Проверив выводы Гука, Ньютон убедился, что тело, брошенное с достаточной скоростью, находясь в то же время под влиянием силы земного тяготения, действительно может описать эллиптический путь. Размышляя над этим предметом, Ньютон открыл знаменитую теорему, по которой тело, находящееся под влиянием притягивающей силы, подобной силе земного тяготения, всегда описывает какое-либо коническое сечение, то есть одну из кривых, получаемых при пересечении конуса плоскостью (эллипс, гипербола, парабола и в частных случаях круг и прямая линия). Сверх того, Ньютон нашёл, что центр притяжения, то есть точка, в которой сосредоточено действие всех притягивающих сил, действующих на движущуюся точку, находится в фокусе описываемой кривой. Так, центр Солнца находится (приблизительно) в общем фокусе эллипсов, описываемых планетами.
Достигнув таких результатов, Ньютон сразу увидел, что он вывел теоретически, то есть исходя из начал рациональной механики, один из законов Кеплера, гласящий, что центры планет описывают эллипсы и что в фокусе их орбит находится центр Солнца. Но Ньютон не удовольствовался этим основным совпадением теории с наблюдением. Он хотел убедиться, возможно ли при помощи теории действительно вычислить элементы планетных орбит, то есть предсказать все подробности планетных движений?
Желая убедиться, действительно ли сила земного тяготения, заставляющая тела падать на Землю, тождественна силе, удерживающей Луну в её орбите, Ньютон стал вычислять, но, не имея под рукой книг, воспользовался лишь самыми грубыми данными. Вычисление показало, что при таких числовых данных сила земной тяжести больше силы, удерживающей Луну в её орбите, на одну шестую и как будто существует некоторая причина, противодействующая движению Луны.
Как только Ньютон узнал об измерении меридиана, произведённом французским учёным Пикаром, он тотчас произвёл новые вычисления и к величайшей радости своей убедился, что его давнишние взгляды совершенно подтвердились. Сила, заставляющая тела падать на Землю, оказалась совершенно равной той, которая управляет движением Луны.
Этот вывод был для Ньютона высочайшим торжеством. Теперь вполне оправдались его слова: "Гений есть терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении". Все его глубокие гипотезы, многолетние вычисления оказались верными. Теперь он вполне и окончательно убедился в возможности создать целую систему мироздания, основанную на одном простом и великом начале. Все сложнейшие движения Луны, планет и даже скитающихся по небу комет стали для него вполне ясными. Явилась возможность научного предсказания движений всех тел Солнечной системы, а быть может, и самого Солнца, и даже звёзд и звёздных систем.
В конце 1683 года Ньютон, наконец, сообщил Королевскому обществу основные начала своей системы, изложив их в виде ряда теорем о движении планет. Свои основные выводы Ньютон представил в фундаментальном труде под названием "Математические начала натуральной философии". До конца апреля 1686 года первые две части его книги были готовы и посланы в Лондон.
В области механики Ньютон не только развил положения Галилея и других учёных, но и дал новые принципы, не говоря уже о множестве замечательных отдельных теорем.
По словам самого Ньютона, ещё Галилей установил начала, названные Ньютоном "двумя первыми законами движения" Ньютон формулирует эти законы так:
I. Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока на него не подействует какая-либо сила и не заставит его изменить это состояние.
II. Изменение движения пропорционально движущей силе и направлено по прямой, по которой действует данная сила.
Сверх этих двух законов Ньютон сформулировал ещё третий закон движения, выразив его так:
III. Действие всегда равно и прямо противоположно противодействию, то есть действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны.
Установив общие законы движения Ньютон вывел из них множество следствий и теорем, позволивших ему довести теоретическую механику до высокой степени совершенства. С помощью этих теоретических начал он подробно выводит свой закон тяготения из законов Кеплера и затем решает обратную задачу, то есть показывает, каково должно быть движение планет, если признать закон тяготения за доказанный.
Открытие Ньютона привело к созданию новой картины мира, согласно которой все планеты, находящиеся друг от друга на колоссальных расстояниях, оказываются связанными в одну систему. Этим законом Ньютон заложил начало новой отрасли астрономии - небесной механики, которая сегодня изучает движение планет и позволяет рассчитывать их положение в пространстве.
Ньютон смог рассчитать орбиты, по которым движутся спутники Юпитера и Сатурна, а пользуясь этими данными, определить, с какой силой Земля притягивает Луну. В свою очередь все эти данные будут использованы при будущих околоземных космических полётах.
