— Ишь ты, сколько интересного мы сегодня узнали, — сказал Нулик, загибая пальцы, — октава, квинта, кварта.
— Попробуем узнать и ещё кое-что. Вычислим, во сколько раз октава больше кварты.
— Вычислим, — повторил Нулик. — Вычтем из двух…
— Нет, — остановил я его, — тут надо сделать другое. Надо найти, во сколько раз отношение 2:1 больше отношения 4:3.
— Ну это просто. Надо разделить —
А это всё равно, что
— Верно?
— Верно. Заодно не мешает сказать, что интервал, равный девяти восьмым, условились считать за один музыкальный тон.
На сей раз Нулика моё сообщение совершенно не обрадовало.
— Квинты, кварты! — проворчал он, пожимая плечами. — А где же всё-таки среднее гармоническое?
— К нему-то мы и подошли. Дело в том, что, кроме чисел 1, 2, 3 и 4, Пифагору приглянулась ещё одна четвёрка чисел: 6, 8, 9 и 12. Они полюбились ему уже хотя бы потому, что отношение 12:6 равно отношению 2:1 и даёт октаву; отношение 12:8 равно отношению 3:2 и даёт квинту, а отношение 12:9 равно отношению 4:3 и даёт кварту. Пифагор обратил внимание также на средние числа этой великолепной четвёрки — 8 и 9. Здесь интересно вспомнить, что отношение 9:8 соответствует одному тону.
— Но что замечательного нашёл Пифагор в этих числах? — спросил Сева.
— Во-первых, девять — это среднее арифметическое шести и двенадцати, то есть крайних чисел этой четвёрки:
— А восемь?
— А восемь, — неожиданно сказал Олег, — восемь — это их среднее гармоническое. Вот смотрите:
— Наконец-то! — закричал президент и на радостях снова задудел на своей гребёнке, после чего стало совершенно ясно, что с музыкой на сегодня необходимо покончить.
Объявили перерыв. Все потянулись к бутербродам, разложенным на большом блюде. Но вот когда они были съедены и мы уже готовились приступить ко второй части нашего заседания, Олег внёс в комнату красивую суповую вазу, покрытую, как полагается, специальной крышкой. Президент так и замер.
— Неужели это оно? — спросил он с робкой надеждой в голосе.
— Не оно, а он, — поправил Олег.
Нулик благоговейно приблизился к столу и осторожно поднял замысловатый фарфоровый купол. В лицо ему дохнул запахом ванили густой молочный кисель. Президент издал победный клич и хотел уже запустить в него ложку, но Таня тут же её отняла.
— Сперва надо подобрать подходящее ведёрко, не то не едать нам киселя.
— Ну, тогда подберём его поскорее! — волновался Нулик. — Кто просит слова?
— Кто же ещё? Разумеется, ты, — засмеялся Сева.
— Ошибаешься — я киселя прошу! А слова просит. — Нулик обвёл глазами присутствующих, стараясь отгадать, кто решит задачу без проволочек.
— Слова прошу я! — сказала Таня. — Предлагается вычислить радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник. При этом известно только то, что гипотенуза равна 13 дециметрам, а сумма обоих катетов — 17 дециметрам.
Таня вычертила на бумажке прямоугольный треугольник и обозначила его стороны буквами
— Прежде чем решать задачу, — сказала она, — заметьте, что точки касания делят стороны треугольника на две части Кроме того, очень важно вспомнить, что радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Стало быть, после того как мы провели радиусы в точки касания, при вершине прямого угла у нас образовался квадрат. А у квадрата все стороны между собой равны. Отсюда следует, что катет
— Как просто! — захихикал Нулик. — Но всё-таки проверим. Значит, с у нас равно 13, а (а + b) равно 17. Тогда 2r = 17–13, то есть 4 дециметрам. А ну, налейте-ка мне тарелочку молочного киселя.
Когда тарелки опустели, президент сказал, довольно потирая руки:
— Ну вот, кисель исчерпан и повестка дня тоже.
— Ничего подобного, — возразил Олег. — Мы ещё ничего не сказали о задаче, которую Единичка задала Магистру.
— Это когда они летели над Бамбуковым океаном? — вспомнил Нулик. — У Магистра ещё компас сломался…
— Да нет, компас у него наверняка был в полной исправности.
— Почему ты думаешь? — удивился Нулик. — Ведь стрелка вертелась из стороны в сторону без всякого смысла…
— Это не стрелка вертелась. Это Единичка повернула карту на 90 градусов. А стрелка компаса всегда направлена в одну и ту же сторону — одним концом на северный магнитный полюс Земли, другим — на южный.
