдем момент количества движения относительно не очень далекой точки х. Если при движении ящика вверх масса находится в положении 1, то площадь, описанная ее радиусом, будет изменяться с определенной скоростью. Если масса передвинется в положение 2, то площадь станет увеличиваться быстрее: высота будет прежней, потому что ящик поднимается с прежней скоростью, а расстояние от х до массы увеличилось. Но, согласно закону сохранения момента, быстрота изменения площади не может изменяться. Поэтому масса не имеет права передвинуться сама по себе: вы должны что-то подтолкнуть или еще как-нибудь увеличить момент количества движения. Вот почему ракета не может двигаться в пустоте..., но движется. Если у вас несколько масс и одна двинулась вперед, то другие вынуждены двигаться назад, так чтобы перемещения вперед и назад взаимно уравновесились. Так работает ракета. Сначала она, скажем, неподвижно висит в пустоте, потом выбрасывает газ назад и из-за этого летит вперед. Главное - что все вещество, центр массы, масса в среднем, остается на прежнем месте. Нужная часть полетела вперед, а ненужная, нас не интересующая, отброшена назад. Теорем о сохранении только нужных вещей нет, они говорят лишь о сохранении всего в целом.
Поиски законов физики - это вроде детской игры в кубики, из которых нужно собрать целую картинку. У нас огромное множество кубиков, и с каждым днем их становится все больше. Многие валяются в стороне и как будто бы не подходят к остальным. Откуда мы знаем, что все они из одного набора? Откуда мы знаем, что вместе они должны составить цельную картинку? Полной уверенности нет, и это нас несколько беспокоит. Но то, что у многих кубиков есть нечто общее, вселяет надежду. На всех нарисовано голубое небо, все сделаны из дерева одного сорта. Все физические законы подчинены одним и тем же законам сохранения.
Лекция 4.
Симметрия физических законов
Для человеческого разума симметрия обладает, по-видимому, совершенно особой притягательной силой. Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет или Солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, наконец на цветы, которые почти симметричны. Однако сейчас мне хотелось бы поговорить не о симметрии предметов, а о симметрии самих законов физики. Что такое симметрия предмета - понять легко, но может ли быть симметричным физический закон? Нет, конечно, но физики получают особое удовольствие от того, что берут самые обыденные слова и используют их для обозначения совсем других понятий. В нашем случае некоторые свойства физических законов казались им очень похожими на те свойства предметов, которые определяют их симметрию, и физики стали говорить о симметрии физических законов. Вот о ней-то и пойдет здесь речь.
Что такое симметрия? Посмотрите на меня, и вы убедитесь, что моя левая половина симметрична правой, по крайней мере внешне. Точно так же или несколько иначе симметрична ваза. Что все это значит? Симметричность моего тела означает, что если перенести все, что у меня есть, справа налево и наоборот, т.е. если поменять эти две стороны местами, то я буду выглядеть точно так же, как и раньше. Особого вида симметрией обладает квадрат - его можно повернуть на 90°, и он снова будет выглядеть так же, как и прежде. Известный математик Герман Вейль (1885-1955) предложил прекрасное определение симметрии, согласно которому симметричным называется такой предмет, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего вы начали. Именно в этом смысле говорят о симметрии законов физики. При этом мы имеем в виду, что физические законы или способы их представления можно изменять так, что это не отражается на их следствиях. Этим свойством физических законов мы и займемся в данной лекции.
Простейшим примером симметрии такого рода - и вы сразу поймете, что это совсем не симметрия правого и левого, - может служить симметрия относительно пространственного переноса. Вот что мы имеем в виду. Если построить любую установку и при ее помощи поставить какой-нибудь опыт, а затем взять и построить точно такую же установку для точно такого же эксперимента с точно таким же объектом, но в другом месте, не здесь, а там, т.е. просто перенести наш опыт в другую точку пространства, то окажется, что во время обоих опытов происходит в точности одно и то же. Конечно, это утверждение не нужно понимать слишком упрощенно. Если бы я на самом деле построил здесь, где я сейчас сижу, какую-нибудь установку, а затем попытался перенести ее на 6 м влево, то она вошла бы в стену, со всеми вытекающими отсюда последствиями. Поэтому, говоря о симметрии относительно пространственных переносов, необходимо учитывать все, что играет в эксперименте существенную роль, и переносить все это вместе с установкой. Возьмем, например, какую-нибудь систему с маятником и попробуем перенести ее на 20 тысяч миль вправо. Ясно, что система не будет работать правильно, так как колебания маятника зависят от притяжения Земли. Но если представить себе, что вместе с установкой я переношу и нашу планету, то система будет работать по-прежнему. В том-то и дело - нужно переносить сразу все, что имеет хоть малейшее значение. Это правило звучит довольно нелепо. В самом деле, можно просто перенести экспериментальную установку, а если она не заработает, сказать, что мы перенесли еще не все, - и вы оказываетесь правы и в том и в другом случае. Но на самом деле это не так, ибо вовсе не очевидно, что мы обязательно будем правы. Интереснейшее свойство природы как раз и заключается в том, что всегда удается перенести достаточно материала, чтобы установка вела себя, как и раньше. А это уже не пустые слова.
