Однако здесь явно предполагается, что Альмагест датируется приблизительно началом нашей эры. Если же не делать гипотезы о датировке Альмагеста, то сразу же возникают другие кандидаты в Альмагесте на отождествление с движущейся звездой о Eri. Например, на интервале от 900 до 1900 годов н. э. из звезд Альмагеста лучше всего соответствует реальному положению звезды о Eri звезда под номером 780. С другой стороны, звезда 779 в Альмагесте также не остается при этом без отождествления. А именно, она может быть успешно отождествлена со звездой 98 Heis [1339], с. 117. Более того, именно так (!) отождествлял звезду 779 астроном Пирс. См. [1339].
Отметим, что звезда о Эридана и ее окружение являются тусклыми звездами, с величинами 4,2–6,3. Поэтому единственный способ отождествить их с какими-то звездами Альмагеста - это сравнить координаты. Яркости этих звезд примерно одинаковы, а птолемеевские словесные описания звезд в этой части Эридана скупы и крайне туманны. Поэтому надежное отождествление этих звезд по другим признакам, кроме координат, невозможно. Приведенное в [274] "доказательство" правильности отождествления о Eri в каталоге Альмагеста основывается на поздних отождествлениях звезд в Альмагесте, то есть фактически на датировке каталога II веком н. э. Применение подобных "доказательств" для независимой датировки приводит, очевидно, к порочному кругу.
Таким образом, в работах Ю.Н. Ефремова и его соавторов [273], [274] фактически сначала предполагается, что Альмагест составлен около начала нашей эры. Затем на этом основании Ю.Н. Ефремов приходит к выводу, что Альмагест датируется 13 годом н. э. ±100 лет. Это и есть порочный круг!
4.4. Ошибки Ю.Н. Ефремова в оценке точности датировки Альмагеста по Арктуру
Теперь перейдем к Арктуру - второй, и последней, звезде, обсуждаемой в работе Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273]. Отождествление Арктура в Альмагесте сомнений не вызывает. В работе [273] по собственному движению Арктура первоначально получена датировка Альмагеста 250 годом н. э. Затем авторы "уточняют" эту датировку и получают по одной из конфигураций 310 год н. э. ±360 лет. Об этом "уточнении" мы поговорим чуть позже.
Сомнительность результатов работ [273], [274] отмечалась другими авторами. Так, М.Ю. Шевченко [968], с. 184 справедливо пишет, что в работе [273] "каталог относится к I веку до н. э., однако точность, а значит и достоверность этого результата, пока оставляет желать лучшего".
С помощью несложных рассуждений легко оценить реальную точность "рационального зерна" метода, описанного в работе [273]. В самом деле, в [273] положение в Альмагесте той или иной движущейся звезды, скажем, Арктура, определяется относительно звезд некоторого ее окружения. В случае Арктура - относительно "группы Арктура". Группа Арктура содержит 11 звезд. По отношению к этой группе определяется и положение Арктура на теоретически рассчитанном "назад", на эпоху t небе. Затем эти положения сравниваются.
Все звезды Альмагеста измерены с какими-то ошибками. Это, безусловно, относится и к звездам окружения или "группы". В частности, ко всем звездам группы Арктура. Но предположим на мгновение, что в Альмагесте звезды окружения Арктура измерены идеально точно. Даже в этом идеальном случае ошибку в положении Арктура в Альмагесте нельзя считать меньшей 10′ по любой из координат. Поскольку такова цена деления координатной шкалы звездного каталога Альмагеста. Реально эту границу следует увеличить из-за неточности координат звезд окружения.
При этом ошибка в дуговом расстоянии, используемом в [273], составляет около 14′. Если по каждой координате возможная ошибка составляет 10′, то для гипотенузы - по теореме Пифагора - она равна 14′. Скорость собственного движения Арктура - около 2″ в год. Таким образом, расстояние в 14′ Арктур проходит примерно за 420 лет. Это - лишь грубая оценка снизу точности "метода" Ефремова.
В действительности же реальная точность положения Арктура в Альмагесте может оказаться существенно хуже 14′, а тусклые звезды окружения могли быть измерены еще хуже. Здесь мы, конечно, имеем в виду ошибку по дуговому расстоянию. Как мы увидим ниже, широта Арктура в Альмагесте измерена достаточно хорошо. Но это ни в коей мере не относится к его долготе. См., в частности, исследования Роберта Ньютона [614]. Кроме того, нет никаких оснований предполагать, что Птолемей с хорошей точностью измерил какую-либо из координат тусклых звезд окружения. Следовательно, реальная точность "метода", описанного в работе [273] по Арктуру, значительно хуже 420 лет. Поэтому интервал возможных датировок Альмагеста по этому методу заведомо шире, чем интервал от 200 года до н. э. до 700 года н. э.
