НУЛЕВОЕ ЗАТМЕНИЕ
Вы, конечно, понимаете, что не одни пирожковые, пельменные и парикмахерские попадались нам в Городке юных пенсионеров. Ведь жители его состояли не только из поваров и парикмахеров. Были там токари и лекари, фрезеровщики и фальцовщики, таксисты и артисты, сапожники и художники (один из них увековечил Пусю), закройщики и обойщики, стекломойщики и спортсмены… В общем, представители самых разных профессий, а стало быть, и учёные. Биологи и геологи, гидрологи и зоологи, вулканологи и археологи, метеорологи и лингвисты. А также физики и электроники, математики и бионики, демографы и картографы, географы и океанографы, правоведы и почвоведы, агрономы и астрономы…
Все эти люди с увлечением работали. В их распоряжении были прекрасно оборудованные лаборатории, в том числе — великолепная обсерватория. Находилась она в двух шагах от нашей прогулочной аллеи, и Пуся, всё ещё смеясь, обратил внимание на царившую там суету. Тут он вдруг замолчал и, словно бы вспомнив что-то важное, со всех ног понёсся к обсерватории.
Мы, естественно, поспешили за ним и пришли как раз вовремя, чтобы получить необходимые разъяснения, прежде чем…
Но я забегаю вперёд и могу упустить что-нибудь важное. Лучше начну с самого главного: в обсерватории готовились к полному солнечному затмению. И начала его ждали через несколько минут. Как видите, теперь уже незачем было гадать, зачем Пуся привёл нас в Городок юных пенсионеров. Ведь он, находясь в должности Главной ищейки, должен был наводить Главного терятеля на интересные, богатые ассоциациями впечатления! А что может сравниться с полным солнечным затмением? Разве что полное лунное…
Кстати, и то и другое происходит тогда, когда Солнце, Луна и наблюдатель, находящийся на Земле, оказываются на одной прямой. Вся разница в том, что при солнечном затмении Луна находится между. Солнцем и Землёй и, само собой, закрывает Солнце от наблюдателя. Когда же случается лунное, тут между Солнцем и Луной находится уже Земля. Она-то и отбрасывает тень, которая постепенно наползает на лунный диск и при полном затмении скрывает его от нас совершенно.
Сегодня, однако, ожидалось затмение не просто полное, а редкая его разновидность — кольцеобразное затмение. И дело тут вот в чём. Поперечник Луны много меньше поперечника Солнца. Почти в четыреста раз! Луна между тем при полном солнечном затмении закрывает солнечный диск целиком. Отчего? Да оттого, что Луна во столько же раз ближе к Земле. Вот нам и кажется, что лунный и солнечный диски по размерам совершенно одинаковы. Но иногда, когда Луна и Земля взаиморасположены на своих орбитах определенным образом, лунный диск видится нам чуть меньшим, чем солнечный. И тогда вокруг чёрного солнечного диска остаётся узкое, световое кольцо. Оно ярко сверкает на чёрном, усеянном звёздами небе, и напоминает сказочную корону. Или пылающий обруч, через который прыгают дрессированные хищники в цирке.
Волшебная картина. Совершенно волшебная! А уж если глядеть на неё сквозь специальное стекло, да ещё через разверстый купол обсерватории, она во сто раз прекраснее, уверяю вас! Именно такой, стократ более прекрасной мы её и увидели, когда прильнули к своим стёклам.
Но тут произошло ещё одно, очень для нас важное событие. Пока там, в беспредельной космической вышине, совершалось солнечное затмение, в голове у Главного терятеля наступило внезапное прояснение. Он вдруг заметил, что светящийся ободок вокруг чёрного затмённого солнца необыкновенно напоминает нуль. Сравнение его привело в восторг тамошних астрономов. Неудивительно: ведь где астрономия, там и математика. А математики — кто ж этого не знает! — поголовно неравнодушны к нулю. И вот, посовещавшись, они порешили переименовать кольцеобразное затмение в нулевое.
