Шахматные фигуры
Условие
Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 ? 8 (в каждой
клетке не более 1 фигуры) так, чтобы в любых 2 столбцах фигур было поровну, а в любых 2 строках – разное количество?
Подсказка: разделите строки по парам, в первой строке каждой пары пусть находится n фигур, а во второй – 8-n.
Ответ
Разобьем строки на 4 пары. В каждой паре строк поставим 8 шахматных фигур: n фигур (n – номер пары строк) – в первой строке данной пары и 8-n фигур – во второй строке пары. Причем расположим их в тех столбцах, в которых не стоит фигура из первой строки данной пары.
В результате в каждом столбце доски 8 ? 8 будет стоять по 4 фигуры (по одной в каждой паре строк), а в 8 строках – 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 фигур. Таким образом, условие задачи выполняется.
Вредный старик
Условие
При посадке в автобус выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).
После этого пассажиры по очереди заняли свои места. При этом, если место кого-нибудь из пассажиров занято, он садится случайным образом на одно из свободных мест.
Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?
Подсказка: представьте, что последний пассажир сел на свое место. Тогда в тот момент, когда один из пассажиров занимал место последнего, он мог занять и место вредного старика.
Ответ
Представим, что при определенном стечении обстоятельств последний пассажир сел не на свое место (такой случай назовем неудачным).
Тогда до прихода последнего пассажира его место было занято пассажиром S (S может быть и вредным стариком).
У пассажира S был выбор какое место занять. В рассматриваемом случае он занял место последнего пассажира. Но с этой же вероятностью он мог занять и место вредного старика, тогда в дальнейшем все пассажиры, включая и последнего, займут свои собственные места.
Получается, что каждому неудачному случаю соответствует удачный, который может произойти с той же вероятностью.
Это говорит о том, что в половине случаев распределение пассажиров по местам будет неудачным.
Упорядоченные тройки
Условие
Можно ли из любых 5 чисел, написанных в ряд, выбрать три, идущих в порядке убывания или в порядке возрастания?
Ответ
Предположим, что n и s – наибольшее и наименьшее из написанных чисел. Если между ними есть какое-либо число, то утверждение верно.
Если они располагаются рядом, то либо справа, либо слева от них есть еще 2 числа. Именно они и образуют нужную тройку чисел либо с числом n, либо с числом s.
Упорядоченные четверки
Условие
Можно ли из любых 9 различных чисел, написанных в ряд, выбрать четыре, идущих в порядке убывания или возрастания?
Подсказка: попробуйте привести пример из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, в котором условие задачи не выполняется. Для этого разбейте их на тройки, упорядочьте числа внутри каждой тройки в обратном порядке расположения самих групп, считая тройки упорядоченными по наибольшему или наименьшему в них числу.
Ответ
Напишем ряд из следующих 9 чисел: 3, 2, 1, 6, 5, 4, 9, 8, 7. Докажем, что никакие 4 числа в этой последовательности не идут ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания. Для
этого разобьем их на тройки: 321, 654, 987.
Если какие-то 2 числа из этих девяти упорядочены по возрастанию, они будут из разных троек. Поскольку троек всего три, нельзя выбрать более 3 цифр, располагающихся в возрастающем порядке.
Если же какие-то 2 числа из этих девяти стоят в убывающем порядке, они обязательно из одной тройки. Поэтому нельзя выбрать более 3 чисел, стоящих в убывающем порядке, так как все они должны располагаться в одной тройке.
Хитрая последовательность чисел
Условие
Продолжите данную последовательность чисел:
1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213.
Подсказка: разбейте подряд идущие цифры всех чисел, начиная со второго, на пары.
Ответ
Каждое следующее число описывает предыдущее: в числе была 1 единица – 11; 2 единицы – 21; 1 единица, 1 двойка – 1112, 3 единицы, 1 двойка – 3112 и т. д.
Ошибка журналиста
Условие
Главный редактор газеты "Новость дня" Матвей Сигизмундович нашел ошибку в большой статье, которую писали вместе 3 журналиста: Арнольд Никифорович, Петр Вахтангович и Ричард Львович.
На планерке они стали оправдываться.
Арнольд Никифорович: 1. "Не я ошибся". 2. "Ошибку допустил Ричард Львович". 3. "Я написал другую часть статьи".