Дальнейшие исследования Ньютона позволили ему определить массу и плотность планет и самого Солнца. Ньютон показал, что плотность Солнца вчетверо менее плотности Земли, а средняя плотность Земли приблизительно равна плотности гранита и вообще самых тяжёлых каменных пород. Относительно планет Ньютон установил, что наиболее близкие к Солнцу планеты отличаются наибольшею плотностью.
Далее Ньютон приступил к вычислению фигуры земного шара. Он показал, что Земля имеет сфероидальную форму, а именно представляет как бы шар, расширенный у экватора и сплюснутый у полюсов.
Учёный доказал зависимость приливов и отливов от совместного действия Луны и Солнца на воды морей и океанов.
Что касается собственно так называемой "небесной механики", Ньютон не только продвинул, но, можно сказать, создал эту науку, так как до него существовал лишь ряд эмпирических данных. Весьма любопытна данная Ньютоном теория движения комет, которую он считал недостаточно разработанной и напечатал лишь по настоянию Галлея. Благодаря расчётам Ньютона, Галлей смог предсказать появление огромной кометы, которая действительно появилась на небосводе в 1759 году. Она была названа кометой Галлея.
В 1842 году известный немецкий астроном Бессель на основе закона Ньютона предсказал существование невидимого спутника у звезды Сириус. Открытие этого спутника через 10 лет явилось доказательством того, что закон всемирного тяготения не только действует в Солнечной системе, но и является одним из общих законов вселенной.
В 1688 году Ньютон был избран в парламент, хотя и незначительным большинством голосов, и заседал в так называемом Конвенте впредь до его роспуска.
В 1689 году Ньютона постигло семейное горе - умерла от тифа его мать. Извещённый о её болезни, он испросил в парламенте отпуск и поспешил к ней. Целые ночи проводил великий учёный у постели матери, сам давал ей лекарства и приготовлял горчичники и мушки, ухаживая за больной, как самая лучшая сиделка. Но болезнь оказалась роковою. Смерть матери глубоко огорчила Ньютона и, быть может, немало способствовала сильной нервной раздражительности, проявившейся у него несколько позднее болезни.
Но и после своей болезни Ньютон продолжал научную работу, хотя и не с прежней интенсивностью. Он окончательно разработал теорию движения Луны и подготовил повторные издания своего бессмертного труда, в которых сделал много новых, весьма важных дополнений. После болезни он создал свою теорию астрономической рефракции, то есть преломления лучей светил в слоях земной атмосферы. Наконец, после болезни Ньютон решил несколько весьма трудных задач, предложенных другими математиками.
Ньютону было уже за пятьдесят лет. Несмотря на свою огромную славу и блестящий успех его книги (издание принадлежало не ему, а Королевскому обществу), Ньютон жил в весьма стеснённых обстоятельствах, а иногда просто нуждался: случалось, что он не мог уплатить пустячного членского взноса. Жалованье его было незначительно, и Ньютон тратил всё, что имел, частью на химические опыты, частью на помощь своим родственникам; он помогал даже своей старинной любви - бывшей мисс Сторей.
В 1695 году материальные обстоятельства Ньютона изменились. Близкий друг и поклонник Ньютона Чарлз Монтегю, молодой аристократ, лет на двадцать моложе Ньютона, был назначен канцлером казначейства. Заняв этот пост, Монтегю занялся вопросом об улучшении денежного обращения в Англии, где в то время, после ряда войн и революций, было множество фальшивой и неполновесной монеты, что приносило огромный ущерб торговле. Монтегю вздумал перечеканить всю монету.
Чтобы придать наибольший вес своим доказательствам, Монтегю обратился к тогдашним знаменитостям, в том числе и к Ньютону. И учёный не обманул ожиданий своего друга. Он взялся за новое дело с чрезвычайным усердием и вполне добросовестно, причём своими познаниями в химии и математической сообразительностью оказал огромные услуги стране. Благодаря этому трудное и запутанное дело перечеканки было удачно выполнено в течение двух лет, что сразу восстановило торговый кредит.
Вскоре после того Ньютон из управляющего монетным двором был сделан главным директором монетного дела и стал получать 1500 фунтов в год; эту должность он занимал до самой смерти. При чрезвычайно умеренном образе жизни Ньютона из жалованья у него образовался целый капитал.
В 1701 году Ньютон был избран членом парламента, а в 1703 году стал президентом английского Королевского общества. В 1705 году английский король возвёл Ньютона в рыцарское достоинство.
Ньютона отличали скромность и застенчивость. Он долго не решался опубликовать свои открытия, и даже собирался уничтожить некоторые из глав своих бессмертных "Начал". "Я только потому стою высоко, - сказал Ньютон, - что стал на плечи гигантов".
