***
История цифр на Западе началась в 1202 году, когда подходило к концу строительство Шартрского кафедрального собора и завершался третий год правления английского короля Джона. В этом году в Италии появилась книга, озаглавленная "Liber Abaci", или "Книга о счётах". Все ее пятнадцать глав были написаны от руки - ведь до изобретения книгопечатания оставалось почти триста лет. Ее автору Леонардо Пизано было всего двадцать семь лет, и он был очень удачливым человеком: его книга получила одобрение самого императора Священной Римской империи Фридриха П. О лучшем нельзя и мечтать.
Большую часть своей жизни Леонардо Пизано был известен как Фибоначчи, под этим именем он и вошел в историю. Его отца звали Боначио, а его - сын Боначио, т. е. Фибоначчи. Боначио означает 'простак', а фибоначчи - 'чурбан'. Однако Боначио, по-видимому, был не совсем простаком, поскольку он представлял Пизу в качестве консула во многих городах, а его сын Леонардо тем более не был чурбаном.
Фибоначчи был подвигнут к написанию "Liber Abaci" во время визита в Багио, процветающий алжирский город, где его отец пребывал в качестве пизанского консула. Там он столкнулся с чудесами индо-арабской системы счисления, перенесенной арабскими математиками на Запад во время крестовых походов. Ознакомившись со всеми вычислениями, выполняемыми в рамках этой системы, которые даже не снились математикам, использовавшим римскую систему счисления, он постарался изучить ее как можно более досконально. Чтобы поучиться у арабских математиков, живших по берегам Средиземного моря, он предпринял путешествие в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс.
В результате появилась книга, необычная со всех точек зрения. "Liber Abaci" открыла европейцам новый мир, в котором для представления чисел вместо букв, применяемых в еврейской, греческой и римской системах счисления, использовались цифры. Книга быстро привлекла внимание математиков как в Италии, так и по всей Европе.
"Liber Abaci" - это далеко не букварь по чтению и написанию новых численных символов. Фибоначчи начинает с объяснения, как по количеству символов, представляющих число, определить, включает ли оно только единицы, или десятки, или сотни и так далее. В следующих главах рассматриваются более сложные вопросы. Здесь мы находим вычисления, использующие все виды чисел и дробей, правила пропорции, извлечение квадратных корней и корней высших степеней и даже решение линейных и квадратных уравнений.
Каким бы остроумным и оригинальным ни было содержание книги Фибоначчи, она наверняка не смогла бы привлечь к себе много внимания за пределами узкого круга знатоков математики, если бы в ней излагались только теоретические вопросы. Огромный успех книги объяснялся тем, что Фибоначчи насытил ее примерами практического применения изложенных в ней методов. Там, в частности, описаны и проиллюстрированы примерами многие новшества, которые благодаря новой системе счисления удалось применить в бухгалтерских расчетах, таких, как представление размера прибыли, операций с обменом денег, конвертацией мер и весов и, хотя ростовщичество было еще запрещено во многих местах, исчисления процентных выплат.
О том, насколько сильный ажиотаж вызвало появление книги Фибоначчи, можно судить по тому, что от нее пришел в восторг даже такой блистательный и творческий человек, каким был император Фридрих. Этот монарх, правивший с 1211-го по 1250 год, сочетал жестокость и властность с живым интересом к науке, искусству и философии государственного правления. В Сицилии он разрушил феодальные замки и упразднил их гарнизоны, обложил налогом и отрешил от управления государством духовенство, устранил все ограничения, препятствующие импорту, и отменил государственную монополию.
Фридрих не терпел никакого противодействия. В отличие от своего деда Фридриха Барбароссы, который был унижен папой в битве при Легнано в 1176 году, этот Фридрих, кажется, получал удовольствие от нескончаемых столкновений с папством. Его непреклонность принесла ему даже не одно, а два отлучения. Во втором случае папа Григорий IX объявил Фридриха лишенным императорской короны, назвав его еретиком, распутником и Антихристом. Фридрих ответил жестоким нападением на владения папы, а тем временем его флот задержал большую делегацию прелатов, направлявшихся в Рим для участия в соборе, который должен был лишить его императорской короны.