Петр Вахтангович: 1. "Ошибся Арнольд Никифорович". 2. "Я знаю, как исправить эту ошибку". 3. "Всем людям свойственно ошибаться".
Ричард Львович: 1. "Не я ошибся". 2. "Я с самого начала подозревал, что в статье – ошибка". 3. "Арнольд Никифорович действительно писал другую часть статьи".
Подсказка: попробуйте найти журналиста, предположение ошибки которого не приводит к противоречию, в отличие от предположения ошибки 2 других.
Ответ
Предположим, что ошибку допустил Арнольд Никифорович. Но тогда неверны сразу
2 его высказывания, что противоречит условию задачи.
Предположим, что ошибся Петр Вахтангович. Построим схему, в которой словом "нет" отмечены заведомо ложные в этом случае высказывания, а словом "да" – те, которые могут быть правдивыми.
Арнольд Никифорович: 1 – да; 2 – нет; 3 – да.
Петр Вахтангович: 1 – нет; 2 – да; 3 – да.
Ричард Львович: 1 – да; 2 – нет; 3 – да.
Схема показывает, что противоречий с условием не возникает, то есть Петр Вахтангович мог ошибиться.
Предположим, что ошибся Ричард Львович. Тогда неверно третье высказывание Арнольда Никифоровича (поскольку два первых его высказывания верны), поэтому неверно третье высказывания Ричарда Львовича (оно точно такое же), но тогда верно первое высказывание Ричарда Львовича (только одно из его высказываний – третье – неверно), а это противоречит предположениям.
Итак, ошибиться мог только Петр Вахтангович, значит, он это и сделал.
Переправа
Условие
Группа туристов ночью подошла к мосту. Павел может перейти его за 1 минуту, Михаил – за 2, Мария – за 5, а Белла – за 10 минут. У них есть только один фонарик. Мост может выдержать только двоих.
Как туристы могут перейти мост за 17 минут? При этом, если переходят двое, они идут с меньшей из скоростей.
Двигаться по мосту без фонарика нельзя, точно так же, как и носить друг друга на руках. Кидать фонарик тоже нельзя.
Подсказка: посмотрите внимательно на время, в течение которого мост переходят Белла и Мария. Создается впечатление, что для того чтобы вся группа успела перейти через мост, туристы должны переходит его только 1 раз и одновременно. Но тогда кто-то должен будет вернуть фонарик на другую сторону.
Ответ
Сначала переходят Павел и Михаил (2 минуты). Затем Павел с фонариком возвращается (1 минута). Далее переходят Белла и Мария (10 минут), после чего Михаил с фонариком возвращается (2 минуты). Потом переходят Павел и Михаил (2 минуты). Итого – 17 минут.
Число 203
Условие
Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 203?
Ответ
Можно: 203 = 7 + 29 + 1 + 1 + ... + 1 = 7 ? 29 ? 1 ? 1 ? ... ? 1.
Бикфордов шнур
Условие
Как известно, бикфордов шнур горит неравномерно, но сгорает ровно за 1 минуту. Можно ли при помощи 2 таких шнуров отмерить ровно 45 секунд?
Подсказка: попробуйте сначала с помощью одного шнура отмерить 30 секунд.
Ответ
Подожжем один из шнуров с обоих концов и одновременно второй – с одного конца.
Первый шнур сгорит через 30 секунд; в этот момент подожжем второй шнур со второго конца.
Как не опоздать на работу
Условие
Коллектив сотрудников (12 человек) отправился на выходные на турбазу, расположенную в 20 км от места их работы. В понедельник утром они должны были одновременно как можно скорее прибыть на работу. Для этого они остановили такси.
"Я еду со скоростью 20 км/час, – сказал водитель, – и могу взять только 4 человека. С какой скоростью вы идете пешком?". Один из сотрудников ответил: "Каждый из нас идет со скоростью 4 км/час". "Отлично!" – воскликнул водитель. – Тогда я поеду с четверыми из вас, подвезу их на какое-то расстояние, затем вернусь и посажу еще четверых, подвезу их и вернусь за остальными. От вас же требуется только одно: все время, пока вы не едете на такси, идти пешком".
Сотрудники отправились в путь ровно в 8 утра. Когда они приедут на работу?
Подсказка: если сотрудники должны прибыть на работу одновременно и все время, когда они не едут на такси, они должны идти пешком, то ехать на машине они должны одинаковое количество времени.
