Моей единственной целью в последующих главах является попытка отследить, как эти различия во взглядах уживаются в науке. И хотя сама тема есть число, не потребуется более серьезных знаний, чем простая арифметика, для понимания сюжетной линии. Случайное упоминание некоторых очевидных положений о свойствах прямых линий, наподобие тех, которые изучают школьники младших классов, никого не должно пугать своим названием – геометрия. Важны не эти банальные истины из курса начальной школы. Важно, какие причудливо сверхъестественные выводы из этих банальностей делают люди не менее образованные, чем мы. Дабы исключить превращение нашего путешествия в прошлое в поездку через долину древних скелетов, нам необходимо, насколько это возможно, познакомиться с великими людьми, которые ответственны за наши современные крайне разнообразные и противоречивые точки зрения. Почти все, о ком пойдет речь, хорошо известны, а их вклад в развитие цивилизации общепризнан. Их работы знают меньше, но они-то нам и интересны, поскольку представляли значительно больший интерес, чем те постулаты, из-за которых многие и вошли в историю. Некоторые имена кому-то покажутся новыми. Их всего около десятка из сотен, оставивших след в магии чисел и во всем, что повлияло на наши попытки мыслить правильно.
Если у кого-то так и не возникло повода установить для самих себя, к чему привели и продолжают вести (через методы, рожденные ими) древние знания о числах, можно просто немного побродить вокруг главных святынь, где находила приют магия чисел по пути из Древнего мира в современный. Время и постоянные изменения в терминологии искривили исторические знания до такой степени, что ядро арифметических истин в центре древних артефактов не всегда заметно случайному наблюдателю. По большей части влияние таких очевидно тривиальных выкладок, как "три плюс семь равно десяти", на философское, религиозное и научное мышление подернуто налетом символизма устаревших попыток создания полноценной картины материального мира. Сколь амбициозны и вдохновляющи ни были бы эти попытки, но они весьма далеки (по крайней мере в плане амбиций) от более ранней борьбы в попытках объяснить место человека языком чисел. У античных пифагорейцев, обладавших весьма развитым воображением, добродетель определялась одним числом, зло – другим. А трудно детерминируемые эфемерные понятия Истины, Красоты, Добра были сублимированы в "идеальные числа" не кем иным, как метафизиком Платоном. И хотя кажется странным, как Пифагору удавалось верить, будто любовь и брак предопределены числами, мы имеем возможность наблюдать подобные верования и сегодня.
Сквозь века древняя магия чисел прокладывала свой путь шаг в шаг с лишенной мистицизма наукой. Если неутомимое исследование чисел поддерживало развитие науки и этим способствовало освобождению от предрассудков и суеверий, оно же и увековечивало старые верования, которые никто, кроме горстки толерантных исследователей, не назовет просвещением. Некогда выделившись из научных исследований, эти упрямые верования давным-давно потеряли свою значимость для ученых. Но вера в то, что числа являются исходным ответом на все загадки физического мира, хотя и трудноуловимым, до сих пор прослеживается в рафинированном варианте математического мистицизма современных пифагорейцев. Наша основная задача будет заключаться в том, чтобы проследить главные этапы продвижения данного неодолимого утверждения в сегодняшнюю действительность из глубокой древности, столь глубокой, что только легенды о ее существовании достигли нашего времени.
Слегка предвосхищая события, отметим, что три категории мыслителей увлеклись сложными теориями жизнеустройства и мироздания, основанными на обманчивой гармонии чисел. Вопреки бытующему мнению математики оказались далеко не первыми, а скорее последними воспринявшими игру чисел всерьез, возможно излишне серьезно. Ближе к истокам нумерологии стоят не математики, а ученые, а еще ближе – священники. Ученым может оказаться примитивный астролог, прочитавший в движении планет значительно больше, чем любой современный астроном сумеет разглядеть. И все же он проявлял себя ученым в том, как пытался привести свои примитивные наблюдения за материальным миром в какую-нибудь рациональную систему.
Что же касается священника, выглядывающего из-за спины ученого, то неугомонные, вездесущие и плодовитые числа напоминают ему легкоузнаваемые россказни. Он и ему подобные веками ведали, что наибольший потенциал магических сил сокрыт в числах. Но только когда большинство человечества восприняло числа в качестве наиболее универсального средства в астрологии, торговле, сельском хозяйстве, астрономии и азах инженерии, появились те, кого ныне величают математиками, кто начал изучать числа ради самих чисел. Их вклад в накопление справедливых познаний сподвиг людей, одаренных большим воображением, на неустанные поиски чудесных взаимозависимостей между числами и их трактовку согласно собственным желаниям. В результате наступил золотой век греческой философии.