Главного терятеля это очень обрадовало. Он и не подозревал, что его замечание приведёт к таким важным научным переменам. Но не знал он и другого: что сам переменится к лучшему. Всеобщее внимание вдохновило его на новые подвиги. В голове у него прояснилось ещё больше, и вдруг… И вдруг там блеснула ещё одна нулевая ассоциация. Он вспомнил, что в утерянном номере нулей не было.
Так у нас появился ещё один признак утерянного числа, и девочка тотчас занесла его в свой блокнот. А я взял свой и записал вот что: «Успех окрыляет человека».
К тому времени, как нам покинуть обсерваторию, солнце снова засияло вовсю. Но девочка всё ещё вспоминала чёрное звёздное небо, и пылающее кольцо вокруг чёрного диска, и неожиданную нулевую ассоциацию Главного терятеля.
— Не понимаю, — сказала она вдруг. — С чего это все носятся с этим нулём? Что в нём особенного? Фитюлька. Пустышка. Дырка от бублика. А разговоров… Много шума из ничего.
— Это ты к месту заметила, — отозвался я. — Как видишь, из ничего всё же кое-что получается. Хотя бы шум.
— Так то в жизни, — возразила девочка.
— Не только в жизни. Иной раз в математике из нуля такое выходит…
— Например? — сейчас же прицепилась девочка.
— Например, вот что! — вмешался Главный терятель.
Он присел на корточки и написал пальцем на дорожке то самое десятизначное число, о котором говорил в павильоне «Чашка чая, десять фишек»: 9 999 999 999.
— Перед нами огромное число, — сказал он. — Девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять. Внимание! Сейчас мы сыграем с ним в крестики-нулики. Каким образом? Очень просто. Ставим после него крестик, то есть знак умножения, потом нулик и — фьють! От нашего числа ничего не осталось. Десять миллиардов без единицы превратились в ничто, в нуль! 9 999 999 999 х 0 = 0. Что вы на это скажете, миледи?
— Скажу, что нуль превращает что-то в ничто. Но может ли он из ничего сделать что-то? Или хотя бы превратить маленькое число в большое?
— Ну конечно! — воскликнул Главный терятель. — Приставь нуль справа к любому натуральному числу, и оно сразу станет вдесятеро больше.
— Это я и так знаю! — отмахнулась девочка. — Но в вашем примере нуль выступает как цифра. Обыкновенная цифра, которая означает, что в разряде пусто. А меня интересует, что может нуль как число…
— Сейчас увидим, — сказал я, очень довольный девочкиным вопросом. — Возьмём единицу и разделим её на обыкновенную дробь. Вот хоть на одну десятую. 1:
Нетрудно заметить, что чем меньше делитель, иначе говоря, чем он ближе к нулю, тем больше становится частное. Так?
— Так.
— Значит, если бы мы разделили единицу на нуль, то получили бы число ещё большее. И было бы оно не просто большим, а бесконечно большим. Уж поверь мне на слово. Так может нуль превратить малое число в большое?
— Выходит, может, — согласилась девочка. Но отчего вы сказали «если бы»? Почему бы нам и впрямь не разделить единицу на нуль? Вот взять да и разделить!
— Ну, тут статья особая, — уклончиво возразил я. — Тут мы вторгаемся во владения бесконечности. И тебе туда пока рановато. К тому же делить на нуль в математике не положено. Особенно нуль на нуль. Не положено также возводить нуль в нулевую степень. Или умножать нуль на бесконечность. Потому что тут мы уже вторгаемся во владения неопределённости…
— Туда мне, конечно, тоже рановато, — съязвила девочка и, подхватив на руки Пусю, запела на мотив «Чижика»: — Там, где нуль, всегда запрет. Ребятишкам хода нет!
— Браво, браво! — восхитился Главный терятель. — Прелестное сочинение. А главное — верное. В мире чисел нуль — фигура опасная. А где опасность, там детям делать нечего…
— Зато взрослым морока, — подхватил я. — У этого шалопая всё не как у других. Где это видано, чтобы целое число нельзя было превратить в дробь? А нуль не дробится. Его хоть на миллион раздели, хоть на миллиард, а он как был нулём, так нулём и останется.
