Американский математик, исследователь в области теории чисел Эрик Т. Белл посвятил свою книгу истории происхождения математической мысли и разработки численной теории с момента ее зарождения в древности до современной эпохи. Обоснованно и убедительно автор демонстрирует влияние, которое оказала "магия чисел" на развитие религии, философии, науки и математики. Э.Т. Белл рассматривает процесс превращения числа из инструмента счета в объект культуры, сформировавшийся в VI веке до н. э. в школе древнегреческого философа, мистика, физика-экспериментатора и математика Пифагора – главного героя его исследования. Основополагающим моментом учения великого ученого древности стала доктрина о том, что "все сущее есть число". Доктор Белл изучил развитие этой доктрины: ее упадок в XVII веке и блистательное возрождение в современной физике. Автор также представил и проанализировал труды таких гигантов математики, как Галилей, Джордано Бруно, Ньютон.
Содержание:
Глава 1 - Прошлое возвращается 1
Глава 2 - Жезл фараона 3
Глава 3 - Во благо их самих 5
Глава 4 - Век глобальных решений 7
Глава 5 - Различия во мнениях 8
Глава 6 - Мудрость как профессия 9
Глава 7 - Не много, но достаточно 11
Глава 8 - Один или много? 13
Глава 9 - Размышления и сомнения 14
Глава 10 - Человек или миф? 15
Глава 11 - Дисгармония и гармония 18
Глава 12 - Гармония и дисгармония 21
Глава 13 - Преобразованная мифология 25
Глава 14 - Космос как число 27
Глава 15 - Так создал он? 37
Глава 16 - Намеки на бесконечность 38
Глава 17 - Ошибка рассуждений 42
Глава 18 - Политика и геометрия 43
Глава 19 - "Второе я" 47
Глава 20 - Обожествленное число 49
Глава 21 - Пифагор в чистилище 52
Глава 22 - Святые и еретики 59
Глава 23 - Поворотный пункт 62
Глава 24 - Епископ-скептик 63
Глава 25 - Верующий и неверующий 65
Глава 26 - Меняя взгляды 68
Глава 27 - Возвращение учителя 73
Эрик Т. Белл
Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Eric Temple Bell
The Magic of Numbers , Whittlesey House, 1946
Глава 1
Прошлое возвращается
Пифагор – объект нашего повествования. Рожденный за пятьсот лет до начала эры христианства, этот гигантский ум наложил отпечаток на пути развития западной цивилизации. В определенном смысле, его идеи сейчас не менее актуальны, чем в то время, когда он жил и когда дал импульс и определил направление развития донаучной истории к построению современной, неведомой ему, научной и технологической культуры.
Мистик, философ, физик-экспериментатор и, прежде всего, математик, Пифагор оказал значительное влияние на идеи современников и предвосхитил научный мистицизм нашего времени. Его гений оказался столь многогранен, что в Средние века даже слепые предрассудки и наиболее бескомпромиссный рационализм вынуждены были отступать перед ним. "Он так сказал". Основополагающим моментом его учения стала мистическая доктрина о том, что "все сущее есть число". В конце XVI века, в связи с возрожденными Галилеем экспериментальными методами в физике, методами, пионером которых за двадцать два века до этого был Пифагор, мистицизм чисел в науке был изжит.
XVII век ознаменовался созданием новой математики Ньютона и Лейбница, призванной упорядочить постоянно меняющийся поток познания, подчинив его строгим рассуждениям. Соединив математику с точным наблюдением и целенаправленными экспериментами, Ньютон с его последователями в XVII и XVIII веках создали современный научный метод для изучения астрономии и физических наук, который в неизменном виде просуществовал до третьего десятилетия ХХ века. Двуединая цель этого метода – суммировать наблюдаемые явления развития планеты с тем, чтобы определить главные закономерности, называемые их первооткрывателями "законами природы". Практически всегда наблюдения и опыты остаются первым и последним аргументом в исследовании. Каким бы разумным и каким бы верным ни казалось умозаключение математиков или иных строго дедуктивных, чисто умозрительных оценок, их нельзя принимать без результатов наблюдений или опытов.