К тому времени, когда наиболее многогранные толкователи чисел выработали собственные теории истины и материального мира, плебейские прародители блестящих доктрин конкретных философов-аристократов были уже преданы забвению. Некогда пользовавшаяся заслуженным уважением арифметика стала достоянием математиков и ученых. Одновременно старая магия чисел попала в руки искренних, но впавших в заблуждение фанатиков, чьи помыслы были, без сомнения, праведны, но чьи жреческие подтасовки обычной арифметики едва ли сильно отличались от простого шарлатанства.
В XVII веке, ознаменовавшем прорыв науки, опирающейся на опыт, древняя магия чисел существенно утратила былую популярность. Позднее нумерология практически совсем исчезла из философии, хотя Кант в конце XVIII века частично вернулся к ней, а спустя полвека крайне прогрессивный Комт почти потерялся в превратностях нумерологии. То, что от нее осталось, буйно расцвело на ниве предсказаний удачи. Более странное применение едва ли можно было придумать. Но нумерология не
пропала окончательно. Совсем неожиданно в третьем десятилетии ХХ века заблиставшая и набравшая уважение в ослепительной символике новой физики, древняя нумерология вновь вернулась к полноценной жизни. Число "взяло в свои руки бразды правления" в изучении бескрайнего и обширного космоса, превосходящего ограниченные рамки небес, которые Пифагор и Платон могли вообразить. Выполнив резкий разворот, современные последователи Пифагора устремились назад, дабы поприветствовать своего учителя и воздать ему должное.
Глава 2
Жезл фараона
Пока для большинства людей стояла задача поиска пропитания, одежды и крова, только наиболее стойкие находили время задуматься о роли человека в этом мире. Вот почему совсем неудивительно обнаружить доминирование прагматического подхода в большинстве ранних работ в области чисел среди существующих письменных свидетельств. Например, египетский земледелец, живший пять или шесть тысяч лет тому назад, должен был знать, когда следует ожидать ежегодного разлива в долине Нила, и для этого ему требовался заслуживающий доверия календарь.
Даже самый примитивный календарь предполагает знакомство с числами, более глубокое, чем демонстрируют самые лучшие из обыкновенных людей. Искусство счета сформировалось не за один день, а многие из полуцивилизованных сообществ так и остановились на цифре десять в попытках пересчитать свои пожитки. Для этих людей все числа свыше полудюжины или около того сливались в единое целое и таяли в бесчисленном множестве. Такие количества имели не большее практическое значение для бездомного кочевника, чем понятие бесконечности – для бухгалтера с Уолл-стрит.
Вместо современного математического понятия "бесконечность" мудрец из небольшого сообщества ограничивался при подсчете расплывчатым определением "много". Этого было вполне достаточно для его магических предсказаний: различие между нищетой и изобилием вполне покрывалось разницей между шестью и десятью, а значимое неизвестное лежало в области между десятью и пятнадцатью. Скорее на глаз, чем путем рассуждений, предсказатель, мало чем отличавшийся от скотовода, определял, имеет ли сообщество достаточно или обладает лишним.
Маловероятно, что мы в один прекрасный день узнаем, когда, где или как человечество научилось не задумываясь считать с легкостью цивилизованного семилетнего ребенка. Едва ли сумеем установить, какие народы первыми освоили искусство счета в полном объеме.
Опираясь только на достоверные факты, можно определенно утверждать, что к 3500 году до н. э. египтяне значительно переросли примитивную неспособность уверенно оперировать большими числами. На жезле фараона тех лет зафиксировано пленение 120 000 человек, захват 400 000 волов и 1 422 000 коз. Эти очень впечатляющие округленные числа предполагают одно из двух. Либо победивший фараон имел богатое воображение и раздутое эго, либо египетские счетоводы были обучены подсчету больших множеств.
Но даже это замечательное умение, как и другие, не менее значимые, не свидетельствует о том, что египтяне за 3500 лет до н. э. знали – последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5… действительно бесконечна. Они вполне могли без должной уверенности полагать, что всегда найдется число, которое будет на единицу больше любого представляемого числа, но они не оставили о том никаких письменных свидетельств. Наоборот, все наши знания о египтянах говорят о том, что египтяне могли полагать, что числа 1, 2, 3… где-то, когда-то достигают своего конца. Должен был случиться рывок мысли более существенный, чтобы концепция бесконечности счета была признана в математике и философии.