— Белая ворона, — сказал Главный терятель.
— Нет, кошка, — засмеялась девочка. — Кошка, которая ходит сама по себе. Из сказки Киплинга.
Это было отличное сравнение. Но, по совести говоря, его следовало отнести ко всем остальным числам. Ведь и они, подобно нулю, живут своей особенной жизнью, по своим особым законам, и дружба с ними сулит самые прекрасные неожиданности, самые удивительные открытия. Разумеется, тем, кто законы их знает…
ФУТБОЛ ПО-ЭНЭМСКИ
Увлечённые беседой о нуле, мы не замечали дороги — просто шли за Пусей, привычно полагаясь на его высокий сыскной авторитет, и опомнились лишь у кассы стадиона Юных пенсионеров. Здесь было многолюдно. Любители футбола с азартом расхватывали билеты на матч между командами «Ватрушек» и «Коржиков».
Нам тоже досталось по билетику — всем, кроме Пуси. Вот незадача! Сперва его обошли печеньем, теперь — билетом… Что прикажете делать щенку, которого не считают за человека? Только одно: проскочить зайцем. Так он и поступил, и скоро мы сидели на трибуне, ожидая начала игры.
Вы уже знаете: в Энэмске очень любят математику. Оттого всё здесь с математическим уклоном. Даже футбол. Перед матчем команды выстраиваются не друг против друга, а в одну линию. Одна команда — по порядку номеров вправо, другая — по порядку номеров влево. Причём у игроков справа числа на майках с плюсами, то есть положительные, а у игроков слева — с минусами: отрицательные. В центре между двумя единицами стоит судья. В руках у него мяч, а на майке — нуль. Не подумайте только, что это намёк! Никому из энэмчан не придёт в голову, что судья в матче — пустое место. Просто всё это, вместе взятое, символизирует бесконечную числовую прямую. И вот почему на майках у крайних игроков рядом с номером 11 стоит многоточие — в знак того, что числам нет конца.
До начала матча оставалось минут десять, и я вдруг подумал, что здешний стадион — самое подходящее место для беседы о числах, об их разновидностях и свойствах. Здесь можно было напомнить девочке то, что она уже успела узнать, и рассказать о том, чего она узнать не успела. В общем, как говорят в школе, закрепить пройденное и двинуться дальше.
Как истая энэмчанка, девочка давно знала, что числовая прямая бесконечна. Но вот знала ли она, какое место занимает в ней нуль? И для чего числа разделяются на положительные и отрицательные? Я уж хотел справиться у неё об этом, но тут на зелёное поле высыпали «ватрушки» и «коржики», построились в свою положительно-отрицательную шеренгу, и девочка сама попросила меня о том же.
Надо отдать ей должное: она очень быстро поняла, что положительные числа не потому положительны, что хороши, а отрицательные не потому отрицательны, что плохи. Просто положительные числа больше нуля, а отрицательные меньше. И вот почему они располагаются по обе его стороны, в то время как сам он ни к положительным, ни к отрицательным не относится. Он — ничейный. Нейтральная зона. Пограничный пост. Словом, нуль в своём репертуаре. Хотя он и относится к целым числам.
Вначале, правда, девочку слегка озадачило, как это число может быть меньше нуля. Ведь нуль — ничто! Как говорится, меньше некуда. Но мне удалось объяснить, каким образом в математике получают целые числа меньше нуля. Их получают из натуральных, то есть природных, естественных чисел, но… искусственным путём: вычитая из меньшего натурального числа большее. К примеру, если из пяти вычесть семь, получится число на две единицы меньше нуля: (+5) — (+7) = (—2).
— Фокус-покус, — засмеялась девочка. — Было два положительных числа, а стало одно отрицательное.
