30. В гостях у Герцогини, кухарки и Чеширского Кота. Чеширский Кот должен обнаружить на подносе 2 кренделя: после того как он съест половину кренделей и еще 1 крендель, на подносе не останется ничего. Соня должна обнаружить на подносе 6 кренделей: после того как она съест половину кренделей и еще 1 крендель, на подносе останется 2 кренделя для Чеширского Кота. Мартовский Заяц увидел на подносе 14 кренделей: после того как он съел 7 кренделей и еще 1 крендель, на подносе осталось 6 кренделей. Болванщик увидел 30 кренделей: после того как он съел 15 кренделей и еще 1 крендель, на подносе осталось 14 кренделей.
Таким образом, скачала на подносе было 30 кренделей.
31. Сколько дней работал садовник? Работая добросовестно, садовник может заработать самое большее 3 – 26 = 78 кренделей. Он заработал только 62 кренделя. Значит, 16 кренделей он не получил из-за того, что отлынивал от работы. Каждый день, который садовник отлынивал от работы, он теряет 4 кренделя (разность между 3 кренделями, которые мог бы получить за добросовестную работу, и 1 кренделем, который взыскивается с него за безделье). Следовательно, садовник отлынивал от работы 4 дня и работал добросовестно 22 дня.
Проверка. За 22 добросовестно отработанных дня садовник заработал 66 кренделей. За 4 дня, которые он отлынивал от работы, садовник вернул 4 кренделя.
Таким образом, всего он получил 62 кренделя.
32. В котором часу? Неправильный ответ, который обычно приходится слышать: в 6 часов. Правильный ответ: в 5 часов.
В 5 часов первый удар часов Королевы совпадает с первым ударом часов Короля. Второй удар часов Королевы приходится по времени на третий удар часов Короля. Третий удар часов Королевы совпадает с пятым ударом часов Короля. На этом бой часов Короля заканчивается, а часы Королевы еще должны пробить 2 раза.
33. Сколько человек заблудилось в горах? Назовем одной порцией количество припасов, которое один человек съедает за день. У 9 человек первоначально было 45 порций (запас провизии на 5 дней). На второй день у них осталось только 36 порций. На второй же день они повстречали вторую группу, и 36 оставшихся порций хватило всем на 3 дня. Следовательно, всего должно было быть 12 человек.
Значит, во второй группе было 3 человека.
34. Сколько пролито воды? На пятый день, когда вода была пролита, ее оставалось на 8 дней. Пролитой воды хватило бы погибшему на 8 дней. Следовательно, пролито было 8 кварт воды.
35. Скоро ли на свободу? Когда тюремный надзиратель станет вдвое старше узника, разность их возрастов будет равна возрасту узника. Но разность возрастов не зависит от времени и по истечении срока заключения будет такой же, как сейчас, то есть равной 29 годам. Следовательно, в день выхода на свободу узнику исполнится 29 лет, а тюремному надзирателю, который вдвое старше, 58 лет.
Таким образом, узнику осталось провести в темнице еще 4 года.
36. Долго ли выбраться из колодца? Те, кто думают, что лягушка выберется из колодца за 30 дней, ошибаются: лягушка могла бы выбраться из колодца к вечеру на 28-й день. Действительно, утром на 2-й день лягушка находится на высоте 1 фут над дном колодца, утром на 3-й день – на высоте 2 фута и т. д. Наконец, утром на 28-й день лягушка находится на высоте 27 футов над дном колодца. К вечеру того же дня она достигнет верха и вылезет из колодца, после чего ей уже не придется соскальзывать вниз.
37. Успеет ли велосипедист на поезд? Велосипедист рассуждал неверно: он усреднял расстояния, а не время. Если бы со скоростью 4 мили в час, 8 миль в час и 12 миль в час он двигался одно и то же время, то его средняя скорость действительно составила бы 8 миль в час, но большую часть времени он затратил на подъем в гору (со скоростью 4 мили в час), а меньшую – на спуск под гору (со скоростью 12 миль в час).
Нетрудно подсчитать, сколько времени он пробыл в пути. Подъем в гору занял у него 1 ч, полчаса (или 30 мин) он затратил на передвижение по ровному участку дороги и треть часа (или 20 мин) на спуск под гору. Всего в пути он пробыл 1 ч 50 мин, опоздав к поезду на 20 мин.