Ответ
Водитель такси должен подвезти четверых сотрудников на 12 км и высадить в 8 км от работы. Затем ему следует вернуться на 8 км и подобрать еще четверых (из восьми), которые к тому времени как раз окажутся там. Их ему нужно подвезти на 12 км и высадить в 4 км от работы.
Затем, вернувшись на 8 км за остальными, которые к тому времени успеют пройти 8 км, отвезти их на 12 км, то есть прямо до места работы.
Таким образом весь коллектив сотрудников прибудет на работу одновременно, причем такси пройдет 52 км за 2 часа 36 минут. Следовательно, сотрудники окажутся на рабочих местах в 10 часов 36 минут.
Три воскресенья
Условие
В месяце 3 воскресенья выпали на четные числа. Какой день недели был 7-го числа этого месяца?
Ответ
Через 7 дней повторяется каждый день недели. Поэтому первые 28 дней содержат 4 понедельника, 4 вторника, и 4 среды и т. д. При этом 2 воскресенья падают на четные числа, а 2 – на нечетные. Поэтому третье воскресенье выпадает на 30 число. Получается, что 2-го числа также было воскресенье, а 7-го числа – пятница.
Воздушные шарики
Условие
У Тани и Оксаны есть несколько воздушных шариков, среди которых имеются большие и маленькие, а также красные и зеленые.
Докажите, что подруги могут взять по одному шарику так, чтобы они одновременно оказались разного размера и разного цвета.
Ответ
Предположим, что Таня взяла какой-нибудь большой шарик, а Оксана – маленький. Если эти шарики оказались разных цветов, то задача решена.
Пусть шарики оказались одного цвета, например красного. В этом случае по условию задачи среди оставшихся шариков есть зеленый.
Если это большой зеленый шарик, пусть его возьмет Таня вместо своего, а если маленький, пусть его возьмет Оксана. После этого шарики у подруг будут разного цвета и разного размера.
Рыбаки и щуки
Условие
Пять рыбаков съели 5 щук за 5 дней. За сколько дней 10 рыбаков съедят 10 щук?
Ответ
Если 5 рыбаков съели 5 щук за 5 дней, то другие 5 рыбаков съедят за те же 5 дней еще 5 щук. Получается, что 10 рыбаков съедят 10 щук за 5 дней.
Апельсины
Условие
На продуктовом складе апельсины расфасованы в ящики по 24, 23, 17 и 16 кг.
Можно ли отправить в магазин со склада 100 кг апельсинов, не вскрывая ящики?
Ответ
Можно: 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг.
Баба-яга и тараканы
Условие
Все животные Бабы-яги, кроме 2, – жабы, все, кроме 2, – кошки и все, кроме 2, – вороны. Остальные – тараканы. Сколько тараканов у Бабы-яги?
Ответ
У Бабы-яги либо 2 таракана, либо 1 кошка, 1 жаба и 1 ворона.
Остановившиеся часы
Условие
У Ромы нет карманных часов, а только настенные, которые остановились. Он пошел к своему другу Володе, часы которого идут верно, пробыл у него некоторое время и, вернувшись домой, поставил свои часы правильно.
Как ему удалось это сделать, если он не знал, сколько времени у него займет дорога от своего дома до дома Володи?
Ответ
Рома завел остановившиеся часы, пошел к Володе, а вернувшись, подсчитал время, затраченное на дорогу.
Цыплята и утята
Условие
У цыплят и утят 42 ноги и 12 голов. Сколько цыплят и сколько утят?
Ответ
9 цыплят и 3 утенка.
Толщина книги
Условие
Известно, что 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина книги, если в ней 240 страниц?
Ответ
Страниц 240, на каждом листе 2 страницы, значит, всего листов 120: их толщина в 2 раза больше, чем 6, и, следовательно, равняется 2 см.
Шуточные головоломки на смекалку
Эти головоломки вы можете решать в одиночестве или предложить их в качестве игр для веселой компании. Выигрывает тот, кто первым даст правильный ответ на вопрос.
Корабль
Условие
Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек, а расстояние между ними 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Начинается прилив, при котором вода поднимается за каждый час на 15 см.
Через сколько времени покроется водой 3-я ступенька лестницы?
Ответ
Вода никогда не покроет 3-ю ступеньку, поскольку вместе с водой поднимутся и корабль, и лестница.
