3.1.3. Единство природы и проблема поиска универсальной теории в современной физике. Если обратиться к современному состоянию естественных наук, то мы обнаружим, что проблема построения единой теории остается все такой же актуальной. А приблизительно с середины XX в. она наполняется все более конкретным содержанием и приобретает научную остроту, а именно становится очевидным, что в настоящее время у нас нет даже единой физической теории. В начале XX в. были сформулированы столпы современной физики – теория относительности и квантовая теория. Эти теории знаменуют собой отказ от ньютоновской механики. Во-первых, теория относительности утверждает, что пространство и время не являются абсолютными, не являются "вечным фоном", на котором "разыгрываются" физические явления. Во-вторых, квантовая теория представляет собой новую теорию материи и излучения. К сожалению, основным результатом физики XX в. следует признать, что относительно двух наиболее перспективных теоретических направлений – теории относительности и квантовой механики – нет единого мнения (например, Э. Шрёдингер в своих построениях отказался от теории относительности; хотя квантовая механика и совместима со специальной теорией относительности (эти две теории относительно независимы, а квантовая теория поля может быть построена и в нерелятивистском ключе)). Поскольку мы не готовы отказаться от представления о единстве природы – напротив, это, наверное, самое глубокое основание для признания единства науки, необходимо либо (1) согласовать указанные противоборствующие теории, либо (2) сформулировать новую, обобщающую их теорию. В этой связи Л. Смолин называет пять проблем, решение которых позволит завершить революцию в физике, начавшуюся в конце XIX в.:
1. Объединение общей теории относительности и квантовой теории в одну теорию, которая может претендовать на роль полной теории природы.
2. Решение проблемы обоснования квантовой механики или путем перестройки имеющейся теории (с тем, чтобы избавится от влияния наблюдателя на наблюдаемые явления), или путем создания новой теории.
3. Определение того, могут или нет различные частицы и силы быть объединены в теорию, которая объясняет их все как проявление единственной фундаментальной сущности.
4. Объяснение того, как в природе выбираются величины свободных констант в стандартной модели физики частиц.
5. Объяснение темной материи и темной энергии. Или, если они не существуют, определение того, как и почему гравитация модифицируется на больших масштабах. В общем виде – объяснение того, почему константы стандартной модели космологии, включая темную энергию, имеют те величины, которые имеют.
Все эти пять проблем современной физики имеют глубокие философские (теоретико-познавательные и онтологические, если не сказать более смело – метафизические) корни. Так, физикитеоретики стремятся к тому, чтобы физические теории были адекватны природе самой по себе, но относительно квантовой теории имеет место спор о полноте этой теории. С одной стороны, квантовая теория предполагает ключевую роль наблюдателя, с другой – противники человеческого влияния на объекты науки склонны считать квантовую теорию неполным описанием физических явлений микромира. Указанную проблему можно разрешить несколькими способами: попытаться сформулировать новую теорию взамен квантовой; обнаружить интерпретацию квантовой теории, которая бы удовлетворяла всех и в которой бы наблюдение и измерение не играли такой существенной роли; исправить недостатки языка квантовой теории, что предполагает осмысленное разделение природы на мир наблюдателя и систему природы саму по себе. В 1970-х гг. была создана стандартная теория (у ее истоков стояли Ш. Л. Глэшоу, С. Вайнберг, А. Салам, получившие в 1979 г. Нобелевскую премию "за вклад в объединенную теорию слабых и электромагнитных взаимодействий между элементарными частицами, в том числе предсказание слабых нейтральных токов"), которая до настоящего времени принимается в качестве объяснения микрочастиц и взаимодействий. К сожалению, она слишком громоздка, имеет проблемы с объяснением гравитации, а также слишком длинный список констант относительно статуса, которых нет единого мнения.
