Мы пользуемся суждениями с той целью, чтобы в чувственно воспринимаемых знаках воспроизвести действительность. Поэтому можно было бы принять, что данное суждение является только тогда ложным, когда не соответствует действительности, т. е. не воспроизводит ее. В предположении, что принцип противоречия недействителен, мы получим следующие три случая:
1. Р обладает с. Истинно, что Р обладает с. Ложно, что Р не обладает с.
2. Р не обладает с. Истинно, что Р не обладает с. Ложно, что Р обладает с.
3. Р обладает с и Р не обладает с. Истинно, что Р обладает с. Истинно, что Р не обладает с.
Из этой схемы следует, что если ложным является отрицательное суждение, то предмет обладает свойством, которое ему приписывает суждение; если же ложным является утвердительное суждение, то предмет не обладает свойством, которое ему приписывает суждение. И наоборот, не следует, что если предмет обладает свойством, то ложным является отрицательное суждение, которое ему в нем отказывает; а если предмет не имеет свойства, то ложным является утвердительное суждение, которое ему его приписывает; ведь предмет Р может содержать противоречие. И, следовательно, только тогда, когда предмет Р не содержит противоречия, но обладает неким свойством или не обладает им, тогда ложным является суждение, которое ему в нем отказывает или ему его приписывает.
Сравнивая эти предложения с предыдущей дефиницией ложного суждения не трудно заметить, что из приведенной дефиниции действительным остается единственно утверждение (β), зато утверждение (α) с этим новым взглядом не согласуется. Все же, я не знаю, почему эта новая дефиниция должна была быть хуже предыдущей, наоборот, мне кажется, что она лучше. Ведь она подобно предыдущей выражает повсеместно разделяемое убеждение, что ложность состоит в несогласии суждений с действительностью; но [эта дефиниция] более осторожна, ибо в случае несуществования принципа противоречия не принуждает нас называть одновременно одно и то же суждение истинным и ложным.
Впрочем, как бы не обстояло дело, в любом случае ясно, что нельзя выводить принцип противоречия из понятия ложного суждения. Таким образом, бесполезным становится также и взгляд Зигварта, который основание этого принципа усматривает в понятии отрицания, но отрицание сводит к ложному суждению. Поскольку он принимает, что отрицательное суждения "Р не обладает с" является отрицанием утвердительного суждение "Р обладает с" и значит: "Ложно, что Р обладает с". Дефиницию, на которой мог бы базироваться принцип противоречия, следует искать в каком-то другом месте.
d) Приведенные рассуждения демонстрируют определенное характерное свойство принципа противоречия, которое я без колебаний назвал бы синтетическим свойством. В этом принципе содержится нечто большее, чем в дефинициях истины и лжи; утверждение и отрицание, истинность и ложность не могут существовать друг с другом рядом, терпеть [друг друга], они взаимно исключаются. Одно и то же суждение не может быть одновременно истинным и ложным, один и тот же предмет не может одновременно обладать одним и тем же свойством и не обладать им. В этом взаимном нивелировании истины и лжи, утверждения и отрицания содержится настоящий смысл принципа противоречия.
На протяжении данных рассуждений мы встретились с примерами таких предметов, в которых утверждение и отрицание взаимно не нетерпимы. Это противоречивые предметы. Сконструированный при помощи линейки и циркуля квадрат с поверхностью равной поверхности круга с радиусом 1, имеет стороны, позволяющие выразить их в алгебраических числах, но одновременно не имеющий их. Равно как и утвердительное суждение, которое это свойство приписывает квадрату, так и отрицательное суждение, которое ему в них отказывает, должны быть истинными. Ведь, если бы одно из этих суждений не было бы истинным, то этот квадрат не содержал бы противоречия, а квадратура круга была бы решаемой задачей. Таким образом, если существуют случаи, когда утверждение не нейтрализует отрицания, то принцип противоречия не является всеобщим законом, относящимся ко всем предметам. Каждое доказательство принципа противоречия должно считаться с этим фактом и существует только один путь, чтобы обойти эту трудность: нужно принять, что противоречивые предметы вообще не являются предметами, что они не есть нечто, а ничто. Все, что есть предмет, т. е. нечто, а не ничто, не содержит противоречивых свойств.
Итак, у нас есть доказательство принципа противоречия, единственное точное формальное доказательство, какое, по-моему мнению, существует. Предварительно предположим, что под предметом следует понимать только нечто такое, что не может одновременно обладать и не обладать одним и тем же свойством. Из этого предположения, которое можно считать дефиницией "предмета", непосредственно в силу принципа тождества следует, что ни один предмет не может одно и то же свойство одновременно иметь и не иметь.