— Полюс, это там, где все меридианы пересекаются? — спросил Нулик, желая, очевидно, похвастаться своей эрудицией.
— Меридианы пересекаются на географическом полюсе, — сказал Олег, — а магнитный, полюс, на который указывает стрелка компаса, чуть-чуть с ним не совпадает. Так что смешивать полюс географический с магнитным не стоит. Но вернёмся всё-таки к Единичкиной задаче. По-моему, очень любопытная задача.
— Не такая уж, наверное, любопытная, если Магистр решил её единым махом, — сказал президент пренебрежительно.
— Решил, да неправильно. Ведь девять в кубе — это 729, а сумма шести в кубе и восьми в кубе всего только 728.
— Не придирайся! — заартачился Нулик. — Подумаешь, ошибся человек на единицу! Можно, поди, подобрать и такие три числа, чтобы куб одного был в точности равен сумме кубов двух других.
— В том-то и дело, что нельзя.
— Это почему же?
Олег развёл руками.
— Прошу прощения, ваше президентство, но тут дело тонкое.
Президент обернулся в мою сторону:
— Правда?
Я кивнул.
— Да, брат, ты коснулся проблемы, над которой бились многие талантливые учёные, а всё без толку… Точнее, почти без толку. Эта проблема известна под именем великой теоремы Ферм
2
+ 4
2
= 5
2
.
— Или 5
2
+ 12
2
= 13
2
, — добавила Таня.
— Совершенно верно, — подтвердил я. — Таких числовых троек бесконечно много. Между прочим, равенство
2
+
2
=
2
связывается обычно с теоремой Пифагора. Что же касается Севиного примера — 3, 4 и 5, то эта тройка чисел была известна ещё в Древнем Египте, более 4000 лет назад.
Но вот, оказывается, нельзя подобрать три целых числа, чтобы сумма кубов двух из них равнялась кубу третьего. Подобрать их нельзя также и для четвёртой, и для пятой, и вообще для любой другой степени. Иначе говоря, равенство
n
n
n
n
n
n
(n+2).
И нашёлся-таки чудак, который на основании этой опечатки опроверг теорему и потребовал немедленного денежного вознаграждения.
— Но ведь вы сами говорили, что доказательством теоремы Ферма занимались и крупные математики, — подцепил меня Сева.
— Не отрицаю, говорил. Теорему пытались доказать многие известные учёные. И некоторые из них, хоть и не доказали её полностью, внесли всё же существенный вклад в это дело. Начать с самого Ферма, который доказал свою теорему для частного случая n = 4. Кроме того, я уже говорил, что в середине восемнадцатого века справедливость теоремы для третьей степени доказал Леонард Эйлер. В середине следующего, девятнадцатого века геттингtнский математик Лежен Дирихле нашёл доказательство и для пятой степени. А в конце того же девятнадцатого века расширил доказательство для всех простых чисел первой сотни немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер. Для этого ему пришлось придумать новый метод исследования, который получил название алгебраической теории чисел. В наши дни этот метод успешно развивают многие математики.
Но вернёмся всё-таки в 1923 год, к началу моего рассказа.
После всего, что я сейчас говорил, вам, конечно, ясно, как самонадеянно с моей стороны было явиться к профессору Васильеву с моим доморощенным «доказательством» теоремы Ферма. И всё-таки я позвонил.
Небольшой полутёмный кабинет с низким потолком был весь заставлен мебелью и книгами. В углу уютно поблёскивала изразцами голландская печь. За громоздким письменным столом сидел седой коренастый человек с пышной бородой и на редкость добрыми глазами. Помню, больше всего поразило меня то, что не было в нём никакой профессорской важности. Несмотря на мою молодость, он держался со мной на равной ноге.
Александр Васильевич взял протянутую мною рукопись и стал её быстро просматривать. В некоторых местах он задерживался и, вытянув губы, слегка покачивал головой. Затем очень мягко, почти виновато сказал, что я допустил ошибку в логическом построении доказательства. Ошибку совсем незначительную, но если её исправить, то доказательства уже не получится.
— До чего симпатичный старик! — умилился президент.
— Удивительно симпатичный! — согласился я. — Конечно, я расстроился, а он стал меня утешать, юворил, что огорчаться не стоит, что ход мыслей у меня очень интересный и мне следует продолжать заниматься. И добавил, опустив глаза. «Только не теоремой Ферма, а вообще числами». Прощаясь, он долго держал мою руку в своей и глядел на меня так ласково, будто хотел сказать: «Не отчаивайтесь! Бывают в жизни и большие неприятности».