Мне хотелось бы на примере показать, что это утверждение правильно. Возьмем в качестве иллюстрации закон всемирного тяготения, утверждающий, что сила взаимного притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Напомню, что тела реагируют на силу изменением скорости в направлении силы. Возьмем теперь два тела, скажем, планету, вращающуюся вокруг Солнца, и перенесем эту пару в другую часть Вселенной. Расстояние между ними, естественно, не изменится и, следовательно, не изменяется и действующие между ними силы. Более того, в новой ситуации сохранится и скорость движения и все пропорции происходящих изменений, и в одной системе все будет происходить точно так же, как и в другой. Уже то, что в законе всемирного тяготения используется "расстояние между двумя телами", а не какое-то расстояние до центра Вселенной, показывает, что этот закон допускает переносы в пространстве.
Вот в этом и заключается одна из симметрий физических законов - симметрия относительно пространственных переносов. Другое свойство симметрии связано с тем, что для физических законов не существенны и сдвиги во времени. Запустим планету вокруг Солнца в определенном направлении. И предположим, что мы могли бы запустить ее же снова на 2 часа или на 2 года позже, запустить снова с самого начала точно таким же образом при точно таком же исходном расположении планет и Солнца, как и при первом запуске. Тогда все будет происходить точно так же, как и в первом случае, поскольку вновь закон всемирного тяготения говорит о скорости и нигде не пользуется понятием абсолютного времени, в определенный момент которого необходимо начать измерения. По совести говоря, именно в этом конкретном примере мы не очень уверены в справедливости наших утверждений. Когда мы говорили о законах гравитации, мы упомянули о возможности изменения гравитационных сил во времени. А это означало бы, что наше предположение о допустимости сдвигов во времени неверно. Ведь если гравитационная постоянная через миллиард лет окажется меньше, чем сейчас, то неверно утверждать, что через миллиард лет движение наших экспериментальных планет и Солнца будет точно таким же, как и сегодня. Но, насколько мы это знаем сейчас (а я говорю здесь о законах физики в том виде, в каком они нам известны сегодня, - хотя, поверьте, не отказался бы от возможности поговорить о них с позиций завтрашнего дня), сдвиг во времени не имеет никакого значения.
Известно, что в одном отношении это на самом деле не так. Это верно лишь в том, что касается законов физики. Но факты (а они могут сильно расходиться с известными нам законами) свидетельствуют, по-видимому, о том, что Вселенная имеет определенное начало во времени и что сейчас эта Вселенная постоянно расширяется. Могут сказать, что здесь мы тоже должны воспроизводить "географические" условия, как и при пространственных переносах, когда мы вынуждены были переносить не только установку, но и все остальное. В том же самом смысле можно утверждать, что для переноса во времени справедливо аналогичное правило и что нам нужно смещать во времени процессы расширения Вселенной вместе со всем остальным. Тогда мы должны были бы проводить наш второй эксперимент, сдвигая во времени момент рождения нашей Вселенной. Но не нам создавать вселенные. На этот процесс мы не можем оказать никакого влияния, и мы не можем даже получить экспериментальным путем хоть какое-нибудь представление о нем. Поэтому настолько, насколько это касается точных наук, мы ничего не можем сказать по этому поводу. Просто-напросто дело в том, что условия существования Вселенной, по-видимому, меняются во времени и галактики непрерывно удаляются друг от друга, так что если бы в каком-нибудь научно-фантастическом романе вы проснулись где-то в неизвестном будущем, то, измерив средние расстояния между галактиками, вы смогли бы узнать, о каком времени идет речь. Это значит, что с течением времени Вселенная не будет выглядеть так же, как она выглядит сейчас.