Фридрих окружил себя ведущими интеллектуалами своего времени, пригласив многих из них к себе в Палермо. Он построил на Сицилии несколько великолепнейших замков и в 1224 году основал университет для подготовки государственных служащих - первый европейский университет, получивший устав от монарха.
Фридрих был в восхищении от книги Фибоначчи. Как-то в 1220-х годах во время визита в Пизу он пожелал его увидеть. На аудиенции Фибоначчи решал алгебраические задачи, в том числе кубические уравнения, поочередно предлагаемые ему одним из многих придворных ученых. Это побудило его написать еще одну книгу - "Liber Quadratorum", или "Книгу о квадратах", которую он посвятил императору.
Фибоначчи широко известен благодаря короткому отрывку из "Liber Abaci", содержание которого производит впечатление математического чуда. В отрывке обсуждается задача о том, сколько кроликов родится в течение года от одной пары кроликов в предположении, что каждый месяц каждая пара рождает другую пару и что кролики начинают рожать с двухмесячного возраста. Фибоначчи доказывает, что в этом случае потомство исходной пары к концу года достигнет 233 пар.
Дальше он утверждает нечто еще более интересное. Предположим, что первая пара кроликов не будет размножаться до второго месяца. К четвертому месяцу начнут размножаться их первые двое отпрысков. Коль скоро процесс продолжится, числа пар в конце каждого месяца будут такими: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Здесь каждое последующее число является суммой двух предыдущих. Если кролики продолжат в том же духе в течение ста месяцев, число пар достигнет 354 224 848 179 261 915 075.
Этим не исчерпываются изумительные свойства чисел Фибоначчи. Разделим каждое из них на следующее за ним. Начиная с 3, будем получать 0,625. После 89 ответ будет 0,618; с увеличением чисел в ответе будет возрастать лишь число десятичных знаков после запятой..
Разделим теперь каждое число, начиная с 2, на предыдущее. Будем получать 1,6. После 144 ответ будет всегда 1,618.
Греки знали это соотношение и называли его золотой пропорцией. Эта величина определяет пропорции Пантеона, игральных карт и кредитных карточек и здания Генеральной Ассамблеи Организации Объединенных Наций в Нью-Йорке. Горизонтальная перекладина большинства христианских крестов делит вертикальную в том же отношении: длина над перекладиной составляет 61,8% от длины под пересечением. Золотая пропорция обнаруживается также в природных явлениях - в цветочных лепестках, в листьях артишока, в черешках пальмовых листьев. Отношение длины части тела человека выше пупка к длине части ниже пупка у нормально сложенного человека равно 0,618. Длина фаланг пальцев, если последовательно идти от кончиков до ладони, соотносится так же .
Одним из наиболее романтичных воплощений отношения Фибоначчи являются пропорции и форма чудесной спирали. На приведенном рисунке видно, как она формируется на основе ряда квадратов, длины сторон которых определяются рядом Фибоначчи. Процесс начинается с построения двух маленьких квадратов одинакового размера.
Построение равноугольной спирали с использованием чисел Фибоначчи
Начнем с квадрата со стороной, равной единице, пристроим к нему другой такой же квадрат, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 2, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 3. Продолжая в том же духе, получим квадраты со сторонами, равными 5, 8, 13, 21, 34 и так далее.
(Воспроизводится с разрешения Fascinating Fibonaccis by Trudy Hammel Garland; © 1987 by Dale Seymour Publications, P. O. Box 10888, Palo Alto, CA 94303.)
