Решение. Все мудрецы знают, что хотя бы один из них в желтом колпаке. Если последний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: "На мне желтый колпак". Если он назвал другой цвет или не смог определить цвет своего колпака, то он видит перед собой хотя бы одного мудреца в желтом колпаке. Тогда если предпоследний мудрец не видит перед собой желтого колпака, то он скажет: "На мне желтый колпак". Аналогичные рассуждения верны и для следующих мудрецов. Поэтому рано или поздно кто-то скажет, что желтый колпак на нем. Точно так же доказывается, что каждый из трех цветов будет назван хотя бы одним мудрецом.
6) Придумайте ситуацию, в которой верно ответить на вопрос смогут четыре из пяти мудрецов.
Решение. Например, колпаки надеты в таком порядке: желтый, желтый, красный, зеленый, зеленый (а второй красный спрятан). Пятый мудрец не может отличить, красный на нем колпак или зеленый, и ответит "Не знаю". Четвертый видит перед собой два желтых колпака и понимает, что на нем не желтый. А еще он видит красный колпак третьего мудреца и понимает, что если бы на нем тоже был красный колпак, то пятый бы без труда определил цвет своего зеленого колпака. Итак, четвертый понимает, что на нем зеленый колпак, и сообщает об этом.
Третий понимает, что если бы на нем тоже был зеленый колпак, то пятый бы определил цвет своего красного колпака. Третий также видит желтые колпаки первых двух и делает вывод, что на нем красный колпак.
Второй думает: "Если на мне красный колпак, то третий видит перед собой желтый и красный колпаки, а слышал до этого ответы "Не знаю" и "Зеленый". Как же третий мог различить, желтый или красный на нем колпак? А если на мне зеленый, то четвертый видел перед собой три разных колпака и слышал от пятого "Не знаю". Как же он определил цвет своего колпака?" Итак, второй методом исключения тоже поймет, что на нем желтый колпак.
Первый думает: "Пусть на мне красный колпак. Тогда третий видел перед собой желтый и красный колпаки, а слышал до этого ответы "Не знаю" и "Зеленый". В таком случае желтый и красный цвета с точки зрения третьего равноправны. Как же он сделал выбор? Значит, на мне не красный колпак. Пусть на мне зеленый колпак. Тогда четвертый видел перед собой три колпака разных цветов, а слышал только ответ "Не знаю". Как же он мог сделать выбор? Значит, на мне и не зеленый колпак. Остается желтый".
Упрощенный вариант
Сценарий. Обсуждается та же задача 10.13. Учитель приглашает пятерых "мудрецов", просит их закрыть глаза и надевает им пять колпаков, а шестой прячет. Затем мудрецы открывают глаза и, начиная с последнего, либо называют цвет своего колпака, либо говорят "Не знаю". Все ошибки предлагается исправлять на месте с помощью зрителей или учителя. Например, если "мудрец" должен был сказать "Не знаю", но вместо этого случайно верно назвал цвет своего колпака, можно достать спрятанный колпак и сказать: "Но ведь могло быть и так!", после чего "отрубить голову". А если "мудрец" мог бы догадаться, но говорит "Не знаю", подсказать примерно так: "Представь, что на тебе желтый колпак. Что бы тогда видел стоящий за тобой? И что бы он сказал? Почему же он сказал "Не знаю"? Так какой же на тебе колпак?" Если какая-то ситуация пошла с трудом, можно повторить ее, поменяв, например, все желтые колпаки на красные, а красные – на желтые.
Колпаки на мудрецах такие:
1) Красный, красный, желтый, желтый, зеленый (а второй зеленый спрятан).
Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.
2) Желтый, зеленый, желтый, зеленый, красный.
Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.
3) Красный, желтый, желтый, красный, зеленый.
Ответ. Определить цвет своего колпака могут все.
4) Желтый, красный, зеленый, желтый, красный.
Ответ. Два последних скажут "Не знаю", а три первых назовут цвет.
5) Зеленый, желтый, красный, красный, зеленый.
Ответ. Два последних скажут "Не знаю", а три первых назовут цвет.
6) Желтый, желтый, красный, зеленый, зеленый.
Ответ. Последний скажет "Не знаю", а остальные назовут свой цвет.
7) Красный, желтый, красный, зеленый, зеленый.
Ответ. Пятый и третий скажут "Не знаю", а остальные назовут свой цвет.
Два мудреца и последовательные числа
Задача 10.14. 1) Двум мудрецам написали на лбу по натуральному числу и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели друг на друга, между ними состоялся такой диалог:
А: "Я не знаю моего числа".