Жилец с двадцать пятого этажа
Условие
Андрей живет на 25-м этаже 30-этажного дома. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на 24-й этаж, а оттуда пешком еще на 1 этаж. Почему Андрей выходит из лифта на 24-м этаже?
Ответ
Он просто не достает до кнопки.
Трос
Условие
Трос растягивается на 1/2 см от нагрузки в 100 кг. На сколько сантиметров растянется трос от нагрузки в 10 т?
Ответ
Разорвется.
Произведение последовательных чисел
Условие
Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом 5 и оканчивающихся числом 5?
Ответ
Нулю.
Кнопка лифта
Условие
В 9-этажном доме есть лифт. На 1-м этаже живет 5 человек, от этажа к этажу количество жильцов удваивается.
Какую кнопку в лифте этого дома нажимают чаще других?
Ответ
Кнопку 1-го этажа.
Крыша
Условие
Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60°, другой – угол 70°.
Предположим, что селезень cнес яйцо на гребне крыши. В какую сторону упадет яйцо – в сторону более пологого или крутого ската?
Ответ
Селезни не несут яиц.
Двухтомник
Условие
На полке рядом стоят 2 тома одного произведения.
Сколько страниц находится между 1-й страницей 1-го тома и последней страницей 2-го тома, если в первом томе 320 страниц, а во втором 290 страниц?
Ответ
Только 2 обложки, поскольку 2-й том стоит справа от 1-го.
Ливень
Условие
Человек попал под ливень и ему негде и нечем было укрыться. Домой он пришел весь мокрый, но ни один волос на его голове не промок. Почему?
Ответ
Он был лысым.
Красная, черная, белая, зеленая
Условие
Двое гуляющих остановились около одного предмета и заспорили. Один сказал: "Это красная". Второй возразил: "Нет, это черная". "Почему же она белая?" – спросил первый. "А потому, что зеленая". Что это?
Ответ
Куст смородины.
Трехтомник
Условие
На книжной полке стоит трехтомник. Толщина каждого тома 5 см. Книжный червяк прополз от 1-й страницы 1-го тома до последней страницы 3-го тома (по прямой линии). Какой путь он проделал? Толщиной обложки следует пренебречь.
Ответ
Последняя страница 1-го тома и 1-я страница 3-го тома примыкают ко 2-му тому. Так что путь червяка равен толщине второго тома, то есть составляет 5 см.
Два поезда
Условие
Один поезд идет из Саратова в Москву, а другой – из Москвы в Саратов. Вышли они одновременно, но скорость первого в 3 раза больше скорости второго. Какой поезд будет дальше от Москвы в момент встречи?
Ответ
Поезда будут на одинаковом расстоянии.
Приложение.
Лучшие психологические тесты для игр в компании
Тест 1. Умеете ли вы ладить со своей второй половиной
1. Положа руку на сердце, можете ли вы сказать, что:
а) если не обращать внимания на мелочи, то вы вполне довольны своей второй половиной;
б) вашим знакомым намного больше повезло в семейной жизни, чем вам;
в) супруга (супруг), конечно, не без недостатков, но это не портит ваши отношения;
г) вы многое хотели бы изменить в своих отношениях со второй половиной.
2. Когда супруг (супруга) ругается с вами, он (она) это делает, потому что:
а) он (она) всегда так общается с вами;
б) у него (нее) плохое настроение, и она (он) "отрывается" на вас;
в) он (она) устал(а), у него (нее) неприятности;
г) ему (ей) просто хочется позлить вас.
3. В выходные вы решили отдохнуть друг от друга, проведя время каждый в своей компании, но при этом договорились к 23.00 быть дома. Как вы поведете себя:
а) боюсь, что забуду об условии;
б) постараюсь прийти вовремя;
в) чтобы ни случилось, буду дома ровно в 23.00;
г) оторвусь "на полную катушку" и приду домой, когда захочу.
4. Вы мечтаете о какой-либо дорогой вещи, но семейный бюджет не позволяет вам купить это (вашей второй половине срочно необходимо купить зимнюю обувь). Чем закончится дело:
а) вам придется распрощаться со своей мечтой;
б) вы будете копить деньги и через некоторое время купите себе то, что хотите;
в) дома будет постоянная война, которая так ни к чему и не приведет;
г) правдами или неправдами, но вы своего добьетесь.