38. Не опоздал ли пассажир на поезд? На первую станцию пассажир прибыл через минуту после того, как ушел поезд. Десять миль в час – это одна миля за 6 мин или полторы мили за 9 мин. Таким образом, на следующую станцию поезд прибыл через 8 мин после того, как пассажир прибыл на первую станцию. На следующей станции поезд стоял 14 1/2 мин, поэтому у пассажира было в запасе 22 1/2 мин, чтобы успеть сесть на поезд на следующей станции. Четыре мили в час – это 1 миля за 15 мин, или полторы мили за 22 1/2 мин. На следующую станцию пассажир прибудет как раз вовремя, чтобы успеть сесть на поезд.
39. Далеко ли до школы? Разница во времени между опозданием на 5 мин и приходом за 10 мин до начала урока составляет 15 мин. Следовательно, если мальчик будет идти в школу со скоростью 5 миль в час, то он сэкономит 15 мин (по сравнению с тем, сколько он затратил бы на дорогу, если бы шел со скоростью 4 мили в час). Пять миль в час – это одна миля за 12 мин, а 4 мили в час – это 1 миля за 15 мин. Следовательно, идя быстрее, мальчик экономит по 3 мин на каждой миле, а 15 мин – на расстоянии 5 миль.
Значит, школа находится в 5 милях от дома.
Проверка. Идя со скоростью 5 миль в час, мальчик затрачивает на дорогу один час, а идя со скоростью 4 мили в час, – час с четвертью (за час он проходит первые 4 мили, а за четверть часа – последнюю милю), то есть 1 ч 15 мин. Разница по времени действительно составляет 15 мин.
40. Разве не печально? История действительно немного печальная, так как при подсчете барышей и убытков торговец произведениями искусства просчитался: в тот день он не только ничего не заработал, но и потерпел убыток в 20 долларов.
Попробуем разобраться, почему так получилось. Первую картину он продал с 10 %-ной прибылью. От продажи ее он выручил 990 долларов. За сколько он купил ее? Так как прибыль составляет 10 % не от 990 долларов, а от первоначальной стоимости картины, то 990 долларов – это 110 % от первоначальной стоимости картины, или 11/10. Следовательно, за картину торговец заплатил 10/11 от 990, то есть 990 долларов.
[Проверка. За картину торговец заплатил 900 долларов, 10 % от 900 составляют 90 долларов, поэтому от продажи картины он выручил 990 долларов, получив при этом прибыль 90 долларов.]
А как обстоит дело со второй картиной? От продажи ее торговец потерял 10 % от ее первоначальной стоимости, поэтому вторую картину он продал за 90 %, или 9/10, от ее первоначальной стоимости. Следовательно, при покупке второй картины торговец заплатил за нее 10/9 от 990 долларов, то есть 1100 долларов.
[Проверка. За вторую картину торговец заплатил 1100 долларов, 10 % от 1100 составляют 110 долларов, поэтому он продал ее за 1100 – 110 = 990 долларов.]
Таким образом, от продажи второй картины он потерпел убыток в ПО долларов, а от продажи первой картины получил прибыль всего 90 долларов. Следовательно, в тот день он потерял всего 20 долларов.
41. Кто старше? Прежде всего вычислим, через сколько дней часы Болванщика и Мартовского Зайца покажут одно и то же время. Так как часы Мартовского Зайца отстают с такой же скоростью, с какой спешат часы Болванщика, то в следующий раз они покажут одно и то же время, когда часы Болванщика уйдут вперед на 6 ч, а часы Мартовского Зайца отстанут на 6 ч. (На тех и других часах будет 6 ч, причем и те и другие часы будут показывать неверное время.) За сколько дней часы Болванщика уйдут вперед на 6 ч. За час они уходят вперед на 10 с, за 6 ч – на 1 мин, за сутки – на 4 мин, за 15 суток – на 1 ч, за 90 суток (дней на календаре) – на 6 ч. Таким образом, через 90 дней на часах Болванщика и Мартовского Зайца стрелки снова будут показывать одно и то же время.
Нам неизвестно, в какой из дней января Болванщик и Мартовский Заяц поставили на своих часах точное время.