Так или иначе, данная запись о 120 000 пленных, 400 000 волов и 1 422 000 коз на жезле фараона действительно раскрыла факт непреходящего значения в эволюции чисел. Мы, которые учимся бойко считать еще до того, как начинаем читать, не придаем значения единственному важнейшему свойству чисел. Потребовалась бы почти сверхчеловеческая проницательность, чтобы понять, когда же впервые это заметили, и, скорее всего, можно предположить, что очень немногие даже из числа самых внимательных исследователей способны заметить это в хвастливом перечислении победителем собственных трофеев. Так случалось со многими фундаментальными открытиями в математике и других науках, проблема данного открытия состоит в его удивительной простоте… когда оно уже сделано.
Проглядывая перечень трофеев, что мог сказать победитель о каждой из трех групп, что было бы справедливо для всех? Он, видимо, мог заметить, что все три состоят из живых существ. Возможно, так оно и было, но тогда он не придал этому особого значения, не отразив этот факт в списке. Как ни странно, он записал и обратил внимание на то, что все три группы живых трофеев (пленные, волы и козы) сопоставимы одним-единственным процессом. Все они могут быть посчитаны.
Если такой подход кажется слишком упрощенным, попробуем воспользоваться иными характеристиками, отличными от чисел, присущими каждой из групп, которые окажутся столь же важными и потенциально полезными. Требуемые характерные черты должны быть полностью независимыми от происхождения единиц учета, объединяемых в несколько групп. Возможно, задача представляется слишком легкой: описать проблему в полном объеме. Подумаешь, несколько множеств материальных предметов, имеющих что-то общее? Каждое множество может быть посчитано. Более того, и победитель об этом, скорее всего, знал; для конечного итога нет разницы, в каком порядке трофеи оказались подсчитаны, не важно, велся ли подсчет одного за другим, семерками, десятками, в любом случае результат был бы одинаков. Маги победителя сумели бы даже убедить своего господина, что один жезл легко превратить в два. Но им никак не удалось показать 1 422 001 козу, если по подсчетам их было только 1 422 000.
Кажущаяся простота подсчета скрывает суть вещей, что делает ее полезной и по-философски гипнотической. Если всему дать имена, то можно говорить об универсальности и неизменности чисел, порожденных счетом. Универсальность всегда права и всегда значима, она давно стала желанной для многих философских течений. Неизменность или отсутствие изменений посреди перемен отвечает запросам не одной религии и даже в наш век позволяет кодифицировать законы в области физических наук. Для примера из повседневной жизни: скажем, встретились пять человек, а потом расстались. Что бы они ни делали, как бы их ни разбросало по земле, сколь ни различны оказались бы их судьбы, число пять (результат подсчета) остается без изменений. Оно не зависит ни от космических катаклизмов, ни от времени. Более того, все то же число пять будет обозначать любые единицы учета в любом множестве из пяти предметов, какими бы они ни были.
Обыденные для нас универсальность и неизменность чисел оставались на протяжении многих веков за пределами воображения управляющих, пересчитывающих трофеи. Числа были полезны им, и это, пожалуй, все, что им требовалось знать для собственного выживания и процветания. Корни счета уходили далеко назад в прежние времена, а их собственная цивилизация так продвинулась вперед, что, по-видимому, им никогда не приходило в голову поинтересоваться, что есть число, или поразмышлять, как человечеству выпал случай изобрести числа. Все эти метания человеческой души продлятся многие тысячи лет. Даже любознательные греки не уточняли, что есть числа, хотя Пифагор и его последователи время от времени говорили о них как о живых существах.
Другой вопрос, кто придумал числа, возможно, неправильно сформулирован. Представляется, что числа никогда не были сознательно изобретены одним человеком или группой людей, они скорее эволюционировали в течение нескольких непримечательных этапов, наподобие того, как (полагают некоторые) возник язык, который появился из нечленораздельных криков. Где-то, как-то люди могли приобрести привычку использования чисел, не придавая этому особого значения. Тем не менее числа 1, 2, 3… демонстрируют некоторые признаки внезапного озарения и осознанного изобретения. И наиболее существенные из них снова связаны с универсальностью и неизменностью чисел. Пусть никто не знает, было ли так на самом деле, но заманчиво предположить, что некий безвестный гений абсолютно неожиданно для себя осознал, что мужчина и женщина, камень и рогатка, сон и закат и практически любая пара любых предметов, живых существ или явлений одинаковы в одном, и только в одном. В своей "парности". От этого откровения до постижения непосредственно числа "два" гигантский шаг, но какой-то человек сделал этот шаг за много веков до фараона, пересчитавшего трофеи.
