Науку или искусство принято считать "полезными", если они, хотя бы косвенно, увеличивают материальное благосостояние и комфорт людей, или способствуют их счастью, если воспользоваться этим словом в его примитивном обыденном смысле. Например, медицина и физиология полезны, так как они исцеляют страдания, инженерное дело полезно, так как оно помогает нам возводить дома и мосты и тем самым способствует повышению уровня жизни (разумеется, инженерное дело также причиняет и вред, но сейчас речь идёт не об этом). В этом смысле какая-то часть математики несомненно полезна. Инженеры не могли бы справляться со своей работой без хорошего "работающего" знания математики, и математика начинает находить приложение даже в физиологии. Таким образом, здесь мы находим почву для защиты математики. Возможно, это не лучшая и даже не особенно сильная защита, но нам необходимо её изучить. Более "благородные" приложения математики, если таковые существуют, приложения, разделяемые математикой со всеми видами творческой деятельности, для нашего анализа несущественны. Подобно поэзии или музыке, математика может способствовать "развитию и поддержанию возможной привычки ума" и тем самым увеличивать счастье математиков и даже нематематиков, но защита математики на этом основании означала бы повторение того, что я уже сказал. То, что нам необходимо проанализировать сейчас, - "грубая" польза от математики.
20
Всё это может показаться вполне очевидным, но даже здесь нередко бывает много путаницы, так как самыми "полезными" предметами обычно бывают те, изучать которые для большинства из нас особенно бесполезно. Полезно иметь в обществе адекватное количество физиологов и инженеров, но для обычных людей изучение физиологии или инженерного дела - не самые полезные занятия (хотя изучение этих предметов можно отстаивать, исходя из других оснований). Со своей стороны должен заметить, что никогда не оказывался в положении, когда бы научные знания, которыми я обладаю помимо чистой математики, давали бы мне малейшее преимущество.
Действительно, просто поразительно, какую малую практическую ценность имеет научное знание для обычных людей, как скучны и обыденны те фрагменты научного знания, которые имеют практическую ценность, и как практическая ценность научного знания почти обратна его предполагаемой полезности. Полезно уметь терпимо быстро производить арифметические вычисления (арифметика, несомненно, принадлежит к чистой математике). Полезно немного знать французский или немецкий язык, немного разбираться в истории и географии, возможно, даже в экономике. Что же касается химии, физики или физиологии, то скромные познания в этих науках не имеют вообще никакой ценности в обыденной жизни. Мы знаем, что газ горит, хотя его состав нам не известен; если ломается наша автомашина, то мы отправляем её в авторемонтную мастерскую; если у кого-нибудь из нас болит живот, то мы обращаемся к врачу или идём в аптеку. Мы полагаемся либо на здравый смысл и практический опыт, либо на профессиональные познания других людей.
Кроме того, полезность той или иной науки имеет побочный интерес, относящийся к педагогике и составляющий предмет забот директоров частных школ, которым необходимо давать рекомендации родителям, с пеной у рта требующих "полезного" образования для своих сыновей. Разумеется, мы отнюдь не имеем в виду, что если физиология является полезной, то большинство людей должно изучать физиологию. Смысл сказанного нами состоит в другом: развитие физиологии усилиями экспертов будет способствовать повышению комфортности большинства людей. Вопрос, представляющий интерес для нас сейчас, заключается в том, в какой мере математика может претендовать на полезность такого рода, какие разделы математики особенно сильно претендуют на полезность, и насколько интенсивное изучение математики может быть обосновано только из соображений полезности.
21
Возможно, уже стало очевидным, к каким заключениям я прихожу, поэтому мне хотелось бы сформулировать их сначала догматически, а затем рассмотреть несколько подробнее. Не подлежит сомнению, что значительная часть элементарной математики (я употребляю это слово в том смысле, в каком его используют профессиональные математики, - при таком понимании элементарная математика включает в себя, например, уверенное рабочее владение дифференциальным и интегральным исчислениями) обладает значительной практической полезностью. В целом эти разделы математики очень скучны; это те самые разделы, которые обладают наименьшей эстетической ценностью. "Настоящая" математика "настоящих" математиков, математика Ферма, Эйлера[], Гаусса, Абеля и Римана, почти полностью "бесполезна" (это верно как в отношении "прикладной", так и в отношении "чистой" математики). Жизнь любого настоящего профессионального математика невозможно оправдать на основании одной лишь "полезности" его трудов.
Здесь мне необходимо коснуться одного заблуждения. Иногда выказывается мнение, что чистые математики приписывают себе в хвалу бесполезность своих трудов() и даже хвастаются тем, что эти труды не имеют практических приложений. Такое обвинение обычно исходит из неосторожного высказывания, приписываемого Гауссу, который якобы сказал, что если математика - царица наук, то теория чисел в силу своей абсолютной бесполезности - царица математики. Точную цитату мне так и не удалось найти. Я уверен, что высказывание Гаусса (если он когда-либо высказывал нечто подобное) весьма грубо искажается. Если бы теорию чисел можно было использовать для любой практической и явно почтенной цели, если бы её можно было непосредственно направить на достижение человеческого счастья или утоления человеческих страданий, как в случае физиологии или даже химии, то не подлежит сомнению, что ни Гаусс, ни какой-либо другой математик не были бы столь глупы, чтобы приуменьшать такие приложения или сожалеть о них. Но наука работает как во зло, так и на пользу (особенно во время войны). И Гаусса, и математиков меньшего ранга можно оправдать в их радости по поводу того, что существует по крайней мере одна наука (и это та самая наука, которой они занимаются), чью удаленность от обычной человеческой деятельности во всех её проявлениях необходимо блюсти в чистоте и неприкосновенности.