Прокомментируем теперь предлагаемый в работах [273], [274] метод моделирования случайных ошибок координат для оценки точности полученной даты. Например, для датировки по Арктуру этот "метод" привел Ю.Н. Ефремова к выводу, что его датировка Альмагеста примерно 300-м годом н. э. имеет точность ±300–400 лет [273], с. 311; [274], с. 181.
Для целей датировки в [273], [274] используется метод наименьших квадратов. Приведенные выше элементарные вычисления показывают, что точность этого метода оценивается снизу величиной индивидуальной ошибки положения рассматриваемой быстрой звезды в Альмагесте, деленной на скорость ее собственного движения.
Для повышения точности своих выводов, Ю.Н. Ефремов применяет метод моделирования случайных ошибок Альмагеста. Точность предлагаемого им метода моделирования, состоящего в многократном возмущении координат звезд из Альмагеста некоторой случайной величиной, "сравнимой" с точностью каталога, в работах Ю.Н. Ефремова не оценивается. Между тем этот метод будет работать лишь в том случае, если в результате случайных возмущений координаты звезд из Альмагеста станут близкими к истинным координатам с "заметной" вероятностью. Но в результате влияния упомянутой выше индивидуальной ошибки такое попадание в окрестность истинных координат, скорее всего, будет иметь малую вероятность. В любом случае эту вероятность следует оценить. В работе [274] нет и намека на подобные оценки. Вообще, с точки зрения математической статистики, предлагаемые авторами работ [273], [274] "методы" не выдерживают критики.
"Метод моделирования датировок", предложенный Ю.Н. Ефремовым сводится к следующему. Берется некоторое окружение быстрой звезды, например, Арктура. Методом наименьших квадратов определяется дата, дающая минимум среднеквадратичного отклонения совокупности взаимных расстояний звезд в Альмагесте от совокупности тех же величин в реальной, изменяющейся со временем конфигурации звезд на небе. Эта дата берется в качестве оценки истинной, неизвестной нам даты составления каталога. Ю.Н. Ефремов обозначает ее Т0.
Далее, достигнутый минимум среднеквадратичного отклонения почему-то объявляется оценкой для дисперсии локальной ошибки в каталоге Альмагеста. Ю.Н. Ефремов так и говорит: "По-разному группируя те же n звезд, получим ряд оценок ελβ. Они не являются независимыми, поэтому вместо осреднения мы выбираем из них максимальную, и будем считать ее оценкой локальной ошибки определения координат в каталоге Альмагеста" [273], с. 311.
Спрашивается, почему? Во-первых, локальную ошибку Альмагеста надо оценивать отдельно. Такая оценка необходима, чтобы понять - какую вариацию минимального уровня мы должны допустить, чтобы надежно "захватить" истинную дату составления каталога. Беря в качестве оценки для дисперсии само минимальное значение, Ю.Н. Ефремов по сути дела вообще не допускает вариации минимума.
Во-вторых, слишком малый объем выборки (порядка 5–6 независимых наблюдений), по которой усредняется данная величина, не позволяет считать предлагаемую Ю.Н. Ефремовым оценку достаточно надежной. Такая оценка будет слишком подвержена случайным возмущениям. Оценку локальной ошибки следует получать по гораздо большему количеству звезд.
Далее, Ю.Н. Ефремов моделирует случайные возмущения птолемеевских координат на основе "определенной" им локальной ошибки. Он пишет: "Зная ошибку ελβ в каждой группе, можно численным экспериментом изучить влияние случайных ошибок координат на определение Т0. Смоделируем поправки к координатам звезд в каталоге Альмагеста, считая, что эти поправки распределены по нормальному закону со средним, равным нулю, и средней квадратической ошибкой ελβ в каждой группе, и определим соответствующее значение Т0. Повторив эту процедуру 100 раз, построим распределение найденных оценок Т0" [273], с. 312. Далее Ю.Н. Ефремов пишет: "Общий для всех групп интервал с учетом средних квадратических ошибок эпох Т0 - это I век до н. э." [273], с. 313. Ю.Н. Ефремов делает также следующее "замечательное" утверждение: "Вероятность случайно получить значение Т0 больше 900 достигает значения 0,2 только в группе с наибольшей дисперсией. Следовательно, каталог Альмагеста с очень большой вероятностью не является средневековой подделкой" [274], с. 188–189.
Таким образом, Ю.Н. Ефремов очевидно полагает, что истинная дата должна оказаться достаточно близко к его "средней смоделированной дате" Т0, причем эту близость он оценивает "с учетом полученных выше среднеквадратических ошибок" [273], с. 313.