Успехи такого подхода с лихвой перевешивали его поражения на протяжении всего XIX века и победно шагнули в век ХХ. Менее чем за два века применение научных технологий в промышленном производстве продиктовало существенное преобразование западной цивилизации, имевшее большее значение, чем все войны и революции предыдущих тысяч лет.
Попутно с этой эпохальной революцией в материальном мире столь же разрушительные изменения время от времени опрокидывали устоявшееся мировоззрение, из поколения в поколение владевшее умами людей. Вселенная как объект познания науки не всегда была откровением и традицией веры, и даже не всегда тем, что в соответствии с логикой, по общему мнению не ведающей ошибок, считалось фактом. И в этом случае все без исключения абсолютные истины за последние более чем две тысячи лет были тщательно пересмотрены и изучены. Все, что оказалось лишенным позитивного смысла, было безжалостно отвергнуто. Рассуждения, не подкрепленные опытом, больше не считались инструментом познания при освоении материальной части мироздания. Даже в традиционной сфере его
применения стерильность умозрительного подхода вызывала сомнения. Какую ценность для человечества представляют истины, оградившие себя от объективного исследования? Утверждения, что истины, отличные от научных, которые существовали в сфере вечного бытия и были недоступны для науки, имеющей ограниченные возможности, "подавили" лозунгом: "Опыт – критерий истины". Потом, около 1920 года, у прогрессивных ученых начали появляться сомнения.
К середине 1930-х годов несколько выдающихся и уважаемых физиков и астрофизиков поменяли свои взгляды на диаметрально противоположные. Безбоязненно взглянув в прошлое, они без сомнений большими шагами устремились назад в VI век до Рождества Христова, дабы воссоединиться со своим учителем. Хотя адресованные ему приветствия звучали куда более замысловато, чем любые слова, которыми мог бы пользоваться Пифагор, но говорили они на одном с ним языке. Смысл, сокрытый в рафинированной системе обозначений и замысловатых метафорах, не изменился за двадцать пять веков: "Все сущее есть число". Он понял их.
Возврат от опыта к умозаключениям, восторженно принятый отдельными философами и учеными, другие встретили с сожалением. Но главенство факта в новом подходе даже не обсуждалось. Либо это новые лидеры вернулись назад к Пифагору, чтобы подтвердить его правоту на протяжении прошедших веков, либо он сам перескочил через время, чтобы подвигнуть их к осознанию того, что современный научный подход Галилея и Ньютона лишь простое заблуждение.
Для начала исследовательское паломничество в прошлое бесстрашных ультрамодернистов задержалось в тени Платона. Быстро осознав, что во всем, что имело отношение к мистике чисел, Платон сам являлся лишь учеником, они отправились на поиски учителя. За два века до рождения Платона Пифагор поверил сам и учил других, что чистый разум, не подкрепленный опытом, в состоянии проникнуть в суть любых явлений, при этом наблюдение и опыт могут стать лишь ловушкой для излишне доверчивого ума. А из всех языков, в которых постоянные знания противостоят изменчивым точкам зрения, только язык чисел и есть та единственная опора, на которую можно смело полагаться чистому разуму.
"Он так сказал", – и ныне, спустя двадцать пять веков после смерти, он продолжает жить в языке нарождающейся науки. Ярый сторонник теории реинкарнации и переселения душ, Пифагор мог бы в конце концов найти подходящую обитель среди абсолютных абстракций теоретической физики XX века. "За свое вероотступничество от единственно верной истины, – признавался бы он сегодня, – я был обречен проживать жизнь за жизнью в ужасных догмах ложных философов и еще более ужасающих грезах вульгарных нумерологов. Но теперь я свободен от пут Колеса рождений. Когда, чтобы понять закономерности музыкальных пауз, я экспериментировал, полагаясь на руки и слух, я согрешил против божественного духа истины, осквернив душу чувственным восприятием. Затем передо мной предстали числа, и я понял, что все время до того, как я осознал мир чисел, я предавал лучшую часть самого себя. Провозглашая истину, что все сущее и есть число, я стремился очистить душу и освободиться от Колеса рождений. Но этого оказалось недостаточно. Мало кто уверовал, а большинство и вовсе не поняли. Дабы искупить свой грех, я прошел сквозь чистилище ошибок и ложных утверждений, когда имя мое восхваляли глупцы и фигляры. Теперь же я вижу конец своих мучений в лучах нового просвещения, которое существовало задолго до моего появления как Пифагора. Обман чувств больше не будет вводить человечество в заблуждение. Наблюдение и эксперимент, лживые пособники чувственного опыта, исчезнут из человеческой памяти, и останется один только чистый разум. Все сущее есть число".