Но если бы это произошло в любой из дней, кроме 1 января, то день, когда часы Болванщика и Мартовского Зайца в следующей раз покажут одно и то же время (а это событие, как мы установили, произойдет через 90 дней), пришелся бы не на март, а на апрель (или даже на май). Следовательно, Болванщик и Мартовский Заяц могли сверить свои часы только 1 января. Но даже в этом случае их часы покажут в следующий раз одно и то же время в марте только при условии, если год високосный! (В этом читатель без труда убедится с помощью календаря: через 90 дней после 1 января в обычный год наступает 1 апреля, а в високосный год – 31 марта!) Тем самым доказано, что 21 день рождения Мартовского Зайца приходится на високосный год. Следовательно, Мартовский Заяц мог родиться в 1843, а не в 1842 году или 1844 году. (Через 21 год после 1843 года наступает високосный 1864 год.) По условиям задачи только один из двух (либо Мартовский Заяц, либо Болванщик) родился в 1842 году. Следовательно, в 1842 году родился Болванщик. Значит, Болванщик старше Мартовского Зайца.
Глава 5
42. Появление первого шпиона. С заведомо не может быть рыцарем, так как ни один рыцарь не стал бы лгать и утверждать, будто он шпион. Следовательно, С либо лжец, либо шпион. Предположим, что С шпион. Тогда показание А ложно, значит, А шпион (А не может быть шпионом, так как шпион С) и рыцарем может быть только В. Но если В рыцарь, то как он мог дать ложные показания, утверждая, будто А рыцарь? Следовательно, предположение о том, что Сшпиои, приводит к противоречию. Значит, С лжец. Тогда показание В ложно, поэтому В либо лжец, либо шпион. Но так как лжец В, то шпионом должен быть А. Следовательно, А может быть только рыцарем.
Итак, А рыцарь, В шпион и С лжец.
43. Глупый шпион. Ложное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: "Я лжец".
Рыцарь никогда не лжет и поэтому не станет утверждать о себе, будто он лжец. С другой стороны, лжец никогда не говорит правды и не станет признаваться, что он лжец. Только шпион может сделать ложное признание, будто он лжец.
44. Еще один глупый шпион. Истинное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: "Я не рыцарь". Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы сказать о себе такое. Рыцарь никогда не лжет и не станет утверждать, будто он не рыцарь. Лжец всегда лжет и не станет признаваться, что он не рыцарь. Значит, такое заявление мог бы сделать только шпион.
45. Хитрый шпион. Если бы А ответил на вопрос судьи "да", то тем самым он изобличил себя как шпиона, так как судья (вместе с присяжными) мог бы рассуждать следующим образом:
"Предположим, что В шпион. Тогда все трое обвиняемых дали бы правдивые показания, что невозможно, так как один из них лжец. Следовательно, В не может быть шпионом. Значит, его показание ложно, поэтому В лжец. Показание С также ложно, а поскольку С не лжец (ибо лжец В), то он шпион".
Таким образом, если бы на вопрос судьи С ответил "да", то он был бы изобличен как шпион. Зная это, С благоразумно ответил "нет", лишив тем самым суд возможности установить, шпион он или коренной житель. (Суду удалось лишь установить, что либо С рыцарь, а В шпион, либо С лжец, а А шпион, либо С шпион.)
46. Кто Мердок? Так как А утверждает, что он шпион, то А либо лжец, либо шпион. Аналогичным образом, так как С утверждает, что он шпион, С либо лжец, либо шпион. Следовательно, из двух подсудимых А и С один лжец, а другой шпион. Значит, В рыцарь и дал на суде правдивые показания: А шпион.
47. Возвращение Мердока. Если А Мердок, то все три показания истинны, что невозможно, так как один из троих подсудимых лжец. Если С Мердок, то все три показания ложны, что также невозможно, так как один из троих подсудимых рыцарь. Следовательно, Мердоком должен быть В.
48. Более интересный случай. Задачу невозможно было бы решить, если бы в условиях не было ссылки на то, что суд изобличил шпиона, после того как на него указал С: ведь мы знаем, что суд смог установить, кто из троих шпион, и это весьма важная "зацепка"!
Предположим, что С обвинил А в том, что тот шпион. Располагая этими данными, судья не мог бы решить, кто шпион, поскольку они позволяют лишь утверждать, что либо А шпион, В лжец и С рыцарь либо В шпион, А рыцарь и С лжец, либо С шпион, А лжец и В рыцарь.