Доктор Пембертон, познакомившийся с Ньютоном, когда последний был уже стар, не мог надивиться скромности этого гения. По его словам, Ньютон был чрезвычайно приветлив, не имел ни малейшей напускной эксцентричности и был чужд выходкам, свойственным иным "гениям". Он отлично приспосабливался ко всякому обществу и нигде не обнаруживал ни малейшего признака чванства. Зато и в других Ньютон не любил высокомерно-авторитетного тона и особенно не терпел насмешек над чужими убеждениями.
Ньютон никогда не вёл счёта деньгам. Щедрость его была безгранична. Он говаривал: "Люди, не помогавшие никому при жизни, никогда никому не помогли". В последние годы жизни Ньютон стал богат и раздавал деньги, но и раньше, когда даже сам нуждался в необходимом, он всегда поддерживал близких и дальних родственников. Впоследствии Ньютон пожертвовал крупную сумму приходу, в котором родился, и часто давал стипендии молодым людям. Так, в 1724 году он назначил стипендию в двести рублей Маклорену, впоследствии знаменитому математику, отправив его за свой счёт в Эдинбург в помощники к Джемсу Грегори.
С 1725 года Ньютон перестал ходить на службу. Умер Исаак Ньютон в ночь на 20 (31) марта 1726 года во время эпидемии чумы. В день его похорон был объявлен национальный траур. Его прах покоится в Вестминстерском аббатстве, рядом с другими выдающимися людьми Англии.
ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ
(1646–1716)
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге 1 июля 1646 года. Отец Лейбница преподавал философию морали (этику) в университете. Его третья жена, Катерина Шмукк, мать Лейбница, была дочерью выдающегося профессора, преподававшего юридические науки. Семейные традиции с обеих сторон предсказывали Лейбницу философскую и юридическую деятельность.
Когда Готфрида крестили и священник взял младенца на руки, он поднял голову и открыл глаза. Видя в этом предзнаменование, отец его, Фридрих Лейбниц, в записках своих предсказал сыну "свершения вещей чудесных". Он не дожил до исполнения своего пророчества и умер, когда мальчику не исполнилось и семи лет.
Мать Лейбница, которую современники называют умной и практичной женщиной, заботясь об образовании сына, отдала его в школу Николаи, считавшуюся в то время лучшей в Лейпциге. Готфрид целыми днями просиживал в отцовской библиотеке. Без разбора читал он Платона, Аристотеля, Цицерона, Декарта.
Готфриду не было ещё четырнадцати лет, когда он изумил своих школьных учителей, проявив талант, которого в нём никто не подозревал. Он оказался поэтом, - по тогдашним понятиям истинный поэт мог писать только по-латыни или по-гречески.
Пятнадцатилетним юношей Готфрид стал студентом Лейпцигского университета. По своей подготовке он значительно превосходил многих студентов старшего возраста. Правда, характер его занятий по-прежнему оставался крайне разносторонним, можно даже сказать беспорядочным. Он читал всё без разбора, богословские трактаты наряду с медицинскими.
Официально Лейбниц числился на юридическом факультете, но специальный круг юридических наук далеко не удовлетворял его. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно посещал и многие другие, в особенности по философии и математике.
Желая развить своё математическое образование, Готфрид отправился в Йену, где в это время жил известный математик Вейгель. Кроме математика Вейгеля, Лейбниц слушал здесь также некоторых юристов и историка Бозиуса.
Возвратившись в Лейпциг, Лейбниц блистательно выдержал экзамен на степень магистра "свободных искусств и мировой мудрости", то есть словесности и философии. Готфриду в то время не было и восемнадцати лет. Вскоре после магистерского экзамена его постигло тяжкое горе: он потерял мать. На следующий год, на время вернувшись к математике, он пишет "Рассуждение о комбинаторном искусстве".
Осенью 1666 года Лейбниц уехал в Альтдорф, университетский город маленькой Нюрнбергской республики, состоявшей из семи городов и нескольких местечек и сёл. Готфрид имел особые причины любить Нюрнберг: с именем этой республики было связано воспоминание о его первом серьёзном жизненном успехе. Здесь 5 ноября 1666 года Лейбниц блистательно защитил докторскую диссертацию "О запутанных делах".
В 1667 году Готфрид отправился в Майнц к курфюрсту, которому был немедленно представлен. Ознакомившись с трудами и с Лейбницем лично, курфюрст пригласил молодого учёного принять участие в предпринятой реформе: курфюрст пытался составить новый свод законов. В течение пяти лет Лейбниц занимал видное положение при майнцском дворе. Этот период в его жизни был временем оживлённой литературной деятельности: Лейбниц написал целый ряд сочинений философского и политического содержания.