Одной из наиболее перспективных альтернатив стандартной теории является теория струн. В рамках теории струн за последние 20 лет были сделаны весьма большие успехи. Тем не менее, к сожалению, в настоящее время мы имеем не одну теорию струн, не две-три, а несколько десятков или даже сотен различных теорий. Какая из них способна стать парадигмой физики, единой теорией природы? Возможно, ответ на этот вопрос будет получен в ходе обобщения экспериментальных данных, получаемых в настоящее время на Большом адронном коллайдере в ЦЕРН.
3.2. Философские проблемы математических наук
3.2.1. История формирования философских представлений об объекте и предмете математики. Объект познания – это то, на что направлено внимание исследователя. А направлено оно на сущность вещи. Отсюда возникает понятие "объективное знание" – знание природы объекта.
Не будет преувеличением сказать, что объектом математического знания начиная с Античности становится мир в целом. Все остальные науки изучали отдельные роды сущего (существующего), математика же была знанием в чистом виде, знанием истины как таковой. Этот объект математика сохраняет за собой по сей день, что роднит ее с философией и теологией. Мир как целое представлен в виде системы. Античность выражает системность мира через такие категории как порядок, симметрия, гармония, определенность, мера. Представленная таким образом системность мира и становится объектом математики в строгом смысле слова.
Предмет науки – это та часть объекта, изучая которую, мы сможем раскрыть его природу, решить задачу, поставленную исследованием. В Античности предметом математики становятся числа и геометрические фигуры, которые позволяют выразить и объяснить размерность, определенность, порядок, симметрию, гармонию мира, одним словом, его красоту.
Изменение предмета математики происходит в эпоху Нового времени. Это было связано с возникновением алгебры.
Идеологом алгебры в европейской математике стал Р. Декарт. Не он ее изобрел, но именно он стал систематически применять алгебраические методы решения геометрических задач. Для Античности существовала принципиальная разница между арифметикой, предметом которой было число, и геометрией, предметом которой были геометрические фигуры. Число рассматривалось как чисто идеальный объект, который может быть дан только в мышлении, а геометрические объекты даны не только в мышлении, но и в воображении. В результате Античность приписывала числу более высокий онтологический статус (чистого идеального бытия) и не допускала возможности сведения геометрии к арифметике.
Декарт деонтологизирует математику: неважно, какова природа числа или отрезка, важно, что по отношению к ним можно выполнять одни и те же операции.
Алгебру можно определить как совокупность n-арных операций, определенных на некотором множестве объектов. Математика становится наукой не о числах или геометрических фигурах, предметом математики становятся универсальные операции, применимые к объектам. Математическое мышление приобретает операциональный и инструментальный характер.
В современной математике нет единства в понимании ее предмета. Общей для представителей различных подходов является вера в то, что данная область знания описывает структуру мира. В этом смысле математику можно определить как науку о собрании абстрактных форм – структур. Данные структуры задаются системой аксиом, которые определяют математическое многообразие возможностей опыта. Важно, что одна и та же математическая структура может быть интерпретирована на различных чувственно воспринимаемых моделях. В результате уровень данных структур рассматривается в науке как самый глубокий уровень реальности. При этом все формы движения материи – физическая, химическая, биологическая, социальная, психическая и др. – становятся лишь внешними формами проявления этого глубинного уровня реальности.
Это возвращает нас к сформировавшемуся еще в Античности пониманию математики как науки, объектом которой является изучение структуры мира в предельно общей (идеальной) форме, а предметом – особого рода математические объекты.
Для истории и философии математики важным является вопрос об онтологическом и эпистемологическом статусе математических объектов. В решении этого вопроса в философии математики можно выделить несколько позиций.
Первая приписывает математическим объектам более высокий онтологический статус, чем объектам окружающего мира, и более высокий эпистемологический статус по сравнению с другими категориями познания. Эта позиция явным образом представлена в математике Платона, которая предполагает автономное самостоятельное существование мира общих понятий – идей. Позиция, утверждающая, что общее существует независимо от отдельных вещей, получила в философии название реализма. Чувственно воспринимаемый окружающий мир не может быть предметом познания, т. к. вещи окружающего мира имеют "неправильную" форму, непрерывно меняются и разными людьми воспринимаются по-разному. Чувственно воспринимаемый мир – это мир видимости, иллюзий. Истина доступна не чувственному, а теоретическому познанию, одной из форм существования которого является математика.
