– Боюсь, что я не совсем вас понимаю, – сказала Алиса.
– Я имею в виду, что если, например, круг означает «да», то тот из нас, кто говорит правду, в ответ на вопрос нарисует в воздухе круг, а тот, кто лжет, нарисует квадрат.
– Вот теперь все понятно! – обрадовалась Алиса.
– Прекрасно! Тогда начнем! Да, хочу предупредить тебя еще вот о чем. Мы с братцем договорились, что если на вопрос отвечает Траляля, то он лжет, а если Труляля, то он говорит правду.
76. Кто есть кто?
Оба братца зашли в домик. Почти сразу же один вышел и молча встал рядом с Алисой. Вскоре из домика появился и второй братец со «знаком», на котором было написано:
Братец, стоявший рядом с Алисой, в ответ нарисовал в воздухе круг.
Кто из братцев Траляля?
77. О чем спросила Алиса?
– Поздравляем! – закричали братцы. – Ты опять выиграла.
– А теперь самая интересная из всех игр! – сказал Труляля. – Выиграешь ее – получишь специальный приз!
– На этот раз, – продолжал он, – мы
– Так знай же, дитя мое, что если бы я вздумал устроить тебе экзамен (заметь, что я и не думаю делать этого!), но если бы я все же вздумал устроить тебе экзамен, то задавал бы тебе только такие вопросы, на которые нет ответа! Такие вопросы лучше всего, уж поверь мне!
– А какой смысл задавать вопросы, на которые нет ответа? – спросила Алиса.
– Именно такие вопросы и заставляют
– Ты абсолютно права! – просиял Шалтай-Болтай. – Вот это то, что я называю логически мыслящим ребенком! Я приведу сейчас замечательный пример вопроса, на который нет ответа. Вот как он звучит:
– Можно ли считать «нет» правильным ответом на этот вопрос?
– На какой вопрос? – спросила Алиса.
– На вопрос, который я только что задал! – пояснил Шалтай-Болтай.
Алиса немного подумала.
– Нет, – сказала она, – конечно же, нет!
– Вот ты и попалась! – с гордостью заявил Шалтай-Болтай.
– Как? – не поверила Алиса.
– Суди сама, дитя мое! На мой вопрос ты ответила «нет», правильно?
– Правильно! – согласилась Алиса.
– А разве ты ответила правильно? – спросил Шалтай-Болтай.
– Конечно! – уверенно ответила Алиса. – Какие могут быть сомнения?
– Вот тут-то ты и попалась! – заявил Шалтай-Болтай. – Так как ты ответила «нет» и ответила правильно, то на заданный вопрос правильного ответа
–
и отдал записную книжку Алисе.
– Что ты теперь скажешь? – спросил Шалтай-Болтай. – Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?
– На этот вопрос невозможно ответить, – сказала Алиса, немного подумав. – Оно может быть и истинным, и ложным.
– Неправильно! – воскликнул Шалтай-Болтай. – Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!
– А почему? – спросила Алиса.
– Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?
– А почему бы нет? – удивилась Алиса.
– Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.
– Совершенно верно! – сказала Алиса. – А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.
– Опять неправильно! – торжествующе сказал Шалтай-Болтай. – Оно не может быть и ложным!
– А почему? – спросила Алиса.
– А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!
– Как же быть? – огорченно сказала Алиса. – Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!
– Совершенно верно! – согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.
– Припоминаю, – продолжала Алиса, – что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше – историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:
«Все критяне лжецы». Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.
– Неправильно! – решительно возразил Шалтай-Болтай. – Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка. Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!
– Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? – попросила Алиса.
– Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом – того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?
– Я никогда не задумывалась над этим раньше, – призналась Алиса, – но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.
– Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, – ответил Шалтай-Болтай. – Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово «лжец» по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение – о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.
– Вижу, – сказала Алиса. – Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец – это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?
– Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, – уверил ее Шалтай-Болтай. – Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет. Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.
– Да ведь это парадокс! – сказала Алиса.
– Нет! – возразил Шалтай-Болтай. – Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!
– Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, – попросила Алиса.
– Охотно, – согласился Шалтай-Болтай. – Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!