18 марта 1672 года Лейбниц выехал во Францию с важной дипломатической миссией. Кроме этого Лейбниц преследовал и чисто научные цели. Давно уже желал он пополнить своё математическое образование знакомством с французскими и английскими учёными и мечтал о путешествии в Париж и Лондон.
Дипломатическая миссия Лейбница не принесла непосредственных результатов, но зато в научном отношении путешествие оказалось чрезвычайно удачным. Знакомство с парижскими математиками в самое короткое время доставило Лейбницу те сведения, без которых он, при всей своей гениальности, никогда не смог бы достичь в области математики ничего истинно великого. Школа Ферма, Паскаля и Декарта была необходима будущему изобретателю дифференциального исчисления.
В одном из своих писем Лейбниц говорит, что после Галилея и Декарта он более всего обязан своим математическим образованием Гюйгенсу. Из бесед с ним, из чтения его сочинений и указанных им трактатов Лейбниц увидел всё ничтожество своих прежних математических сведений. "Я вдруг просветился, - пишет Лейбниц, - и неожиданно для себя и других, не знавших вовсе, что я новичок в этом деле, сделал много открытий". Между прочим, Лейбниц ещё в то время открыл замечательную теорему, по которой число, выражающее отношение окружности к диаметру может быть выражено очень простым бесконечным рядом.
Ознакомление с сочинениями Паскаля навело Лейбница на мысль усовершенствовать некоторые теоретические положения и практические открытия французского философа. Арифметический треугольник Паскаля и его арифметическая машина одинаково занимали ум Лейбница. Он истратил много труда и немало денег для усовершенствования арифметической машины. В то время как машина Паскаля совершала непосредственно лишь два простейших действия - сложение и вычитание, модель, придуманная Лейбницем, оказалась пригодною для умножения, деления, возведения в степени и извлечения корня, по крайней мере квадратного и кубического.
В 1673 году Лейбниц представил модель в Парижскую академию наук. "Посредством машины Лейбница любой мальчик может производить труднейшие вычисления", - сказал об этом изобретении один из французских учёных. Благодаря изобретению новой арифметической машины Лейбниц стал иностранным членом Лондонской академии.
Настоящие занятия математикой начались для Лейбница лишь после посещения Лондона. Лондонское королевское общество могло в то время гордиться своим составом. Такие учёные, как Бойль и Гук в области химии и физики, Рен, Валлис, Ньютон в области математики, могли поспорить с парижской школой, и Лейбниц, несмотря на некоторую подготовку, полученную им в Париже, часто сознавал себя перед ними в положении ученика.
По возвращении в Париж Лейбниц разделял своё время между занятиями математикой и работами философского характера. Математическое направление всё более одерживало в нём верх над юридическим, точные науки привлекали его теперь более, чем диалектика римских юристов и схоластиков.
В последний год своего пребывания в Париже в 1676 году Лейбниц выработал первые основания великого математического метода, известного под названием "дифференциальное исчисление". Совершенно такой же метод был изобретён около 1665 года Ньютоном; но основные начала, из которых исходили оба изобретателя, были различны, и, сверх того, Лейбниц мог иметь лишь самое смутное представление о методе Ньютона, в то время не опубликованном.
Факты с достаточной убедительностью доказывают, что Лейбниц хотя и не знал о методе флюксий, но был подведён к открытию письмами Ньютона. С другой стороны, несомненно, что открытие Лейбница по обобщённости, удобству обозначения и подробной разработке метода стало средством анализа значительно более могущественным и популярным, чем Ньютонов метод флюксий. Даже соотечественники Ньютона, из национального самолюбия долгое время предпочитавшие метод флюксий, мало-помалу усвоили более удобные обозначения Лейбница; что касается немцев и французов, они даже слишком мало обратили внимания на способ Ньютона, в иных случаях сохранивший значение до настоящего времени.
После первых открытий в области дифференциального исчисления Лейбниц должен был прервать свои научные занятия: он получил приглашение в Ганновер и не счёл возможным отказаться уже потому, что его собственное материальное положение в Париже стало шатким.
На обратном пути Лейбниц посетил Голландию. В ноябре 1676 года приехал в Гаагу, главным образом, чтобы увидеться с известным философом Спинозой. К тому времени основные черты философского учёния самого Лейбница выразились уже в открытом им дифференциальном исчислении и в высказанных ещё в Париже воззрениях на вопрос о добре и зле, т. е. на основные понятия морали.