Математические объекты обладают особого рода бытием, признаками, которыми не могут обладать объекты чувственного мира.
Во-первых, они являются идеальными, т. е. представляют предельную, чистую форму существования объекта (они идеальны в том смысле, в каком мы говорим: идеальный человек). Если математик в своей работе и прибегает к использованию чертежей, рисунков, схем и наглядных образов, то это для него лишь вспомогательные средства. Его доказательства относятся не к нарисованным фигурам, а к их идеям (идее треугольника как такового, в чистом виде), в результате математика, а вслед за ней и вся наука начинают работать с особого рода идеализированной действительностью.
Во-вторых, математические сущности могут быть объектами лишь особого рода реальности, существующей как бы параллельно с окружающим миром (идеальный человек в окружающем мире не встречается).
В-третьих, математические объекты в силу своей идеальности самотождественны. Невозможно два раза нарисовать абсолютно одинаковую окружность. Но формула позволяет задавать один и тот же объект бесконечно.
В-четвертых, объекты окружающего мира возникают и разрушаются, идеальные математические объекты вечны.
И, наконец, в-пятых, будучи идеальными и самотождественными, они обладают характером общезначимости, т. е. воспринимаются всеми людьми одинаково.
Таким образом, позиция реализма определяет мир математических объектов как действительный мир, как сущность мира эмпирического. Математические структуры, например геометрия Евклида, представляют действительную (идеальную) структуру мира.
Вторая позиция исходит из того, что математические понятия существуют в уме человека. При этом математический язык рассматривается как лучший способ описания мира. Теория, рассматривающая общие понятия как существующие в уме человека, получила в философии название концептуализма.
Таким образом, можно истолковать понимание природы математики в философии Аристотеля. Математические объекты не обладают более высоким онтологическим статусом, чем объекты окружающего мира. Они являются предикатами (признаками) предметов. Они существуют в том же смысле, в каком существует движение. Мы можем сказать, что тело движется и что оно имеет длину и четыре плоскости. Математические понятия существуют не сами по себе, а в уме человека. В то же время математические понятия, по Аристотелю, обладают предельной смысловой наполненностью, а именно красотой. Эта предельная смысловая наполненность является результатом абстрактности математического мышления, которое рассматривает категории, отвлекаясь от их материального носителя.
Отрицая крайности платоновско-пифагорейской традиции, а именно существование самостоятельного мира математических сущностей, Аристотель сохраняет за математикой статус науки, предлагающей наиболее адекватный язык познания.
И наконец, третья позиция исходит из того, что реально существуют лишь единичные чувственные вещи, математические понятия – всего лишь символы, удобные в применении. Это является выражением в математике философского номинализма. Базовые понятия математики вводятся в науку по соглашению. Вопросы о том, что такое точка, прямая, плоскость, являются бессмысленными. Значение имеет то, как эти понятия используются в принятом языке. Математические понятия не имеют никакого самостоятельного существования и не должны отсылать нас к привычным образам, обыденному смыслу терминов или к воображению. Математический язык – это удобный экономный способ описания предметного мира.
3.1.2. Философские проблемы обоснования математики. Вплоть до XIX в. математика оставалась эталоном строгости, доказательности и достоверности научного знания.
Сомнения в достоверности оснований математики возникли в первую очередь в результате разработки неевклидовой геометрии в течение XVIII–XIX вв. Неевклидова геометрия поставила под сомнение абсолютность математических аксиом, идею тождества математической структуры и структуры мира, и показала неясность и необоснованность математики. Важно подчеркнуть, что неевклидовы геометрии (Гаусса, Римана, Лобачевского) не были просто интеллектуальной игрой, они позволяли описывать физическое пространство. Но при этом было очевидно, что они противоречат друг другу и что невозможно установить, какая из этих геометрий истинна.