На основе двух их сторон строится примыкающий к ним квадрат со стороной удвоенного размера, затем квадраты со сторонами утроенного, упятеренного и т.д. размера. Заметьте, что таким образом строится последовательность прямоугольников, причем отношения между сторонами следующих друг за другом членов последовательности образуют золотую пропорцию. Затем соединяем противоположные углы квадратов, начиная с наименьшего, дугами, являющимися продолжением друг друга, и получаем спираль.
Нам знакома эта спираль, повторяемая в форме некоторых галактик, бараньего рога, многих морских раковин или гребешков океанских волн, по которым скользят любители серфинга. Способ построения делает ее форму неизменной, и она не зависит от размера первого квадрата, с которого началось построение: форма с ростом не меняется. Журналист Уильям Хоффер заметил: "Большая золотая спираль кажется естественным способом наращивания количества без изменения качества".
Кое-кто верит, что числа Фибоначчи можно использовать для различных предсказаний, в особенности относительно курса акций; такие предсказания сбываются достаточно часто, чтобы поддерживать постоянный интерес к ним. Ряд Фибоначчи настолько популярен, что в Калифорнии существует даже Американская ассоциация Фибоначчи при университете Санта-Клары, опубликовавшая с 1962 года тысячи страниц исследований по этой теме.
"Liber Abaci" Фибоначчи стала впечатляющим первым шагом на пути создания инструмента, являющегося ключом к приручению риска. Но общество еще не было готово к применению чисел для анализа связанных с риском ситуаций. Во времена Фибоначчи люди чаще связывали риск с капризами природы. Им нужно было еще научиться рассматривать его как творение рук человеческих и набраться смелости бороться с судьбой, прежде чем они смогли подойти к технологии его укрощения. Для этого понадобилось не менее двухсот лет.
***
Мы сможем в полной мере постигнуть значение достижений Фибоначчи, только обратив свой взгляд к эпохе, предшествующей его рассуждениям о том, как выразить различие между 10 и 100. Даже в ней мы найдем несколько замечательных новаторов.
Примитивный человек вроде неандертальца умел считать, но необходимость в счете возникала не часто. Он отмечал прошедшие дни зарубками на камнях или стволах деревьев или выкладывал дорожку камней, фиксируя число убитых животных. Время дня определялось по солнцу, и разница между пятью минутами и получасом вряд ли имела значение.
Первые систематические попытки измерений и счета были предприняты за несколько тысячелетий до Рождества Христова. Это началось, когда люди стали расселяться, чтобы выращивать хлеб, по долинам таких крупных рек, как Тигр и Евфрат, Нил, Инд, Янцзы, Миссисипи и Амазонка. Реки скоро превратились в торговые пути, по которым предприимчивые люди выходили к океанам и морям. Чтобы путешествовать на всё большие и большие расстояния, понадобились календарь, навигация и география, а они потребовали еще более точных расчетов.
Жрецы были первыми астрономами, а от астрономии произошла математика. Когда люди заметили, что зарубок на деревьях и камнях и дорожек из них уже недостаточно для решения новых задач, они стали группировать числа в десятки и двадцатки, которые было легко считать по пальцам на руках и ногах.
Хотя египтяне стали мастерами в астрономии и предсказании разливов и спада воды в Ниле, им, по-видимому, никогда не приходило в голову вмешиваться в подобные процессы и оказывать влияние на будущий ход событий. Их интеллекту, в котором доминировали обычаи, привычка к повторению годового цикла перемен и уважение к прошлому, были чужды перемены и активное отношение к будущему.
Около 450 года до Рождества Христова греки изобрели буквенную систему счисления, которая использовала 24 буквы греческого алфавита и три буквы, которые впоследствии вышли из употребления. Каждому числу от 1 до 9 соответствовала буква, а числа, кратные десяти, имели свои буквы. Например, символ π (пи) как первая буква греческого слова πέντε (пента), что означало 'пять', представлял 5; δ (дельта), первая буква от δέκα (дека), что означало 'десять', представляла 10; α (альфа), первая буква алфавита, представляла 1, и ρ (ро) представляла 100. Таким образом, 115 писалось как ро-дека-пента, или ρδπ. Евреи, пусть и семиты, а не индоевропейцы, использовали такую же буквенно-цифровую систему счисления.
