Пятидесятикопеечные монеты
Условие
В ряд выложили 2001 монету достоинством 5, 10 и 50 копеек. Оказалось, что между любыми двумя пятикопеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между двумя десятикопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя пятидесятикопеечными монетами лежат хотя бы три монеты.
Определите, сколько в ряду пятидесятикопеечных монет.
Подсказка: сначала определите, сколько пятидесятикопеечных монет может быть среди четырех взятых подряд монет.
Ответ
Рассмотрим любые четыре идущие подряд монеты и попробуем доказать, что среди них
есть одна пятидесятикопеечная. Если среди них нет пятидесятикопеечной, то пятикопеечные и десятикопеечные монеты чередуются, что невозможно.
Двух пятидесятикопеечных монет тоже быть не может, поскольку между ними должно быть хотя бы три монеты. Из этого можно сделать вывод, что среди первых 2000 монет ровно 500 пятидесятикопеечных. Следовательно, всего пятидесятикопеечных монет может быть 500 или 501.
Неверные мужья
Условие
В некотором королевстве правил король. Все мужчины этого королевства хорошо разбирались в математике, все они почитали своего короля и выполняли все, что он им прикажет.
Король всегда говорил только правду. Все выстрелы в королевстве слышны в каждом доме, а все перечисленные факты известны каждому жителю королевства.
Король был озабочен неверностью некоторых жен в королевстве и решил покончить с их изменами раз и навсегда. Поэтому он собрал всех женатых мужчин на городской площади и сделал следующее заявление: "Существует
по крайней мере одна неверная жена в королевстве. Все женатые мужчины знают о верности или неверности всех чужих жен, но о своей супруге не имеют никакой информации. Я запрещаю вам обсуждать верность своей жены с другими мужчинами. Как только муж узнает, что его жена изменяет ему, он должен застрелить ее в тот же день в полночь".
Тридцать девять тихих ночей минуло после речи короля. В сороковую ночь прозвучали выстрелы. Сколько жен было убито?
Подсказка: муж верной жены знает обо всех неверных женах, муж неверной – обо всех, кроме одной.
Ответ
Обозначим n число неверных жен. Тогда муж каждой неверной жены знает о существовании (n – 1) неверных жен. Пусть n = 1. Тогда муж этой жены полагает, что все жены верны.
Услышав от короля, что существует по крайней мере 1 неверная жена, он понимает, что это его супруга, которую он обязан застрелить.
Далее пусть n = 2. Мужья этих женщин полагают, что в королевстве есть лишь 1 неверная жена, и ждут, что ее супруг застрелит ее в первую же ночь. Поскольку убийства не произошло, это значит, что их собственная жена неверна и ее следует застрелить.
Действуя далее по индукции, получаем, что n неверных жен будет застрелено в n-ю ночь, то есть в сороковую ночь было убито 40 неверных жен.
Адрес Саши
Условие
Даша и Наташа хотят отправиться в гости к Саше. Все они живут на одной и той же улице в разных домах, но Даша и Наташа не знают, где живет Саша. Дома на улице имеют номера от 1 до 99.
Даша спросила Сашу: "Верно ли, что номер твоего дома – полный квадрат?". Саша ответил. Затем Даша спросила: "Верно ли, что номер твоего дома больше 50?". Саша ответил.
Затем Даша подумала, что она знает адрес Саши, и пошла к нему в гости. Оказалось, что она ошиблась, что и неудивительно, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.
Подсказка: известно, что Саша на все четыре вопроса ответил утвердительно.
После этого Наташа спросила Сашу: "Верно ли, что номер твоего дома – полный куб?". Саша ответил. Затем Наташа спросила: "Верно ли, что номер твоего дома больше 25?". Саша ответил.
Наташа решила, что она знает номер дома Саши, и отправилась к нему в гости. Оказалось, что и она ошиблась, поскольку Саша ответил правдиво только на второй вопрос.
Определите адрес всех троих друзей, если известно, что номер дома Саши меньше, чем номера домов девушек и что сумма всех номеров – удвоенный полный квадрат.
Ответ
Обозначим Nd, Nn, Ns номера домов Даши, Наташи и Саши. Очевидно, что Саша ответил Даше оба раза утвердительно.
Существует только 2 квадрата больше 50: 64 и 81 – значит в одном из этих домов живет Даша.