Пророчество гения стало менее абстрактным и более совместимым с научными достижениями ХХ века. Говоря языком физиков-математиков и астрофизиков, он углубился в детали. "Я уверен… что все законы природы, которые принято относить к фундаментальным, могут быть выведены исключительно путем эпистемологического анализа". Слегка отвлекшись, он напоминает нам, что эпистемология есть раздел метафизики, который занимается теорией человеческого познания. Дабы избежать возможного недопонимания применяемых им терминов, он детально излагает собственное еретическое кредо. "Разум, незнакомый с устройством мира, но которому ведом механизм познания, с помощью которого человеческий ум истолковывает содержание чувственного опыта, сумеет постичь все знания в области физики, которые мы приобрели опытным путем. Он не станет копаться в конкретных событиях или объектах нашего опыта, но он докопается до сути обобщающих тенденций, которые мы основываем на них. Например, он предположит факт существования и характеристики натрия, хотя не сумеет определить размер Земли".
Если Пифагор (говоря это в 1935 году через чревовещателей, в частности сэра Артура Эддингтона, лидера обратного хода в прошлое) оказался прав, ученые-экспериментаторы, начиная с Галилея и Ньютона, напрасно столь много потрудились, дабы познать очевидное и провозгласить давно известное. Если утверждение, что опыт может дать ответ на любые вопросы, ложно, тогда справедливо утверждение, как заявляли отдельные древние ученые, что разум может дать ответы на все вопросы или, как считали последователи Пифагора, почти на все. Поскольку, как нас только что предостерегли, разум человеческий может оказаться бессилен в определении диаметра Земли только на основе всей заложенной в него информации. Но этот недостаток практически пренебрежимо малый в сравнении со способностью предвидеть существование и характеристики химического элемента "исключительно путем эпистемологического анализа".
Правильно настроив ход своих мыслей, сидя в пустой комнате и не вставая со стула, эпистемолог может заново открыть для самого себя все, что за три века со времен
Галилея и Ньютона ученые-естествоиспытатели установили с помощью наблюдения и опыта в области "фундаментальных законов" механики, теплообмена, света, звука, электричества и магнетизма, электроники, строения вещества, химических реакций, движения небесных тел и распределения галактик в космическом пространстве. И в результате таких же чисто умозрительных рассуждений мыслитель-эпистемолог сумеет постичь проверяемую гипотезу об уникальном явлении, которое до сих пор остается малоизвестным для естествознания, например о внутреннем движении спиралевидных туманностей.
Если хоть часть из этих впечатляющих утверждений подтвердится, возврат к пифагореизму в ХХ веке запомнится на десятки тысяч лет, как рассвет наступающей эпохи постоянного просвещения и конец долгой ночи ошибок, которая спустилась на западную цивилизацию в XVII веке. Дорогостоящая аппаратура наших лабораторий и обсерваторий будет разрушаться и ржаветь, за исключением, может быть, нескольких реликвий, внушающих ужас, помещенных в качестве экспонатов во Всемирном музее ошибок человечества. А над входом борцы за здоровую психику и здравомыслие начертали бы прописные истины, которые раскрепостили человечество: "Опыт ничего не дает. Только разум отвечает на все вопросы". Чтобы как-то уравновесить сказанное, те же блюстители расписали бы фронтон Храма знаний и мудрости универсальной формулой и суровым предупреждением: "Все сущее есть число. И да не переступит порог мой всякий, кто несведущ в арифметике".