Этот подход совершенно не верен. Ясно, что в качестве средней смоделированной даты T0 Ю.Н. Ефремов получает просто свою исходную оценку Т0 с добавлением некоторого случайного возмущения, внесенного самим Ю.Н. Ефремовым. В качестве же распределения смоделированных дат он получает некоторое распределение с центром в этой исходной датировке Т0 по данной группе. Ю.Н. Ефремов полагает, что истинная дата должна лежать не слишком далеко от центра этого распределения. То есть, другими словами, - что вносимые им случайные возмущения с некоторой заметной вероятностью случайно "захватят" истинные положения птолемеевских звезд. Иначе говоря, он надеется, что при его моделировании ошибки Птолемея случайно уничтожатся. Причем - с заметной вероятностью. Именно это и утверждает Ю.Н. Ефремов в приведенной выше цитате, говоря что дату позднее 900 года н. э. молено получить при моделировании лишь со "слишком маленькой вероятностью 0,2". По его мнению, это делает средневековую датировку Альмагеста слишком маловероятной.
Но дело в том, что исходная его датировка Т0, вокруг которой группируются смоделированные датировки, отличается от истинной даты на некоторую величину. Эта величина смещения, как показывает простой расчет, сделанный нами выше, может быть достаточно большой. В случае Арктура она оценивается снизу величиной 420 лет, см. выше. Указанное смещение определяется индивидуальной ошибкой Птолемея в координатах быстрой звезды, а также индивидуальными ошибками для звезд выбранного окружения. Кстати, как показали наши расчеты, она может очень сильно зависеть от выбора окружения. Поэтому в значении Т0 уже зафиксирована некоторая, возможно весьма значительная, индивидуальная ошибка. "Моделируя" добавочные случайные ошибки звезд окружения, Ю.Н. Ефремов, таким образом, строит некоторое распределение вокруг возможно сильно смещенной истинной даты. Однако, приводя графики смоделированных им распределений, Ю.Н. Ефремов, как следует из его слов, полагает, что истинная дата должна каждый раз находиться где-то близко к центру этих распределений. Во всяком случае, в некотором доверительном интервале с уровнем доверия порядка 0,8, поскольку вероятность 0,2 он считает уже слишком малой.
ЭТО НЕВЕРНО. Приведенная выше простейшая оценка показывает, что истинная дата может находиться очень далеко от центра такого смоделированного распределения. Например, для Арктура - более чем на 420 лет, см. выше. В то же время, разброс смоделированных дат вокруг смещенной даты может быть не очень сильным. Дело в том, что моделируя такой разброс, Ю.Н. Ефремов закладывает необоснованно заниженное значение среднеквадратичной ошибки, взятое им из минимума параболы. Никаких специальных оценок этой ошибки Ю.Н. Ефремов почему-то не делает.
Кроме того, нетрудно оценить, что случайно моделируя поправку к координатам даже одной звезды, вероятность вернуться к ее истинному положению, вообще говоря, весьма мала. Это показывает следующий простой расчет. Предположим, что индивидуальная ошибка Птолемея для некоторой звезды составляет 45′ по дуге. Такая ошибка типична для Альмагеста. Значительное число звезд в Альмагесте измерено гораздо хуже [1339]. Подчеркнем еще раз, что речь идет об ошибке по дуге. Ошибки по широте, как мы покажем ниже, существенно меньше.
Из приведенного выше расчета, например, для Арктура, следует, что для того, чтобы смоделировать конкретную датировку, отличающуюся от истинной не более чем на 400 лет, необходимо "попасть" в 14-минутную окрестность истинного положения звезды. Причем, при условии, что звезды окружения уже попали в нужные положения, и существенных возмущений в датировку не вносят. Вероятность попадания в 14-минутную окрестность из положения, сдвинутого на 45′, можно оценить сверху вероятностью попадания в заштрихованный сектор на приведенном рис. 3.13а.
Рис. 3.13а 14-минутная окрестность истинного положения звезды.
Считая вероятность попадания возмущенной точки в круг радиуса 60′ с центром в точке А, равным 1, получаем, что вероятность попадания в заштрихованный сектор не превосходит 0,1. Таким образом, даже в этом идеальном случае вероятность случайного получения даже не истинной даты, а всего лишь даты, отличающейся от истинной не более чем на 400 лет, имеет порядок 0,1. Ю.Н. Ефремов же считает, что порог вероятности 0,2 уже достаточен, чтобы отвергнуть датировки после 900 года как невероятные.
Авторы [274] заявляют, будто результаты вычислений по другим быстрым звездам, - почему-то не приведенные в их работе, - подтверждают выводы, основанные на исследовании о Эридана и Арктура. Однако это заявление не соответствует действительности.