Поэтому она и подумала, что Саша живет в другом. Значит, на самом деле Ns > 50 и Ns = 64 и ? 81; Nd ? 64 или Nd = 81.
Аналогично Саша ответил Наташе оба раза "да". Существует только 2 куба больше 25 – 27 и 64, значит в одном из этих домов живет Наташа.
Именно поэтому она и подумала, что Саша живет по другому адресу.
Учитывая, что деле Ns > 50, Ns ? 64 и ? 81, получаем Nd = 81, Nn = 64, Ns > 50, Ns < 64. Перебором находим, что Ns = 55 (81 + 64 + 55 = 2х 102).
Получается, что номер дома Даши 81, Наташи – 64, а Саши – 55.
Опечатка
Условие
В одном из учебников по математике написано, что наибольшее известное простое число – это разность 23021377 – 1.
Не опечатка ли это?
Подсказка: попробуйте найти последнюю цифру этого числа.
Ответ
Это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося на 1, тоже оканчивается на 1. Поэтому разность 23021377 – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.
Торт
Условие
Хозяйка купила торт. К ней может прийти или 10, или 11 гостей.
На какое наименьшее число кусков ей необходимо заранее разрезать торт, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?
Подсказка: если придут 10 гостей, каждый должен получить не меньше 2 кусков, иначе торт невозможно было бы разделить поровну на 11 человек.
Ответ
Хозяйке следует разрезать торт на 20 кусков. Докажем сначала, что разрезать торт меньше, чем на 20 кусков, не удастся. Если придут
10 человек, то каждый из них должен получить не меньше 2 кусков. В самом деле, в противном случае один из 10 гостей получил бы 1 кусок и 1/10 часть торта, а если бы пришло
11 гостей, то этот кусок нужно было бы дополнительно разрезать.
Таким образом, количество кусков не меньше, чем 2 ? 10 = 20.
Покажем, что 20 кусков торта хватит всем гостям. Разрежем торт на 10 кусков по 1/11 части и на 10 кусков по 1/110 части. Если придут 10 гостей, то каждый получит один большой кусок и один маленький – всего 1/11 + 1/110 = 1/10. Если же придут 11 человек, то 10 из них получат по 1 большому куску, а 1 человек – 10 маленьких кусков.
Рулетка
Условие
Пьер никогда не проигрывает в рулетку больше 4 раз подряд и никогда не ставит на кон больше 20 долларов.
Каким образом он может выиграть 1000 долларов, если в случае выигрыша в рулетку возвращается удвоенная ставка и в самом начале игры у Пьера есть 100 долларов?
Подсказка: Пьер может делать ставки таким образом, чтобы выигрыш приходился на ставки, размеры которых больше предыдущих проигрышей. Для этого следует увеличить ставку после проигрыша.
Ответ
Пусть Пьер поставит сначала 1 доллар и, если выиграет, скажет "о’кей" и снова поставит 1 доллар. Если проиграет, то в следующей ставке он ставит 2 доллара. Если выиграет, то
его выигрыш покроет предыдущий проигрыш и по сумме 2 ставок он выиграет 1 доллар.
После этого пусть Пьер снова скажет "о’кей" и в новой ставке ставит 1 доллар. Если он проиграет и во второй раз, в третий раз он поставит 4 доллара, чтобы в случае выигрыша покрыть предыдущие проигрыши.
Если проигрывает в третий раз, то в четвертый раз ставит 8 долларов, если проигрывает и в четвертый, то в пятый раз ставит 16 долларов.
По условию он не проигрывает 5 раз подряд, значит, играя таким образом до первого выигрыша, он заработает 1 доллар не более чем за 5 ставок. После этого он скажет "о’кей" и будет делать ставки так же, как и вначале.
Получается, что после 1000 "о’кей" Пьер выиграет 1000 долларов. Для этого ему потребуется сделать не более 5000 ставок.
Альпинист
Условие
Альпинист стоит на горе высотой 100 м. На вершине горы дерево, на высоте 50 м (посередине горы) – еще одно дерево.
У альпиниста есть только 75 м веревки и нож. Может ли он спуститься с горы?
Подсказка: альпинисту следует разрезать веревку на 2 куска по 50 и 25 м.
Ответ
Альпинисту нужно отрезать 25 м веревки, один конец привязать к дереву на вершине горы, а на другом сделать петлю, через которую следует пропустить оставшиеся 50 м веревки, сложенной вдвое: 25 + 50 ? 1/2 = 50, то есть ему как раз хватит веревки, чтобы добраться до дерева, расположенного на высоте 50 м.