Б: "А я знаю мое число".
Какие числа были написаны?
Решение. Если бы А увидел число 1, то он бы понял, что у него на лбу число 2. То есть А фактически сообщил Б, что у него не 1. Если Б увидел число 2, то он сделал вывод, что у него самого – 3. Если Б увидел 1, то он независимо от слов А понял, что у него самого 2. А если бы Б увидел другое число, он не смог бы определить свое число.
Ответ. Либо у А написано число 2, а у Б – число 3, либо у А – число 1, а у Б – число 2.
Сценарий. После разбора этой задачи можно поиграть с числами чуть побольше (3 и 4, 4 и 5, 5 и 6). Рисовать каждый раз на лбу необязательно, можно использовать наклейки на лоб, а чтобы зрителям было труднее, можно писать числа на бумажках. Двум школьникам дают написанные на бумажках последовательные числа (причем делать это могут зрители), а они по очереди говорят, знают ли они, что написано на бумажке у второго "мудреца". Когда один из них скажет "Знаю", зрители должны догадаться, какие у них числа, и проверить, не ошибся ли кто-то из "мудрецов". Интересно сравнить, как изменится диалог, если дать мудрецам те же числа, но в обратном порядке. Экспериментируя, школьники могут заметить, что первым догадывается о числе партнера тот из мудрецов, кто видит меньшее число. После этого можно предложить исследовать ситуацию в общем виде.
2) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:
А: "Я не знаю твое число".
Б: "И я не знаю твое число".
А: "И я не знаю твое число".
…
а) Докажите, что рано или поздно кто-то из мудрецов сможет сказать: "Теперь я знаю твое число".
б) От чего (от написанных чисел или от того, кто начал диалог) зависит, кто из мудрецов первым узнает число другого?
в) Докажите, что второй мудрец сможет сказать в ответ: "И я теперь тоже знаю твое число".
Решение, а) Произнося по очереди "Я не знаю твое число", мудрецы сообщают друг другу следующую информацию:
А: "У меня не 1";
Б: "У меня не 1 и не 2";
А: "У меня не 1, не 2 и не 3" и так далее, прибавляя по одному числу с каждым новым высказыванием.
Ясно, что это не может продолжаться бесконечно.
б) Пусть одному из мудрецов (неважно, А или Б) написали меньшее число n, а второму – большее число n + 1. До (n - 1) – го высказывания никто из них не знает, какое число у партнера. Если (n - 1) – е высказывание делает второй, то первый поймет, какое у него число, и скажет об этом. Если (n - 1) – е высказывание делает первый, то второй не сможет сразу определить, какое число у первого, n или n + 2, и сделает n-е высказывание: "И я не знаю твое число". А первый теперь все поймет.
в) Как выяснилось в предыдущем пункте, сказав "Теперь я знаю твое число", первый мудрец фактически сообщает: "Мое число меньше твоего". Второму мудрецу остается лишь отнять 1 от своего числа.
3) Каждому из двух мудрецов дали бумажку с написанным на ней натуральным числом и сообщили, что эти числа последовательные. Когда мудрецы посмотрели на числа, между ними состоялся такой диалог:
А: "Я не знаю твое число".
Б: "И я не знаю твое число".
А: "И я не знаю твое число".
Б: "И я не знаю твое число".
После того как каждый сообщил о своем незнании 10 раз, мудрец А сказал: "Теперь я знаю твое число". Какие числа были написаны на бумажках?
Ответ. Либо у А число 20, а у Б число 21, либо у А число 21, а у Б число 22.
Решение. После первой реплики А мудрец Б понимает, что у А не число 1. Если бы у Б было число 2, он бы понял, что у А число 3. По его первой реплике ясно, что это не так (а также что у Б не 1), и мудрец А делает вывод, что у Б не 1 и не 2. Рассуждая аналогично, делаем два вывода. Во-первых, после десятой реплики А мудрец Б понимает, что у А не числа от 1 до 19 включительно. Во-вторых, после десятой реплики Б мудрец А понимает, что у Б не числа от 1 до 20 включительно. Понять после этого, какое у Б число, мудрец А мог в двух случаях: если у него самого число 20, то у Б число 21, а если у А число 21, то у Б – 22.
Дополнительные задачи
Трудные задачи решаем немедленно, невозможные – чуть погодя.
"Все" и "некоторые"
Задача Д1. На крыльце дома сидят рядом мальчик и девочка. Саша говорит: "Я мальчик". Женя говорит: "Я девочка". Хотя бы один из них врет. Кто мальчик, а кто девочка?
