А теперь (внимание!) исследуем корректность решения той же задачи до эквивалентных преобразований. Обратимся к исходным уравнениям (1) и (2) и посмотрим, что будет, если, например, коэффициент при λ в уравнении (1) изменится на 1% и станет равным 1,98, а система (1)-(2) перейдет в систему:
(1,98λ + 2)х = 2у (7)
(λ+λ) = γ (8)
Отыскивая собственные значения для системы (7)-(8), мы убедимся, что их два: λ1 = 0,99019; λ2 =-100,99019 (с точностью до пятого знака после запятой). Можно проверить, что у системы (7)-(8) и при λ1 =0,99019, и при λ2 =-100,99019 действительно будут не нулевые решения х и у. Таким образом, для системы (1)-(2) решение задачи отыскания собственных значений - не корректно: уже при изменении одного из коэффициентов на 1% решение меняется коренным образом - вместо одного собственного значения появляется два, причем второе собственное значение резко отличается от первого (и даже имеет другой знак). Можно проверить, что если в системе (1)-(2) коэффициент при λ в уравнении (1) изменить не на 1%, а на 0,1% или даже на 0,01%, то все равно вместо одного собственного значения появятся два. Для системы (1)-(2) решение задачи о собственных значениях на самом деле не корректно - но мы не увидим этого, если будем исследовать корректность решения после эквивалентных преобразований системы, как это рекомендуют традиционные методы. Система (1)-(2) является особой системой - системой, у которой корректность решения изменяется после эквивалентных преобразований.
Для простой системы (1)-(2) все ясно и понятно: в уравнениях (1) и (2) коэффициенты при λ после эквивалентного преобразования взаимно сокращаются и исчезают, хотя именно их малые изменения в исходной системе приводят к большим изменениям собственных значений. В более сложных системах все сложнее, распутать причины и следствия очень не просто, но главное заключается в другом: даже на примере очень простой системы (1)-(2) мы показали, что эквивалентные преобразования могут изменять многие важные свойства математических моделей. Могут изменять корректность решения, могут изменять запасы устойчивости и т. д. Впервые все это было опубликовано в 1987 году, в книге [1] (номер в квадратных скобках соответствует номеру в списке литературы в конце брошюры), а более подробно - в книгах [2], [3].
§ 6. Следствия. Методы предотвращения катастроф
Теперь рассмотрим - какие следствия вытекают из открытий, сделанных с СПбГУ. Прежде всего - сразу получаем простое и логичное объяснение тайны катастрофы аквапарка "Трансвааль". Вполне возможно, что купол аквапарка оказался особым объектом, математическая модель которого изменяет корректность решений при эквивалентных преобразованиях - подобно математической модели в виде системы (1)-(2), которую мы рассмотрели в предыдущем разделе. Купол аквапарка проектировал Н. Канчели примерно в 2000 году. Он проводил расчет критических нагрузок по преобразованной модели, поскольку в 2000 году все методики строительных расчетов рекомендовали поступать именно так. В 2000 году никто из строителей еще не подозревал о существовании особых объектов, не понимал истинных свойств эквивалентных преобразований. Поэтому Н. Канчели с чистой совестью правильно и добросовестно применял общепринятые тогда методы расчета, а руководитель Мосгосэкспертизы А. Воронин, проверяя его расчеты, подтвердил, что они сделаны правильно и в полном соответствии с общепринятыми нормами и правилами, существующими в 2000 году. А то, что для особых объектов эти общепринятые нормы и правила неизбежно ведут к катастрофам и гибели людей - об этом в 2000 году никто из архитекторов и строителей еще не знал. Поэтому предъявление уголовных обвинений Н. Канчели и А. Воронину не поможет делу.
Ну хорошо, посадят их в тюрьму, и что - наша жизнь станет безопаснее? Нет, не станет. Если не уточнить методы и правила расчетов, то у другого архитектора, который на свою беду встретится с "особым" объектом, неизбежно все обрушится, и люди снова погибнут.
Для того чтобы избежать катастроф, нужно в правила расчетов внести дополнения - дополнения, вытекающие из открытий, сделанных в СПбГУ. Тогда аварий и катастроф - по крайней мере, тех, которые возникают из-за неполноты привычных методов расчета - больше не будет. Усовершенствованные методы расчета, позволяющие избежать аварий и катастроф, известны. Они опубликованы в книгах [1], [2], [3] (применительно к задачам строительной механики - в статье [12]). Да, эти методы немного сложнее привычных, поскольку требуют небольшой дополнительной проверки - не изменилась ли корректность решения при использованных эквивалентных преобразованиях. Необходимость дополнительных проверок, небольшой дополнительной работы расчетчика привела к тому, что усовершенствованные методы расчета до сих пор применяются мало. Дополнительную работу обычно делать не хочется, а "особые" объекты встречаются редко, что и позволяет легкомысленно надеяться на то, что все пронесет.