Но все это пока так и остается в спокойной безмятежности грядущего золотого века, пока мы, к своему несчастью, должны продолжать высекать искры из огнива и плодить ошибки современности. Дабы облегчить свою участь, мы можем вернуться в прошлое на часок-другой, чтобы прочитать там об убеждении в спокойствии нашего настоящего и надежде на наше будущее.
О чем мы спросим прошлое? Многочисленные интересные вопросы напрашиваются сами собой. Как такие же люди, как мы с вами, вообще пришли к такой глупости, как вера в нумерологию? И что заставило уважаемых ученых ХХ века от Рождества Христова черпать свою философию познания из VI века до Рождества Христова? Правы ли нумерологи, поборники магии чисел, правы все эти века, а большинство думающего человечества заблуждалось?
Что касается истории вопроса, то все началось веков двадцать шесть тому назад с простейшей арифметики и геометрии уровня начальной школы. Ничего такого, что не смог бы понять нормальный ребенок двенадцати лет от роду. Что же касается вопроса, кто прав, а кто ошибается, то физик или инженер более склонен к математическим доводам, чем математик или логик. Единицы среди инженеров или физиков рискнут посвятить свой блестящий ум небольшому, но обличающему трактату о ненадежности принципов логики. Математик же способен на это. Логика в своем наиболее надежном проявлении и есть математика. И хотя математическое мышление, как и любое другое, имеет жесткие пределы, оно остается наиболее мощным. Но поскольку впечатление о том, будто математика создает что-то из ничего, в то время как это совсем не так, ей приписывают сверхъестественные силы даже сами математики и логики.
Когда сложное математическое доказательство заканчивается захватывающим пророчеством, впоследствии подтверждаемым наблюдением и опытом, физику вполне простительно ощущение соучастия в сотворении чуда. Когда же маститый математик понимает, что совершил открытие, к которому совсем не стремился, он вполне может на какой-то момент уверовать в то, во что Пифагор верил всю свою жизнь, и может даже повторить вслед за именитым английским математиком Годфри Харолдом Харди, признавшимся в своей вере: "Верю, что математическая реальность существует вне нас, а наше предназначение состоит в том, чтобы открывать и описывать ее, что теоремы, которые мы доказываем и которые высокопарно именуем своими "достижениями", просто есть наши записи своих наблюдений. И этой точки зрения придерживались в той или иной форме многие очень известные философы начиная с Платона…"
Оправившись от изумления от своей собственной гениальности, среднестатистический математик ХХ века мог начать сомневаться, по крайней мере, в практичности верования Платона, особенно если случайно узнал об имевших место открытиях в философии математики с конца XIX века. Обуреваемый сомнениями может даже согласиться с известным американским геометром Эдвардом Казнером в том, что "реальность Платона" в математике была давным-давно ниспровергнута математиками, лишенными мистического подхода, и сильно удивиться, что рационально мыслящие индивиды вообще могли когда-либо этим увлечься. Вот как он сформулировал свою мысль: "Мы перешагнули через мнение, будто математические истины существуют независимо и вне нашего сознания. Даже странно, что такое мнение когда-либо существовало. Но именно в это верил Пифагор… и Декарт, наряду с сотней других великих математиков до наступления XIX века. Ныне математика свободна, она сбросила свои цепи. Каким бы ни было ее существование, мы признаем его свободным, как мышление, цепким, как воображение".
Не нам судить о двух школах познания. Отметим только, что каждый из процитированных ученых опубликовал свое мнение в 1940 году. Даже в суде было бы трудно столкнуться с более острыми разногласиями между компетентными экспертами. Подобное неразрешимое противоречие во взглядах отделяет современных последователей пифагорейской школы от представителей старой школы, продолжающих упорствовать в том, что достоверное знание материального мира не может быть признано без наблюдения и опыта.