Далее альпинисту необходимо вытянуть веревку из петли, привязать к дереву и спуститься вниз.
Можно ли "сотку" разделить на 9?
Условие
В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные – разными). Оказалось, что слово "девяносто" делится на 90, а "девятка" – на 9.
Можно ли "сотку" разделить на 9?
Подсказка: воспользуйтесь признаком делимости на девять.
Ответ
Буква "о" равна нулю. Сумма восьми различных цифр д + е + в + я + н + о + с + т делится на 9. Поскольку сумма всех цифр 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 делится на 9, то сумма 2 оставшихся цифр а + к делится на 9. В этом случае слово "сотка" делится на 9 тогда, когда с + т делится на 9 (так как о = 0, а + к делится на 9).
С другой стороны, д + е + в + я + т + к + а делится на 9 (д + е + в + я + т делится на 9, н + с делится на 9, так как д + е + в + я + н + о + с + т делится на 9 и о = 0).
Из этого можно сделать вывод, что с + т не может делиться на 9, следовательно, слово "сотка" тоже на 9 не делится.
Клоуны
Условие
В шеренгу выстроено n клоунов. На голову каждого надевают колпак одного из цветов: красного, желтого или зеленого. Клоун, стоящий в шеренге n-м, видит всех остальных клоунов, n-1-й клоун видит n-2 клоунов, стоящих впереди, ... 2-й клоун видит только первого, первый клоун не видит никого.
Цвет своего колпака клоун определить не может. Каждого клоуна по порядку, начиная с n-го, просят ответить, какого цвета у него колпак. Клоун обязан назвать один из 3 цветов.
Какое максимальное число клоунов может гарантированно угадать цвет своих колпаков? При этом клоуны перед опоросом могут договориться, но не могут заранее знать, какие колпаки на них наденут.
Подсказка: отвечая на вопрос о цвете своего колпака, клоуны могут подсказывать друг другу.
Ответ
Пронумеруем цвета числами от 0 до 2. Видя всех, кроме себя n-й клоун складывает числа, соответствующие цветам видимых им колпаков, и называет цвет, соответствующий остатку от деления полученной им суммы на 3.
n-1-й клоун слышит ответ n-го и видит всех остальных клоунов, кроме себя и n-го. Он также может сложить числа, соответствующие видимым им колпакам, и взять остаток от деления на 3.
Разность между ответом n-го клоуна и этим числом будет соответствовать цвету колпака на n-1-м клоуне, что даст ему возможность правильно назвать цвет своего колпака.
Таким же образом действует и n-2-й клоун, учитывая 2 предыдущих ответа. Получается, что все клоуны, кроме n-го, гарантированно узнают цвет своего колпака (n-й клоун не может узнать цвет своего колпака, так как его колпак никто не видит).
Бесконечные крестики-нолики
Условие
На бесконечной клетчатой бумаге двое играют в крестики-нолики. Один игрок ставит своим ходом 2 крестика (не обязательно рядом), а другой – 1 нолик.
Сможет ли играющий крестиками поставить 10 крестиков в ряд?
Подсказка: на первых этапах игры нужно стремиться ставить крестики далеко друг от друга.
Ответ
Первые 29 = 512 крестиков (за 256 ходов) следует ставить далеко друг от друга (например, на расстоянии 30 клеток друг от друга по горизонтальной прямой).
Ответными ходами второй игрок может "испортить" только 256 крестиков, поставив рядом нолик, а 28 = 256 останутся "неиспорченными". Поставив 256 крестиков (за 128 ходов) рядом с каждым "неиспорченным", получим не менее 27 = 128 "неиспорченных" пар.
Далее аналогично получаем 26 = 64 "неиспорченные" тройки крестиков, 25 = 32 "неиспорченные" четверки крестиков, ..., 2 "неиспорченные" восьмерки и 1 "неиспорченную" девятку.
За 1 ход второй игрок не сможет закрыть ряд из 9 крестиков с двух сторон.
И следующим ходом первый игрок поставит еще 1 крестик, то есть получит ряд из 10 крестиков.
Коммунальная квартира
Условие
В коммунальной квартире 10 комнат. Жильцы этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, они снимают дверь какой-либо другой комнаты и относят ее в подвал.
Если же дверь их комнаты отсутствует, они забирают из подвала любую дверь и ставят ее на место своей (если ни одно из этих действий невозможно, они не делают ничего).