Задача Д2. В некоем конгрессе заседают 100 политических деятелей. Каждый из них либо продажен, либо честен. Известно, что:
1) по крайней мере один из конгрессменов честен;
2) из каждой произвольно выбранной пары конгрессменов по крайней мере один продажен.
Сколько честных политических деятелей в этом конгрессе?
Задача ДЗ. Из трех мальчиков, которых зовут Антон, Ваня и Саша, только один всегда говорит правду. Антон сказал: "Ваня не всегда говорит правду", Ваня сказал: "Я не всегда говорю правду", а Саша сказал: "Антон не всегда говорит правду". Кто же из них всегда говорит правду, если известно, что по крайней мере один из них солгал?
Задача Д4. Истинно или ложно высказывание "Нет правил без исключения"? (Данное высказывание тоже является правилом.)
Задача Д5. Сформулируйте отрицание к утверждению: "Каждый охотник желает знать, где сидит фазан". Предложите несколько вариантов.
Задача Д6. Встретились несколько жителей острова рыцарей и лжецов, и каждый заявил всем остальным: "Вы все – лжецы". Сколько рыцарей было среди них?
Задача Д7. Какие из четырех утверждений верны, а какие нет? Почему?
1) Все прямоугольники – квадраты.
2) Все квадраты – прямоугольники.
3) Некоторые прямоугольники – квадраты.
4) Некоторые квадраты – прямоугольники.
Задача Д8. 1) Неверно, что все друзья моего друга – мои друзья. Что тогда верно?
2) Неверно, что все ананасы неприятны на вкус. Что тогда верно?
3) Неверно, что некоторые волки – оборотни. Что тогда верно?
Задача Д9. Во всех зоопарках, где есть гиппопотамы и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть гиппопотамы. Наконец, во всех зоопарках, где есть гиппопотамы и жирафы, есть и носороги. Может ли существовать такой зоопарк, в котором есть гиппопотамы, но нет ни жирафов, ни носорогов?
Союзы "и", "или"
Задача Д10. Аня просит купить яблоки и сливы, Боря – яблоки или абрикосы, Витя – абрикосы или персики, Галя – яблоки и персики. Денег у мамы хватает только на 3 вида фруктов. Как ей выполнить пожелания всех детей?
Задача Д11. Замените высказывания барона Мюнхгаузена на противоположные:
1) Луна сделана из сыра, а Солнце из масла.
2) Я видел медведя, а он меня – нет.
3) Я не боюсь ни львов, ни крокодилов.
4) Лошадь заблудилась или ее засыпало снегом.
5) Я отправился в разведку на коне или на ядре.
Задача Д12. Первого апреля кто-то поменял таблички
на дверях в учительскую, столовую и спортзал. Ни одна из трех новых табличек: "Столовая", "Спортзал", "Столовая или спортзал" не соответствует действительности. Куда ведет дверь с табличкой "Спортзал"?
Задача Д13. Судья допрашивает трех свидетелей. Жан утверждает, что Жак лжет, Жак обвиняет во лжи Руссо, а Руссо уговаривает не верить ни Жану, ни Жаку. Кто из свидетелей говорит правду?
Задача Д14. Перед нами два жителя острова рыцарей и лжецов, А и Б. А говорит: "Я лжец, а Б рыцарь". Кто А и кто Б?
Задача Д15. Как-то встретились три жителя острова рыцарей и лжецов: Ах, Ох и Ух. Один из них сказал: "Ах и Ох – оба лжецы", другой сказал: "Ах и Ух – оба лжецы" (но кто именно что сказал – неизвестно). Сколько всего лжецов среди этих трех аборигенов?
Задача Д16. Житель острова рыцарей и лжецов А в присутствии другого жителя этого острова Б сказал: "По крайней мере один из нас лжец". Кто такой А и кто такой Б?
Задача Д17. На острове живут рыцари, лжецы и хитрецы, которые могут как говорить правду, так и лгать. Путешественник встретил двух островитян. На вопрос "Вы оба лжецы?" каждый ответил "Да". Что можно узнать по этому ответу?
Задача Д18. Среди трех человек, А, Б и В, есть рыцарь, лжец и хитрец. Они сказали:
А: "Я хитрец".
Б: "И А, и В иногда говорят правду".
В: "Б хитрец".
Кто из них рыцарь, кто лжец, а кто хитрец?
Задача Д19. Девять школьников, остававшихся в классе на перемене, были вызваны к директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы:
Володя: "Это сделал Саша".
Аня: "Володя лжет!"
Егор: "Маша разбила".
Саша: "Аня говорит неправду!"