Надо еще отметить, что на рубеже 2000 года, когда проектировался аквапарк "Трансвааль", усовершенствованные методы расчета в области строительства еще не были разработаны - разработка их началась с систем автоматики. Поэтому упреков в том, что усовершенствованные методы не использовали
H. Канчели и А. Воронин, предъявить нельзя. К 2004 - 2005 годам архитекторы, строители и те, кто производит строительные расчеты, уже могли бы пользоваться методами, изложенными в книгах [1], [2], [3] и страхующими от аварий, но они совсем не спешат этого делать.
Не спешат они и проверить еще раз расчеты уже возведенных зданий и сооружений. Между тем - пользуясь методикой, изложенной в уже упомянутых книгах - можно было проверить - нет ли среди возведенных зданий "особых" объектов, для которых расчеты запасов устойчивости, выполненные традиционными методами, ненадежны. Если бы "особые" объекты были выявлены, то можно было принять срочные меры. Но этого не было сделано, несмотря на то, что книги [1, 2, 3] были изданы довольно большими тиражами и вполне доступны для инженеров.
В результате в первом квартале 2006 года произошла целая серия аварий и катастроф:
1. 03 января 2006 года в Германии, в земле Бавария рухнула крыша катка. Погибло 11 человек.
2. 27 января 2006 года в Польше в городе Катовицы обрушилась крыша универмага, погибло 67 человек.
3. 23 февраля 2006 года в Москве обрушилась крыша Басманного рынка, погибло 56 человек.
4. 20 марта 2006 года рухнула крыша недостроенного торгового центра в Ярославле.
5. 31 марта 2006 года рухнула крыша построенного в 2005 году катка "Охта-парк" во Всеволожском районе Ленинградской области.
В качестве основной причины всех пяти перечисленных аварий выдвигалось скопление снега на крышах, которые рухнули под его тяжестью. Действительно, во второй половине зимы 2005-2006 годов снега было больше, чем в предыдущие годы. Но "больше" не означает - "катастрофически больше". Крыши зданий и сооружений, подверженных действию снега, рассчитываются на экстремальные снеговые нагрузки, рассчитываются на такое большое количество снега, которое выпадает один раз в 50-100 лет. А такого необычно большого, чрезвычайного, выпадения снега в 2006 году заведомо не было. Снега выпало много, но в пределах расчетных снеговых нагрузок - тех нагрузок, на которые здания были рассчитаны. А раз они рухнули, то это означает, что истинная прочность и устойчивость зданий оказалась много меньше расчетной - т. е. расчеты оказались не верны, ходя и производились грамотными инженерами. Очень мала вероятность того, что во всех пяти перечисленных случаях аварий инженеры допустили в расчетах элементарные ошибки, или же строители и те, кто эксплуатировал здания, далеко отступили от проектных решений.
Наиболее вероятное объяснение серии аварий 2006 года состоит в неполноте традиционных методов расчета, не учитывающих недавно открытых в СПбГУ новых свойств эквивалентных преобразований, описанных в книгах [1, 2, 3]. Это привело к тому, что истинная прочность зданий оказалась существенно ниже расчетной, и в результате снегопады 2006 года - снегопады большие, но совсем не экстремальные, не опасные при правильном расчете - привели к целой серии аварий и катастроф.
И совсем не случайным является то, что аварии затронули здания и сооружения, спроектированные и построенные в последние десятилетия. Дело в том, что в прежнее время, когда расчеты проводились вручную, интуиция опытных инженеров частично восполняла недостатки расчетных алгоритмов, не учитывающих новых свойств эквивалентных преобразований, недавно открытых в СПбГУ. Интуиция, опирающаяся на многолетний опыт работы, часто предостерегала инженеров об опасных свойствах "особых" объектов, хотя формально по расчету все было хорошо.
В последние десятилетия большинство расчетов выполняется с помощью компьютеров, с помощью быстродействующей вычислительной техники. В целом такой подход прогрессивен, и его нужно приветствовать. Но в то же время необходимо учитывать, что компьютер - в отличие от инженера - интуицией не обладает и точно выполняет то, что заложено в него программистом. И если заложенный алгоритм расчета не совершенен, то уже ничто не сможет спасти от расчетной ошибки, а значит - и от возможности аварии и катастрофы.
Поэтому при переводе расчетов на компьютеры нужно было заново и тщательно проверить все расчетные алгоритмы. Этого сделано не было. А между тем то, что было еще допустимо и работало при ручном счете, может оказаться очень опасным при переходе на компьютеры. Об этом забыли, и может быть именно это стало причиной части последних аварий.