Я не сомневаюсь, что это доказательство разочарует каждого. Оно кажется таким легким, не требующим труда и таким поверхностным! Действительно, подобные обвинения были бы небезосновательны, если бы только этим все дело и заканчивалось. Но это не так: данное доказательство может быть только вступлением к дальнейшим поискам.
Согласно одной дефиниции мы называем "предметом" все, что есть что-то, а не ничто. Следовательно, вещи, личности, явления, события, отношения, весь внешний мир и все, что происходит в нас [самих], все понятия и научные теории являются предметами. Согласно второй дефиниции, мы называем "предметом" все, что не содержит противоречия. Возникает вопрос: являются ли предметы в первом значении также и предметами во втором значении? А следовательно, является ли истинным, что вещи, личности, явления, события, отношения, мысли, чувства, понятия, теории и т. д. не содержат противоречия? Вот, собственно, проблема, решение которой мы изначально ищем.
Поэтому приведенное в данном абзаце доказательство является формальным, а не сущностным (rzeczowym). Но несмотря на это, оно имеет немалое значение – данное доказательство позволяет нам надлежащим образом сформулировать проблему противоречия и указывает путь, который ведет к сущностному (rzeczowemu) решению. Причем, этот путь проходит не по целине сухого формализма и априорной спекуляции, он направляет наши шаги к богатым и полным формам жизни. Материал, основанный на реальных фактах, поставляемых как опытом, так и научной теорией, дает нам возможность вынести окончательное суждение о принципе противоречия. К такому материалу мы сейчас и обращаемся.
Глава XVIII. Принцип противоречия и конструкции разума
Чтобы решить вопрос не содержат ли противоречие предметы (в первом значении этого слова), нет нужды исследовать каждый предмет отдельно, достаточно поделить их на какие-либо большие группы и уже в области этих групп рассматривать прежде всего такие предметы, о которых заранее можно было бы предположить, что их исследование представляло бы некую ценность для принципа противоречия.
а) Вопрос разделения предметов и связанная с ним проблема классификации наук относятся к наиболее трудным логическим задачам. Исчерпывающим образом трактовать эти вопросы я здесь не могу, а приведу только такое деление предметов, которое наилучшим образом соответствует цели настоящего исследования.
Принципом, на основе которого происходит это разделение, является некое отношение, которое соединяет предметы со свойствами. Можно выделить два вида предметов. К первому принадлежат те, приписывание которым каждого определенного свойства дает или истинное суждение, или ложное; эти предметы вслед за Мейнонгом я называю совершенными (vollstandige Gegenstande). Ko второму виду принадлежат предметы, которые предыдущим свойством не обладают, я называю их несовершенными (unvollständige Gegenstände). Примеры объяснят это деление.
Если я приму во внимание какой-то конкретный предмет, например, колонну Мицкевича во Львове, то на какое бы свойство этой колонны я не указал, всегда получу суждение истинное или ложное. Если я скажу, что эта колонна стоит на Марьяцкой площади, что она из гранита, что она выше памятника Мицкевичу в Кракове и т. д., то я выскажу истинные суждения; если бы я сказал, что эта колонна стоит на холме Люблинской унии, что она из гипса, что выше колонны Наполеона на Вандомской площади в Париже, что она разумна, добропорядочна и т. д., то я высказал бы ряд ложных суждений. Я не найду ни одного сказуемого, которое бы в соединении с "колонной Мицкевича во Львове", как субъектом, не дало бы истинного или ложного суждения. Другими словами, каждое свойство, какое только удастся придумать, можно этому предмету или приписать, или отказать [ему в этом]. Колонна Мицкевича во Львове во всех мельчайших подробностях определена – она является совершенным предметом.
Примем теперь во внимание предмет "колонна вообще" без какого-либо подробного определения. И об этом предмете можно высказать ряд истинных или ложных суждений. Так, можно сказать, что колонна занимает какое-то пространство, что является материальной вещью, что не является шаром и т. д. Но такое суждение, как "колонна из бронзы", следует ли считать истинным или же ложным? Одни колонны бронзовые, другие нет; с этой точки зрения "колонна вообще" не определена. Поэтому этого свойства за ней нельзя ни признать, ни отказать ей в нем, а суждение "колонна из бронзы" не является ни истинным, ни ложным. Далее следует определить, о какой колонне идет речь, например, о Вандомской колонне в Париже или о колонне Мицкевича во Львове; этот предмет следовало бы дополнить [uzupelnic] и тогда вышеприведенное суждение оказалось бы или истинным, или ложным. "Колонна вообще" является несовершенным [nieuzupelnym] предметом.