Как бы ни казалось это слишком легко, примем число "два" как общеизвестный факт, каковым он, по-видимому, и является, и зададим вопрос, чем число два, рассматриваемое в качестве числа вне зависимости от его употребления, "действительно является". Короче, нам предстоит дать числу два определение, приемлемое по меньшей мере для некоторых (но не всех) математиков ХХ века. Такое же определение следует дать любому натуральному числу.
Это не так просто. Между подсчетом 1 422 000 коз и разумным и достаточным определением числа два имеет место разрыв примерно в 5500 лет, в течение которых ни математики, ни логики не в состоянии убедить, что по существу есть число два. Руководствуясь принципом, что конечность – последнее, чего жаждут математики получить от математики, просто ограничимся дефиницией. Число два является классом тех вещей, которые отличаются парностью, то есть которые можно составить в пару (один и один) с другими составляющими пару. Понятие "класс" следует воспринимать интуитивно как аксиому, не требующую доказательств. Видимое зацикливание понятий "два" и "пара" чисто случайное и может не рассматриваться. Следовательно, натуральное число "два" есть класс, и подобным образом любое натуральное число является классом.
Не предпринимая попыток провести анализ этой достаточно сложной для понимания дефиниции, заметим, что (когда она изучена и понята) в ней нашло отражение то, что ускользнуло от первого человека, установившего, что все эти множества – муж и жена, исток и смерть, птица и гроза – имеют в общем только собственную двойственность. Это наблюдение, кто бы ни оказался его автором, заложило основы арифметики. Оно же стало секретным источником всех видов магии чисел, проникшей в античную философию, средневековый мистицизм чисел и современную науку.
Мы рассмотрели один из возможных источников происхождения чисел. Предположив, что числа были изобретены, мы совершили большое, но не преднамеренное насилие в отношении более чем одной уважаемой теории чисел, включая теорию Платона, и подорвали верования многих выдающихся математиков XIX и XX веков. Исторически наиболее широкое распространение получила другая альтернатива. Если числа не были изобретены человеком, они могли быть (не обязательно "должны быть") открыты. Здесь проходит граница, где заканчиваются знания и начинаются предположения.
Отдельные математики уверены, что числа были изобретены людьми. Иные, не менее компетентные, уверены, что числа независимы и существуют сами по себе, а отдельные смертные, достаточно образованные, просто следуют этим представлениям.
Различие между двумя теориями далеко не тривиально. Обе, возможно, не имеют смысла. Однако вполне вероятно, что неправильно сформулирован сам вопрос: "Были ли числа изобретены или открыты?" И нашим потомкам он покажется столь же лишенным смысла, как вопрос: "Честность голубого цвета или треугольная?" Но в настоящее время (пока еще не вмешались психологи) вопрос о числах кажется нам вполне логичным, как и ряд других вопросов, ответ на которые может быть однозначен. Например: "Америка была открыта в 1492 году или тогда ее изобрели?" Или: "Уатт изобрел паровой двигатель или открыл его?"
Даже поверхностно эти четыре выбранных для примера вопроса абсолютно разноплановые. Хотя тот, что о честности, с точки зрения грамматики производит впечатление разумного, а на практике является просто набором лишенных смысла слов. На вопрос об Америке можно ответить быстро, если только он не обсуждается в метафизическом обществе с применением признанных методов оценки исторической очевидности. Вопрос об Уатте и паровом двигателе мог бы быть урегулирован тем же способом. Но какой-нибудь глубокомысленный философ заметил бы, что неизменная структура физического мира и строение человеческого разума лишь требовали создания парового двигателя раньше или позже согласно исторической предопределенности постепенного открытия.
Не утруждая себя формированием позиции, признаем, что в этом случае Уатт может выступить в роли отчасти изобретателя и отчасти открывателя. Вполне допустимо даже найти какой-то смысл в утверждении, что сам паровой двигатель ожидал своего открытия за много лет до того, как возникла Солнечная система. Уатт в этом случае оказался бы только наблюдателем уже существующего.