— Это что! — сказал я. — С числами и не такие фокусы происходят. Так, перемножив два отрицательных числа, непременно получишь положительное. Конечно, это фокус объяснимый, и все мы в своё время перестаём ему удивляться. Но есть в числах нечто такое, чему дивишься всю жизнь. Меня, например, всегда поражает, как легко они забывают, откуда взялись, как запросто отделяются от действительности, которая их породила, и начинают жить своей, независимой жизнью…
Пока я философствовал, игра уже началась, и в воздухе то и дело раздавался судейский рожок, который звучит куда приятнее обычного свистка (как вы знаете, свиста энэмчане не переносят)… Надо сказать, врождённая энэмская деликатность — с лёгкой руки Главного терятеля я стал называть её джентэнэмством — не слишком способствует международным успехам энэмских футболистов. Встречаясь с игроками другой, не джентэнэмской школы, они неизменно превосходят их в вежливости, но редко покидают поле победителями. Немудрено! Ведь даже забивая мяч в ворота противника, центральный нападающий норовит извиниться перед тамошним вратарём. А уж там, где иной футболист не задумается оттолкнуть соперника или, чего доброго, дать ему подножку, энэмец и вовсе впадает в душевное расстройство и начинает мысленно перебирать параграфы справочника по спортивной этике…
На сей раз игра шла особенно вяло (ведь участвовали в ней хоть и юные, а всё же пенсионеры!), и Главного терятеля это ужасно расстроило. Он до того нервничал, что забыл обо всём, что только можно, а сверх того и о том, чего забывать нельзя: об ассоциациях.
Впрочем, когда комментатор объявил, что первый тайм подходит к концу, а счёт по-прежнему ноль — ноль, Главный терятель вдруг очнулся и объявил, что его посетила ассоциация. Но девочке не пришлось заносить её в блокнот. Ведь это была всё та же нулевая ассоциация, которую она записала в обсерватории!
После этого я чуть было не впал в отчаяние, но вовремя взял себя в руки и решил прибегнуть к назывному методу. Есть у нас такой в нашем число-разыскательном деле. Благо, объявили перерыв и Главный терятель слегка успокоился.
— Послушайте, — сказал я, — вы человек с математической жилкой и, уж конечно, знаете о простых числах.
— Разумеется, — отвечал он. — Они делятся без остатка лишь на себя и на единицу.
— Прекрасно, — оживился я. — Среди одиннадцати номеров, которые весь тайм мелькали у вас перед глазами, пять простых чисел…
— Да, да, да, — затараторила девочка, вмешиваясь в игру, смысл которой мигом поняла. — Это 2, 3, 5, 7 и 11.
— Так вот, — продолжал я, — не был ли ваш утерянный номер числом простым?
Главный терятель поморгал, почесал за ухом, приложил палец к носу, потом тяжело вздохнул и заявил, что не помнит.
— Хорошо, — сказал я, хотя хорошего пока ничего не было. — Сделаем так. Мы с девочкой будем перечислять свойства чисел, а вы — вспоминать, имеют ли эти свойства отношение к вашему номеру.
Вспомнить Главному терятелю ничего не удалось, стало быть, тут и рассказывать не о чем. Поэтому расскажу о том, чего он не вспомнил. Он не вспомнил, был ли утерянный номер числом составным, то есть таким, которое можно разложить на множители, не считая единицы и самого числа. Не вспомнил, был ли он чётным, то есть делился ли на два, и был ли нечётным, то есть на два не делился. Не вспомнил он и того, был ли номер числом совершенным — по той причине, что совершенно забыл о существовании таких чисел. Пришлось напомнить, что совершенные числа равны сумме своих младших делителей. Но это мало что изменило. Потом пришлось напомнить и о том, что представляют собой числа дружественные, а это, между прочим, числа удивительные! Они всегда держатся парами. Почему? Да потому что дружат. Не подумайте только, что с кем попало. Не в пример некоторым людям, дружественные числа очень разборчивы. Они выбирают друзей исключительно по одному признаку: сумма младших делителей одного из них должна быть равна другому. Впрочем, на словах это не очень понятно. Так что обратимся лучше к числовым примерам.