Рома: "Разбила либо Маша, либо Нина".
Маша: "Это я разбила!"
Нина: "Маша не разбивала!"
Коля: "Ни Маша, ни Нина этого не делали".
Олег: "Нина не разбивала!"
Кто разбил окно, если известно, что из этих девяти высказываний истинны только три?
Задача Д20. Незнайка лжет по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: "Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра"?
Задача Д21. На заседании Государственной думы на острове рыцарей и лжецов часть депутатов утверждала, что и во фракции рыцарей, и во фракции лжецов четное число депутатов. Остальные же доказывали, что и в той, и в другой фракции нечетное число депутатов. Подводя итоги, спикер заметил, что всего в думе 213 депутатов. Кто он – рыцарь или лжец?
Следствие
Задача Д22. Если волк встретит зайца, то сразу съест его. Волк, съевший зайца, радуется. По лесу идет радостный волк. Означает ли это, что он встретил зайца?
Задача Д23. Известно, что:
• Если Иван – брат или сын Марьи, то Иван и Марья – родственники.
• Иван и Марья – родственники.
• Иван – не сын Марьи.
Можно ли вывести следствие, что Иван – брат Марьи?
Задача Д24. Житель острова рыцарей и лжецов сказал, показав на другого жителя: "Если я рыцарь, то он – лжец". Можете ли вы определить, кто есть кто?
Задача Д25. У одного из трех друзей: Львова, Волкова и Щукина – дома живет кошка, у другого собака, а третий разводит рыбок. Если у Щукина собака, то у Волкова кошка. Если у Щукина кошка, то у Волкова аквариум. Если у Волкова нет собаки, то и у Львова нет собаки. Если у Львова рыбки, то у Щукина – кошка. Кто у кого живет?
Задача Д26. Серый волк позвонил на Бейкер-стрит и заявил, что у него украли очень ценную вставную челюсть, инкрустированную бриллиантами. Подозреваемые – Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф. Известно, что:
1) каждый из троих подозреваемых в день кражи был у волка и никто другой в краже не участвовал;
2) если Ниф-Ниф виновен, то у него был ровно один сообщник;
3) если Нуф-Нуф невиновен, то невиновен также и Наф-Наф;
4) если Наф-Наф невиновен, то невиновен также и Нуф-Нуф;
5) если виновны двое, то Ниф-Ниф – один из них.
Кому Шерлок Холмс предъявит обвинение?
Задача Д27. У Кролика украли бочонок меда. Кролик подозревает в краже ослика Иа-Иа, Винни-Пуха, Тигру и Пятачка. Неопровержимыми уликами доказано, что:
1) кто-то из них обязательно виновен;
2) никто больше не мог польститься на мед;
3) Пятачок всегда действует только вместе с Винни;
4) если Иа-Иа виновен, то у него было ровно два соучастника;
5) если виновен Тигра, то у него был ровно один соучастник.
Чья вина не вызывает сомнения?
Задача Д28. В строку записано 9 чисел.
1) Верно ли, что если сумма любых четырех соседних чисел положительна, то и сумма всех девяти чисел положительна?
2) Верно ли, что если сумма любых четырех из них положительна, то и сумма всех девяти чисел положительна?
Выводы
Задача Д29. Определите, какие из приведенных рассуждений истинны, а какие ложны.
1) Некоторые улитки являются горами. Все горы любят кошек. Значит, все улитки любят кошек.
2) Две поляны никогда не похожи одна на другую. Сосны и ели выглядят совершенно одинаково. Значит, сосны и ели не являются двумя полянами.
Задача ДЗО. Сделайте вывод (наиболее полный), если это возможно.
1) Ни у одного ископаемого животного не может быть несчастной любви. У устрицы может быть несчастная любовь.
2) Это свыше моего терпения! Со мной никогда не случалось ничего, что было бы свыше моего терпения.
3) Ни один император не стоматолог. Всех стоматологов боятся дети.
4) Дети нелогичны. Тот, кто управляет крокодилами, достоин уважения. Нелогичные персоны не достойны уважения.
5) Мои кастрюли – это единственное, что сделано из олова. Я считаю, что все твои подарки довольно полезны. Мои кастрюли – самые бесполезные вещи в доме.
Задача Д31. В магазине продаются два вида булочек: с изюмом и с джемом. Известно, что булочки с изюмом всегда мягкие; некоторые мягкие булочки привезены сегодня утром; все мягкие булочки вкусные.
Следует ли из этого, что:
1) все мягкие булочки – это булочки с изюмом;
2) все булочки с изюмом вкусные;
3) все булочки с джемом жесткие;