Надо вообще отметить, что в математике мало внимания уделяется влиянию неизбежной неточности и погрешностей в исходных данных на точность результатов расчета. Ведь почти все исходные данные получаются на основе измерений, а все измерительные приборы имеют конечную точность, и малые погрешности неизбежны. Эти малые погрешности могут (хотя и не всегда!) вырасти в большие, крупные погрешности конечных результатов - особенно в свете недавно открытых в СПбГУ новых и неожиданных свойств эквивалентных преобразований, широко используемых при расчетах. С учетом этих новых свойств желательно проверить и усовершенствовать расчетные алгоритмы.
Но на первом этапе, не дожидаясь общего совершенствования методов расчета, необходимо выявить и указать опасные "особые" объекты. Методы их выделения известны, описаны в книгах [1, 2, 3], но все еще мало применяются - и в области строительных конструкций, и в области автоматики, автоматического управления, где исследования опасных свойств эквивалентных преобразований начались раньше всего, а ведь выделение "особых" объектов сразу уменьшило бы вероятность аварий.
В последующих разделах будет рассказано, какими сложными путями происходил поиск истины (своеобразный "научный детектив") в автоматическом управлении, где исследования начались раньше, чем в других областях техники.
§ 7. Трагедия Александра Михайловича Лётова
Все началось с того, что в 1960 году член-корреспондент Академии наук СССР Александр Михайлович Летов (1911-1974) предложил интересный и эффективный метод проектирования и расчета автоматических регуляторов для широкого круга объектов промышленности и транспорта. Этот метод (опубликованный в статьях [4]) получил известность под названием "аналитическое конструирование оптимальных регуляторов", коротко - АКОР. Метод сразу получил широкое распространение, поскольку обеспечивал повышение качества работы регулируемых объектов, обеспечивал устойчивость, хорошие запасы устойчивости, хорошие переходные процессы и т. п.
Все это сперва было тщательно просчитано, а затем подтвердилось и на практике. Началось победное шествие и широкое применение "аналитически сконструированных" оптимальных регуляторов А. М. Летова.
А затем начались трагедии. Если очень коротко, то метод А. М. Летова состоял в том, что в регуляторе формировались простые обратные связи по всем переменным состояния управляемого объекта, а коэффициенты усиления обратных связей рассчитывались по формулам, выведенным А. М. Летовым.
Однако для многих объектов управления некоторые из переменных состояния не могут быть непосредственно измерены и введены в канал обратной связи "аналитически сконструированного" регулятора (так, например, у самолета непосредственно не измеряется такая важная переменная, как угол атаки). В этих случаях не измеряемую переменную заменяют на комбинацию измеряемых переменных и их производных, пользуясь, разумеется, только бесспорно эквивалентными преобразованиями. Так и делали. Сперва все шло хорошо, а затем начались аварии. Снабженные регуляторами А. М. Летова самолеты падали, суда тонули, гибли люди. Причины аварий и катастроф долгое время были окутаны непроницаемой тайной, тем более, что часть самолетов, судов, генераторов с регуляторами Летова продолжали прекрасно работать, но некоторые погибали в катастрофах без всяких видимых причин, хотя рассчитывались по, казалось бы, самым безупречным методикам.
Почему происходили эти частые и таинственные катастрофы? Тогда, в период 1960 - 1970 годов, когда использовались регуляторы А. М. Летова, на это было особенно трудно ответить уже потому, что в те годы все сведения об авариях и катастрофах были строго секретны, о подробностях аварий знал очень узкий круг людей, и поэтому аварии обрастали самыми различными слухами и сплетнями. Во всяком случае по репутации "аналитического конструирования" и по репутации самого А. М. Летова эти аварии и катастрофы нанесли жесточайший удар. Александр Михайлович Летов был большим ученым и очень хорошим, очень отзывчивым человеком. Катастрофы, порожденные "аналитически сконструированными" регуляторами, он переживал очень тяжело. Он быстро исхудал, осунулся. А затем его настиг рак - болезнь, возникающая чаще всего на фоне стрессов и расстройств. А. М. Летов скончался в 1974 году, в возрасте всего лишь 63 лет.
Причины аварий, происходивших при использовании "аналитически сконструированных" регуляторов, были выяснены много позже: оказалось, что если в регуляторе использовались все переменные состояния, то система управления обладала хорошими запасами устойчивости, и все было хорошо. Если же часть переменных была не измеряема и их - путем эквивалентных преобразований - заменяли на комбинации измеряемых, то запасы устойчивости резко снижались, что и становилось причиной последующих аварий и катастроф.