Приведем лишь один яркий пример. Среди быстрых звезд, обработанных авторами работ [273] и [274], содержится знаменитая в средневековой астрономии звезда Процион. Наши исследования, см. например раздел 1, показали, что Ю.Н. Ефремов должен был, пользуясь своим "методом", получить по Проциону датировку примерно X веком н. э., которая никак не вяжется с его выводами. Почему-то в [273] о результатах по Проциону ничего не говорится.
Наконец, "метод", излагаемый в работах [273], [274], сильно зависит от выбора окружения исследуемой быстрой звезды, то есть от состава ее группы. Мы проверили, как меняется датировка по группе Арктура в зависимости от выбора различных звезд в этой группе. Оказалось, что при изменении состава группы датировка по Арктуру меняется от 0 года н. э. до 1000 года н. э., то есть "результаты" могут колебаться с амплитудой до тысячи лет. Это обстоятельство полностью обесценивает предлагаемый Ю.Н. Ефремовым "метод".
Выводы.
1. Заявленный в работах Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273], [274] результат датировки Альмагеста по собственным движения звезд, авторами не обоснован. Более того, некоторые приведенные в [273], [274] рассуждения содержат "порочный круг".
2. Если очистить работы [273], [274] от рассуждений типа "порочного круга", то их "остаток" не противоречит нашей датировке. См. ниже.
3. Рассуждения Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273], [274] об оценке точности их метода, - в частности, моделирование поправок к Альмагесту, - математически безграмотны и, по нашему мнению, бессмысленны.
4. Авторы [273] и [274] "почему-то" не рассмотрели Процион, датировка по которому сильно отличается от скалигеровской.
Работа Ю.Н. Ефремова и Е.Д. Павловской [273] была опубликована в Докладах Академии Наук СССР в 1987 году. На ошибки, содержащиеся в их работах [273], [274] мы указали, в частности, в наших статьях [350], [355], опубликованных в Докладах Академии Наук СССР в 1089 и 1990 годах. Кроме того, мы лично сообщили Ю.Н. Ефремову о его ошибках на семинаре в Институте истории естествознания и техники в 1989 году. Эти ошибки Ю.Н. Ефремовым исправлены не были. Более того, он всячески уклоняется от их обсуждения.
4.5. Еще один пример неправильной оценки точности астрономических вычислений
Остановимся еще на одной публикации [179], затрагивающей вопрос о датировке Альмагеста. Ее авторы Е.С. Голубцова и Ю.А. Завенягин сообщают, ссылаясь на Галлея, что за время, прошедшее от Птолемея до Галлея, - а точнее, до 1690 года, когда был создан звездный каталог Флемстида, - Арктур сместился на 1,1 градуса в сторону Девы. Сопоставив это с тем, что за один год Арктур смещается по небу на 2,285″, Е.С. Голубцова и Ю.А. Завенягин проводят следующий простой расчет. Они пишут: "Разделив 1,1 градуса на 2,285 угловых секунд в год, получим 1733 года. Наконец, вычтя 1733 из 1690 (то есть из года составления каталога Флемстида), получим, что каталог Альмагеста составлен в 43 году до н. э. Ошибка разности координат соседних звезд значительно меньше, чем ошибка самих координат, так как при вычитании уничтожается систематическая ошибка. Поэтому средняя ошибка в положении ярких звезд относительно соседних с ними звезд в Альмагесте не превышает 0,1 градуса (? - Авт.). Это означает, что возможная ошибка датировки не превышает 150 лет" [179], с. 75.
Таким образом, если авторы [273] датируют каталог по Арктуру 250 годом н. э., - а после "уточнения" даже 310 годом н. э., с точностью ±360 лет, - то авторы [179], выполнив всего-навсего одно арифметическое действие, "датируют" Альмагест, тоже по Арктуру, 43 годом н. э. с гораздо более высокой точностью ± 150 лет.
Однако цитированный выше текст из [179] рассчитан на читателей, которые не поинтересуются реальным расположением звезд на небесной сфере. Вычисление авторов работы [179] основано на молчаливом предположении о том, что вектор собственного движения современного Арктура направлен в точности на его положение, указанное в Альмагесте. Если бы это было так, в их расчете содержалось бы какое-то рациональное зерно. Однако в действительности это не так. На рис. 3.1 мы привели истинное направление движения Арктура по отношению к его положению, отмеченному в Альмагесте. Отчетливо видно, что Арктур движется заметно "вбок" от положения, отмеченного в Альмагесте. Поэтому на 2″ нужно делить не 1,1 градуса, - как это лукаво делают авторы работы [179], - а на существенно меньшую величину. Что даст примерно 900 год н. э. Конечно, со значительной возможной ошибкой, в силу грубости метода. Обсуждение точности такого метода см. выше.
Таким образом, о заявленном Е.С. Голубцовой и Ю.А. Завенягиным 43 годе н. э. с точностью ±150 лет в качестве датировки Альмагеста по собственному движению Арктура не может быть и речи.