Таким образом, если С указал на А как на шпиона, то судья не мог бы изобличить настоящего шпиона.
Посмотрим теперь, что произошло бы, если бы С указал на В. Тогда В обвиняли бы в том, что он шпион, двое: А и С. Выдвинутые А и С обвинения либо оба истинны, либо оба ложны. Если бы они были оба истинны, то В действительно был бы шпионом, а так как А vi С оба сказали правду, они оба должны были бы быть рыцарями ("вакансия" шпиона занята В). Но по условиям задачи среди подсудимых А, В и С не может быть двух рыцарей. Следовательно, предъявленные В обвинения в шпионаже ложны. Значит, В не шпион. Мог бы А быть шпионом? Нет, так как если бы А был шпионом, то взаимные обвинения В и С в шпионаже были бы ложны. Следовательно, В и С были бы (оба) лжецами (что противоречит условиям задачи.) Остается единственно возможный случай: шпион С (В, обвинивший С в шпионаже, рыцарь, а А, обвинивший В, лжец).
Итак, если С указал на А как на шпиона, то судья не смог бы установить, кто из троих в действительности шпион. Но если С указал на В, то судья смог бы решить что шпион С. А так как судья знал, на кого показал А, то С должен был указать на В, и судья на основании полученных данных изобличил С в шпионаже.
49. Еще более интересный случай. Мыне знаем, что ответили А и В, поэтому нам необходимо рассмотреть четыре возможных случая:
1) А и В оба сказали "да":
2) А сказал "нет", В сказал "да";
3) А сказал "да", В сказал "нет";
4) А и В оба сказали "нет".
Все эти четыре случая встретятся нам и в следующих двух задачах, поэтому мы тщательно проанализируем их сейчас.
Случай 1: А и В оба сказали "да". Так как А утверждает, что он шпион, то А либо лжец, либо шпион (рыцарь не станет называть себя шпионом). Если А лжец, то он солгал и в том случае, когда утверждал, что занимается шпионажем. Следовательно, В солгал, утверждая, что А сказал правду. Значит, В не рыцарь, а поскольку А лжец, то В шпион, и, наконец, С должен быть рыцарем. Таким образом, если А лжец, то В шпион, а С рыцарь.
Предположим теперь, что А шпион. Тогда он сказал правду, поэтому В, утверждая, что А сказал правду, не погрешил против истины. Следовательно, В должен быть рыцарем. Но тогда С может быть только рыцарем. Таким образом, если А лжец, то В шпион, а С рыцарь. Запишем оба возможных варианта (1а и 1б) случая 1 в следующем виде:
Случай 2: А сказал "нет", В сказал "да". Так как А отрицает, что он шпион, то А либо рыцарь, либо шпион (лжец солгал бы и сказал бы о себе, что он шпион). Если А рыцарь, то он сказал правду. Значит, В также сказал правду, когда заявил, что А сказал правду, поэтому В не может быть лжецом.
Следовательно, В должен быть шпионом. Но тогда С может быть только лжецом.
Если А шпион, то он солгал. Следовательно, В также солгал, когда утверждал, что А сказал правду. Значит, В лжец, и тогда С может быть только рыцарем. Оба возможных варианта случая 2 (2а и 26) запишем в следующем виде:
Случай 3: А сказал "да", В сказал "нет". Так как А утверждает о себе, что он шпион, то (как и в случае 1) А должен быть лжецом или шпионом. Если А лжец, то он солгал, но тогда В сказал правду. Значит, либо В рыцарь (и С шпион), либо В шпион (и С рыцарь). Если А шпион, то он сказал правду, но тогда В солгал. Значит, В лжец и С рыцарь. Таким образом, в случае 3 возможны три варианта:
Случай 4: А и В оба сказали "нет". Так как А отрицает, что он шпион, то (как в случае 2) А либо рыцарь, либо шпион. Предположим, что А рыцарь. Тогда А сказал правду, а В солгал. Следовательно, В лжец (а С шпион) или В шпион (а С лжец). Предположим, что А шпион. Тогда он сказал правду. Значит, В также сказал правду, поэтому В рыцарь (а С лжец). Таким образом, в случае 4 возможны три варианта (как и в случае 3):
Для удобства сведем все четыре случая в одну таблицу.