Таким образом, аварии и катастрофы, происходящие из-за незнания открытых позже свойств эквивалентных преобразований, неоднократно происходили в 60-е годы ХХ века. Но их причины долго оставались не раскрытыми.
Казалось бы, истина поймана, вот она, у тебя в руках - раз эквивалентные преобразования изменяют такое важное свойство решений, как запасы устойчивости, то это значит, что они могут изменять и другие свойства решений. Следите за этими изменениями - и все прояснится, аварии будут побеждены. Но этого простого вывода в те годы не было сделано. Более того, когда в 1973 году Петр Владимирович Надеждин в статье [5] опубликовал пример, когда после эквивалентных преобразований изменялась так называемая "грубость" системы, то даже этот пример остался без серьезного внимания. Пошли по другому пути - были найдены пути построения регуляторов, похожих на "аналитически сконструированные" регуляторы А. М. Летова, но за счет небольшой модификации сохранявших хорошие запасы устойчивости. Частые аварии и катастрофы прекратились, все успокоились, но это было напрасным: поскольку истинные причины аварий и катастроф не были раскрыты, они стали происходить в других местах, уже не за счет "аналитически сконструированных" регуляторов - примером может служить ужасная авария 22 марта 1994 года над Междуреченском, когда погибли все пассажиры и экипаж. Мы расскажем о ней в следующем разделе, а материал настоящего раздела лишний раз показывает, как трудно добраться до научной истины. То, что именно эквивалентные преобразования являются причиной многих аварий, поскольку они иногда изменяют свойства решений, и что для предотвращения аварий нужно изучать свойства эквивалентных преобразований - все это было установлено позже и впервые опубликовано в 1987 году, в книге [1].
В этой же книге, а затем и в публикациях [6], [2], [3] были подробно описаны методы дополнительных расчетов, страхующих от аварий, но пользоваться ими проектные организации не спешат, а это означает, что причины техногенных аварий хотя и установлены, но пока еще не устранены. А это значит, что аварии и катастрофы, к сожалению, будут продолжаться.
§ 8. Катастрофа аэробуса А-310 над Междуреченском и анализ ее причин
К 1994 году уже были исследованы характерные черты аварий и катастроф, происходящих по причине ошибок в проектировании, порожденных неполнотой привычных методов расчета, не учитывающих недавно открытых новых свойств эквивалентных преобразований. Вот эти характерные черты:
1. Авария происходит неожиданно, без видимых причин, в самый непредсказуемый момент времени;
2. Авария протекает очень быстро, стремительно; управляющие воздействия в системе управления сразу уходят в крайние, предельные значения и могут быстро вызвать необратимые последствия;
3. Если аварийная система не разрушилась, а была вовремя отключена - вручную или системой защиты, то при происходящей через некоторое время проверке системы она может оказаться вполне исправной; все эти своеобразные явления, позволяющие выделить аварии, произошедшие из-за несовершенства, неполноты привычных методов расчета, позволяющие выделить их из аварий, происходящих по другим причинам, подробно обоснованны и проанализированы в книге [2] на стр. 27-28 четвертого издания.
С учетом этих обстоятельств особое внимание привлекает авария аэробуса А-310 29 марта 1994 года над городом Междуреченском, когда погибли все пассажиры и экипаж. Сам аэробус А-310 был спроектирован и изготовлен франко-германской фирмой, но в том роковом полете шел под управлением российского экипажа. Поэтому аварию расследовала международная комиссия, и это позволило узнать об аварии, о том, как она протекала, немного больше, чем обычно. Когда аварии расследуют национальные комиссии, то, как правило, все засекречивается, а в заключении комиссии говорится чаще всего: "виноват человеческий фактор" - и все. Причина такой лаконичности и сокрытия истинных причин заключается в том, что производителям самолетов и авиационной техники очень не хочется признавать ошибки в проектировании и изготовлении самолетов, приведших к гибели людей. Влиятельные производители авиационной техники оказывают мощное воздействие на комиссии - и в результате чаще всего все списывается на "человеческий фактор", на ошибки пилотов, а истинные причины тщательно скрываются.
Про аварию над Междуреченском, благодаря расследованию международной комиссии, нам известно немного больше, тем более, что "черные ящики" погибшего самолета сохранились и были расшифрованы. Исследование записей "черных ящиков" показало, что авария произошла в то время, когда самолет шел под управлением автопилота, в автоматическом режиме. Без видимой причины автопилот стал давать неправильные команды и стали быстро нарастать опасные отклонения крена и тангажа самолета от их нормальных значений. Пока экипаж переходил на ручное управление, отклонения возросли настолько, что ввести их в нормальные рамки уже не было возможности. Аэробус упал и разбился. Все погибли.