Ударом для математики стало и обнаружение противоречий в канторовской теории множеств. Противоречивое исчисление, как известно, позволяет доказывать как теорему любое положение. Если математика противоречива, то она бессмысленна.
Проблемы, возникшие в математике, поставили под сомнение достоверность всей науки. Если абсолютных истин нет даже в математике, то есть ли они вообще? И математики в конце XIX – начале XX в. прилагают отчаянные усилия спасти науку. Они пытаются найти некие абсолютно достоверные основания математики, доказать их полноту и непротиворечивость.
Традиционно выделяют следующие направления обоснования математики: логицизм (Г. Фреге, Б. Рассел); интуиционизм (Э. Брауэр, А. Гейтинг); формализм (Д. Гилберт); теоретико-множественный (Э. Цермело, А. Френкель).
Логицисты занимали позицию реализма в понимании онтологического статуса математических объектов. Математика должна быть полностью выведена из логики. Математические теоремы и доказательства позволяют нам выявить то, что в неявном виде содержится в принципах логики. Законы логики логицисты считали априорно истинными. Это давало им основания верить в возможность построения абсолютно истинной математики.
Логицизм вызвал резкую критику в среде математиков, т. к. его сторонники использовали для обоснования математики ряд аксиом (аксиома сводимости, аксиома бесконечности, аксиома выбора), истинность которых вызывала серьезные сомнения. С философской точки зрения, логицизм тоже не выдерживал критики: если вся математика следует из законов мышления, то каким образом с помощью дедуктивного вывода можно получить описание структуры всего бесконечно разнообразного мира?
Интуиционисты были концептуалистами в понимании природы математических понятий. Основатель интуиционизма Брауэр считал, что математика вырастает из природы человеческого разума и вне него не существует. Как продукт человеческого разума она автономна – не зависит ни от опыта, ни от языка, и она должна опираться на интуитивно очевидные понятия. Такими понятиями являются целые числа, сложение, умножение и математическая индукция. Математическое мышление, опираясь на интуитивно очевидные понятия, конструирует истинное описание мира. Логика и опыт нужны тем, кто лишен интуиции. Логика – это определенная форма языка, а язык, по сути, неспособен без искажений представлять мысль. Не математика должна быть основана на логике, а наоборот, логика – на математике. Интуиция (а не логика или опыт) является критерием приемлемости математических положений.
Критика интуиционизма проистекала из того простого факта, что его представителям не удалось сколько-нибудь серьезно продвинуться в построении новой математики и особенно математики, пригодной для практического применения. К тому же они отрицали ряд классических теорем и даже разделов математики, которые не могли обосновать своими методами, что было совершенно неприемлемо для математиков.
Формализм стал выражением номинализма в математике. Математика невыводима из логики, она является автономной научной дисциплиной. Математику следует рассматривать как формальную дисциплину, занимающуюся преобразованием символов безотносительно к их значению. Символы вводятся по соглашению и лишены всякого постороннего, в том числе и интуитивного смысла. Значение символа определяется правилами его использования в системе исчисления. Очевидно, что количество построенных таким образом формальных систем неограниченно, каждая из них имеет свой набор аксиом, свои правила дедуктивного вывода и свои теоремы. Формализм критиковали за то, что он превратил математику в пустую игру символами, лишив математические понятия интуитивно очевидного содержания и реальной связи с материальным миром.
Представители теоретико-множественного направления, так же, как логицисты, были реалистами в решении проблемы онтологического статуса математических объектов. Они видели свою главную задачу в избавлении теории множеств, которую они рассматривали как основание чистой математики, от противоречий. Им удалось аксиоматизировать теорию множеств таким образом, что в ней перестали возникать противоречия. Представителей теоретико-множественного направления критиковали за неясность логических оснований, на которых построена их математика, за произвольность, искусственность и интуитивную неочевидность их аксиом.