22
Существует ещё одно заблуждение, которое нам необходимо прояснить. Совершенно естественно предположить, что существует огромное различие в полезности между "чистой" и "прикладной" математикой. Это заблуждение: существует резкое различие между чистой и прикладной математикой, которое я сейчас объясню, но оно слабо влияет на их полезность.
Чем же чистая математика отличается от прикладной? На этот вопрос можно ответить со всей определённостью. Более того, по поводу ответа между математиками существует общее согласие. В моём ответе нет ничего хотя бы сколько-нибудь неортодоксального, но он нуждается в небольшом предисловии.
Следующие два раздела имеют слабый философский привкус. Философия не входит особенно глубоко в мои основные тезисы и не имеет жизненно важного значения для них, но я буду использовать слова, которые очень часто влекут за собой определённые философские импликации и поэтому они могут ввести читателя в заблуждение, если не объяснить, в каком смысле я буду использовать их в дальнейшем.
Я часто использую прилагательное "настоящий" так, как оно употребляется нами в обычном разговоре. Я уже говорил о "настоящей математике" и "настоящих математиках". С тем же успехом я мог бы говорить о "настоящей поэзии" или "настоящих поэтах", и я буду продолжать действовать в том же духе. Но я буду также использовать слово "реальность" в двух следующих различных значениях.
Прежде всего я буду говорить о "физической реальности", и при этом я буду снова использовать слово "реальность" в обычном смысле. Под физической реальностью я понимаю материальный мир дня и ночи, землетрясений и затмений, мир, который пытается описать физическая наука.
До сих пор у меня не возникало опасений относительно того, что у кого-нибудь из моих читателей могут возникнуть трудности с моим употреблением слов, но теперь я вступаю на более зыбкую почву. Для меня и, думаю, для большинства математиков существует другая реальность, которую я буду называть "математической реальностью", и среди математиков или философов нет единого мнения относительно природы математической реальности. Одни полагают, что она существует "в умах" и, что мы, в некотором смысле, конструируем её. Другие считают, что она лежит вне нас и не зависит от нас. Человек, который мог бы дать убедительное описание математической реальности, разрешил бы очень многие из труднейших проблем метафизики. Если бы такой человек мог включить в своё описание и физическую реальность, то он разрешил бы все проблемы метафизики.
Мне не следовало бы обсуждать любой из этих вопросов, даже если бы я был достаточно компетентен для этого, но я изложу свою позицию догматически, чтобы избежать малейшего недопонимания. Я убеждён в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать её, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши "творения", по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности. Эту точку зрения в той или иной форме разделяли многие философы самого высокого ранга, начиная с Платона, и я буду пользоваться языком, естественным для человека, разделяющего эту точку зрения. Читатель, не любящий философию, может изменить язык - это мало что изменит в моих заключениях.
23
Контраст между чистой и прикладной математикой выступает, по-видимому, с наибольшей ясностью в геометрии. Существует наука чистой геометрии(), включающая в себя многочисленные геометрии: проективную, евклидову, неевклидову и т. д. Каждая из этих геометрий переставляет собой модель, образ из идей, и судить о ней следует по интересу и красоте её индивидуального "образа". Это карта или картина, совместный продукт многих рук, частичная и несовершенная (но тем не менее точная на всём своём протяжении) копия фрагмента математической реальности. Но для нас сейчас важно то, что есть нечто такое, по отношению к чему чистые геометрии не являются картинами, а именно: пространственно-временная реальность физического мира. В том, что чистые геометрии не могут быть картинами реальности, нет ни малейшего сомнения, так как землетрясения и затмения не принадлежат к числу математических концепций.
Для постороннего человека это звучит несколько парадоксально, но для геометрии это - труизм. Возможно, я смогу пояснить свою мысль на примере: предположим, что я читаю лекцию по одной из систем геометрии, например, по обычной евклидовой геометрии, и рисую на доске фигуры, чтобы стимулировать воображение моей аудитории, - грубые чертежи из прямых, окружностей или эллипсов. Ясно, что истинность доказываемых мной теорем не зависит от качества моих чертежей. Их функция состоит лишь в том, чтобы донести до моих слушателей то, что я имею в виду, и если я смогу это сделать, то не будет пользы от того, что их перерисует искусный чертёжник. Мои чертежи выполняют вспомогательную педагогическую функцию и не являются тем, что составляет предмет моей лекции.