Хотя относительное удобство этих буквочисел помогало людям строить сложные сооружения, путешествовать на большие расстояния и точнее фиксировать время, такая система счисления накладывала серьезные ограничения. Для сложения, вычитания, умножения и деления буквы можно использовать только с большим трудом, а считать в уме практически невозможно. Эти заместители чисел пригодны только для записи результатов вычислений, выполненных другими методами, чаще всего с помощью счетов. Счеты - древнейшее вычислительное устройство в истории - были незаменимы при выполнении расчетов, пока между 1000-м и 1200 годами после Рождества Христова на сцену не выступила индо-арабская цифровая система счисления.
На счетах каждому разряду числа соответствовали колонки из десяти костей; когда при сложении, например, в соответствующей колонке получалось число, большее десяти, сдвигалась фишка на следующей колонке, а на первой фиксировалось превышение результатом десяти, и т.д. Наши выражения "один в уме" и "три сверху" ведут свое происхождение от счетов.
***
Несмотря на ограниченные возможности этих ранних форм математики, они сделали возможным значительное развитие знания, в частности в геометрии - языке фигур - и ее многочисленных приложениях в астрономии, навигации и механике. Наиболее впечатляющих результатов добились греки и их коллеги в Александрии. Только Библия выдержала больше изданий и напечатана в большем количестве экземпляров, чем самая знаменитая книга Евклида "Начала" ("Elements").
Однако не научные открытия представляются нам самым главным достижением греков. В конце концов, храмовые жрецы Египта и Вавилона неплохо изучили геометрию задолго до Евклида, и даже знаменитая теорема Пифагора - квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов - использовалась в долине Тигра и Евфрата за 2000 лет до Рождества Христова.
Уникальной чертой греческого духа была приверженность к доказательствам. "Почему?" было для них важнее, чем "что?". Они смогли заново сформулировать самые сложные вопросы потому, что их цивилизация была первой в истории, относительно свободной от смирительной рубашки всемогущего жреческого сословия. Эти же обстоятельства сделали греков первыми в мире путешественниками и колонизаторами, превратившими бассейн Средиземного моря в сферу своих интересов.
Будучи в большей степени гражданами мира, греки отвергли простые и ясные заветы, оставленные им предшествующими обществами. Их не интересовали образцы; они искали универсальные понятия, применимые везде, в любом случае. Например, с помощью простого измерения можно убедиться, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Но греков интересует, почему это так во всех прямоугольных треугольниках, больших и малых, без единого исключения. Именно с этого времени доказательство, а не вычисление стало доминировать в математической науке.
Эта радикальная особенность древнегреческой методологии постижения мира заставляет нас еще раз задать вопрос - как случилось, что греки не открыли законы вероятности, вычислительные методы и даже простую алгебру. По-видимому, это объясняется тем, что, несмотря на все свои достижения, они зависели от неудобной системы счисления, использующей буквы вместо цифр. Тем же недостатком страдала и римская система, в которой для изображения, к примеру, числа 9 нужны две буквы и нельзя написать 32 как III и II, потому что было бы неясно, имеется в виду 32, 302, 3020 или еще большее число, представляемое комбинацией 3, 2 и 0. Такая система непригодна для вычислений.
Открытие более совершенной системы счисления задержалось примерно до 500 года после Рождества Христова, когда индусы изобрели цифры, которыми мы сегодня пользуемся. Кто придумал это удивительное новшество и какие обстоятельства привели к его распространению по всему Индийскому полуострову, остается тайной. Арабы впервые познакомились с новыми числами примерно через девяносто лет после того, как Мухаммед в 622 году основал ислам и его последователи, объединившись в могучую нацию, проникли в Индию и за ее пределы.