Какое наибольшее количество дверей может оказаться в подвале после того, как все жильцы комнат проснутся?
Подсказка: подумайте, могут ли оказаться в подвале все 10 дверей.
Ответ
Представим, что жильцы коммунальной квартиры просыпаются в порядке нумерации их комнат: сначала – первой, потом – второй и т. д.
Рассмотрим комнату, в которой сняли дверь жители первой комнаты. Когда жильцы комнаты со снятой дверью проснутся, они повесят свою дверь на место. В результате этих операций ни одной двери в подвале не прибавится и, если даже жильцы остальных 8 комнат снимут по двери, в подвале окажется не более 8 дверей.
Например: жильцы первой комнаты снимают дверь в десятой комнате, жильцы второй комнаты снимают дверь в первой, ..., жильцы n-й комнаты снимают дверь в n – 1 (1 < n < 10) комнате.
Проснувшиеся последними жильцы десятой комнаты вешают свою дверь на место, после чего в подвале окажется 8 дверей от первой, второй, третьей, четвертой, пятой, шестой, седьмой и восьмой комнат.
Конструктор
Условие
Никите подарили игру "Конструктор", в которой было 100 деталей разной длины. В инструкции к игре написано, что из любых 3 деталей можно составить треугольник.
Никита решил проверить это утверждение и стал составлять из деталей треугольники.
Детали лежат в наборе по возрастанию длины.
Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) необходимо сделать Никите, чтобы доказать или опровергнуть то, что написано в инструкции?
Подсказка: любая из деталей короче самой длинной и длиннее самой короткой, а любые 2 детали в сумме короче 2 самых длинных и длиннее 2 самых коротких.
Ответ
Никите нужна только 1 проверка. Ему достаточно проверить, можно ли составить треугольник из 2 самых коротких деталей и 1 самой длинной.
Если треугольник не составляется, то утверждение инструкции опровергнуто. Если же его можно составить, то сумма длин 2 самых коротких деталей больше длины самой длинной, а это означает, что из любых деталей можно составить треугольник.
Карточный фокус
Условие
На одном столе лежат карты, 10 из которых лежат рубашкой вниз. Фокусник с повязкой на глазах подходит к столу, берет несколько карт и перекладывает их на другой стол, при этом, возможно, переворачивая некоторые из них.
Такую операцию разрешается повторять несколько раз (можно брать карты как с первого, так и со второго стола).
Как переложить карты так, чтобы на обоих столах было одинаковое количество карт, лежащих рубашкой вниз?
Подсказка: подумайте, что будет, если переложить 1 карту, перевернув ее.
Ответ
Переложим на второй стол 10 карт, переворачивая каждую из них. Предположим, что среди этих карт оказалось n лежащих рубашкой вниз и 10-n лежащих рубашкой вверх.
В этом случае после перекладывания на втором столе будет 10-n лежащих рубашкой вниз карт, а на первом столе останется 10-n карт, лежащих рубашкой вниз (было 10 карт, из них n штук переложили).
Таким образом, мы получим то, что требуется в условии головоломки.
Сто сумасшедших художников
Условие
Сто сумасшедших художников последовательно красят часть стены 100 ? 100 клеток в 100 цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться 2 клеток одинакового цвета. Смогут ли 99 сумасшедших художников правильно покрасить стену, если первый художник уже покрасил "свои" 100 клеток?
Подсказка: первый сумасшедший художник покрасил клетки только в первых 2 строках.
Ответ
К сожалению, план сумасшедших художников обречен на провал: например, если в первой строке первые 99 клеток покрашены в 99 различных цветов, а последняя клетка второй строки покрашена в сотый цвет.
Хоккейный матч
Условие
Хоккейный матч между командами "Дружба" и "Мир" закончился со счетом 8 : 5.
Докажите, что в матче был такой момент, когда "Дружбе" оставалось забить столько голов, сколько "Мир" уже забил к этому времени.
Подсказка: учтите, что в начале игры счет был 0 : 0, а закончилась игра со счетом 8 : 5.
Ответ
Матч начался с суммарного счета 0, а потом изменялся на единицу и окончательный суммарный счет стал равен 13. Из этого можно сделать вывод, что в матче был такой момент, когда было забито 8 голов.
Пусть n голов забил "Мир", тогда 8-n голов забила "Дружба", что и требовалось доказать.