Сделаем ещё один шаг. Помещение, в котором я читаю лекцию, составляет часть физического мира и само обладает определённым образом. Изучение этого образа и общего образа физической реальности само по себе является наукой, которую можно назвать "физической геометрией". Предположим теперь, что в аудиторию поместили мощную динамомашину или массивное гравитирующее тело. Физики скажут нам, что геометрия помещения изменилась, что весь его физический образ немного, но совершенно определённо исказился. Стали ли ложными теоремы, которые я доказал. Ясно, что было бы глупо ожидать, будто на доказательствах теорем, которые я приводил на лекции, каким-то образом сказалось наличие в аудитории динамомашины или гравитирующего тела. Это аналогично предположению о том, что пьеса Шекспира изменилась от того, что некий читатель пролил на страницу чай. Пьеса не зависит от страниц, на которых она напечатана, и "чистые геометрии" не зависят от комнаты, в которой читается лекция или от любых других деталей физического мира.
Такова точка зрения чистого математика. Естественно, что прикладные математики, математические физики придерживаются другой точки зрения, так как они имеют дело с самим физическим миром, который также обладает своей структурой, или образом. Мы не можем дать точное описание этого образа, как в случае чистой геометрии, но можем сказать о нём нечто важное. Мы можем описать, иногда с достаточной точностью, иногда - лишь в общих чертах, отношения между некоторыми составляющими структуры физического мира и сравнить их с точными отношениями между составляющими какой-нибудь системы чистой геометрии. Мы можем уловить некоторые сходства между двумя наборами отношений, и тогда чистая геометрия обретает интерес для физиков. В этом случае мы получаем карту, согласующуюся с фактами физического мира. Геометр предлагает физику целый набор карт на выбор. Возможно, что одна карта будет лучше соответствовать фактам, чем другие. В этом случае геометрия, порождающая лучшую карту, окажется геометрией, наиболее важной для прикладной математики. Можно добавить, что оценка такой геометрии даже со стороны чистого математика может повыситься, так как нет математика настолько чистого, чтобы он был напрочь лишен интереса к физическому миру, но в той мере, в какой он уступит этому искушению, он утратит свою позицию чистого математика.
24
Есть ещё одно замечание, которое напрашивается в этой связи. Физикам оно может показаться парадоксальным, хотя в настоящее время парадокс выглядит менее удивительным, чем восемнадцать лет назад. Я приведу его почти в тех же словах, в каких он был сформулирован в моём докладе на секции А Британской ассоциации[]. Моя аудитория почти целиком состояла из физиков, и поэтому вполне возможно, что моя речь была несколько провокационной. Впрочем, что касается её содержания, то я и сейчас целиком разделяю высказанную тогда позицию.
Я начал с утверждения о том, что различия между позициями математика и физика меньше, чем обычно принято думать. Самое важное заключается в том, что математик контактирует с действительностью гораздо ближе, чем физик. Такое утверждение может показаться парадоксом, так как именно физика, изучающего материальные предметы и явления, обычно принято называть "реалистом". Но достаточно немного поразмыслить, чтобы понять, что физическая реальность, какой бы она ни была, обладает весьма немногими атрибутами (если обладает ими вообще), которые здравый смысл интенсивно приписывает реальности. Стул может быть набором обращающихся вокруг ядер электронов или идеей в уме Господа Бога - каждое из этих описаний, возможно, обладает своими достоинствами, но ни одно из них не соответствует представлениям здравого смысла.
Далее я заметил, что ни физики, ни философы не дали сколько-нибудь убедительного описания "физической реальности" или того, как физик переходит от запутанной массы фактов или ощущений, с которой он начинает, к конструкции тех объектов, которые физик называет "реальными". Например, мы не можем сказать, будто бы нам известно, что такое физика, но это отнюдь не должно мешать нам понимать в общих чертах, что именно пытается делать физик. Ясно, что физик пытается скооперировать разрозненную массу сырых фактов, с которыми он сталкивается, имея в своём распоряжении некоторую определённую упорядоченную схему абстрактных отношений - ту разновидность схемы, которую физик может позаимствовать только из математики.
С другой стороны, математик имеет дело со своей собственной математической реальностью. Как было объяснено в §22, я предпочитаю "реалистическую", а не "идеалистическую" точку зрения на математическую реальность. Во всяком случае (и в этом состоял мой главный тезис), такая реалистическая точка зрения на математическую реальность гораздо более правдоподобна, чем на физическую реальность потому, что математические объекты в гораздо большей степени таковы, какими они кажутся. Стул или звезда ничуть не похожи на то, чем они кажутся; чем больше мы думаем об этом, тем более расплывчатыми становятся их очертания в мареве окружающих их ощущений; но "2" или "317" не имеют никакого отношения к ощущениям, и свойства числа выступают тем более отчётливо, чем пристальнее мы его рассматриваем. Возможно, что современная физика лучше всего укладывается в рамки идеалистической философии. Лично я в это не верю, но так говорят некоторые выдающиеся физики. С другой стороны, чистая математика представляется мне скалой, на которой зиждется идеализм: число 317 простое не потому, что мы думаем так, и не потому, что наш разум устроен так, а не иначе, а потому, что это так, потому, что математическая реальность устроена так.