Нетрудно заметить, что конкретные предметы являются совершенными, а абстрактные, т. е. предметы понятий – несовершенными. В этом не ничего удивительного: абстрактные предметы обычно возникают таким образом, что мы сравниваем ряд конкретных предметов и выбираем их общие свойства, а отличительные опускаем. Тем самым мы создаем несовершенный предмет, но благодаря этому несовершенству такого общего свойства, что он как род может включать в себя множество конкретных предметов.
Несовершенные или абстрактные предметы в действительности не существуют, они являются всего лишь производными человеческого разума. Одни из них созданы для того, чтобы объединять конкретные предметы и поэтому обладают таким свойством, которое при соответствующем дополнении позволяет получить из них конкретные предметы. Это предметы таких эмпирических понятий, как человек, растение, кристалл, луч и т. д. Подобные предметы я (вслед за Беганьским) называю реконструктивными.
Другие несовершенные предметы не ставят своей целью объединение конкретных предметов и посредством их дополнения мы или вообще не можем получить конкретных предметов, или, по крайней мере, не заинтересованы в них. Это предметы априорных понятий, которыми главным образом занимается математика и логика. Их я называю конструктивными. Реконструктивные предметы, т. е. реконструкции, опираются на опыт, а конструктивные предметы, т. е. конструкции, являются независимыми от опыта.
Такого деления вполне достаточно для наших целей. В этом фрагменте я займусь конструктивными предметами.
b) Конструктивные предметы, к которым среди прочих принадлежат числа и геометрические фигуры, несомненно являются предметами в первом значении этого слова, т. е. они являются чем-то, а не ничем; об этом свидетельствует хотя бы та большая роль, какую они играют как в науке, так и на практике. Эти предметы реально не существуют и от опыта не зависят; о них можно сказать, используя выражение Дедекинда, что они являются свободными образованиями человеческого разума (freie Schöpfungen des menschlichen Geistes). Поэтому может оказаться, что если у нас есть какая-либо свобода в их конструировании, то только от нас зависит, будут ли эти предметы противоречивыми или нет; а поскольку мы верим в принцип противоречия, то конструируем их таким образом, чтобы они были непротиворечивыми. Таким образом, по крайней мере, о конструктивных предметах мы можем вполне определенно сказать, что ни один из них не может одним и тем же свойством обладать и не обладать.
Но все же и в области этих предметов встречаются противоречия. Достаточно вспомнить о "самом большом простом числе" или о "квадрате, сконструированном при помощи линейки и циркуля и равного по площади кругу с радиусом 1". Однако на это можно возразить, что эти противоречивые предметы, которые очевидно не являются предметами, затерялись среди других конструкций случайно, единственно вследствие того, что наш несовершенный разум не может сразу охватить всю неисчислимую совокупность свойств и отношений и не везде может увидеть противоречие. Но как только оказалось, что упоминаемые предметы являются противоречивыми, мы их тут же устранили из науки и сегодня уже знаем, что квадратура круга невозможна, а наибольшее простое число не существует.
И все же остается сомнение: если мы не везде сразу можем увидеть противоречие, то откуда же нам известно, что конструкции, считающиеся непротиворечивыми, противоречия не содержат? Возможно, мы их еще не открыли. Это сомнение можно выразить в виде принципиального обвинения: где гарантия того, что вообще существуют непротиворечивые конструктивные предметы? Конструкции только на первый взгляд кажутся свободными образованиями разума. Правда, можно принять, что дефиниция каждого конструктивного предмета является произвольной; но мы создаем множество таких предметов и за каждым из них признаем много разнородных свойств. А вместе с произвольными конструкциями возникают и какие-то отношения между ними, которые от нашей воли уже не зависят. Действительно, исследуя эти "свободные образования" разума, каждый математик и логик чувствует, что он постоянно встречается с сопротивлением материала; и это сопротивление доказывает, что свойства чисел, фигур, функций и т. д., зависят не только от нас. А если так, можно ли допустить, что как только мы создаем хотя бы две конструкции, то сразу же возникают и какие-то противоречивые отношения между ними? Не могло ли это противоречие быть каким-то существенными и неустранимым признаком всех конструктивных предметов? И где доказательство того, что дело обстоит иначе?
И здесь можно было бы выдвинуть обвинение: если бы в каждой конструкции содержалось какое-то противоречие, то мы чаще, чем до сих пор, встречались бы с противоречивыми предметами. В то же время, предыдущие примеры нужно считать всего лишь исключениями – это мусор из кузницы науки, который как шлак плавает на поверхности чистого расплавленного металла. А вот о том, что дело обстоит далеко не так и что чистота самого металла весьма сомнительна – об этом свидетельствуют последние исследования, касающиеся оснований математики.
Сегодня основой математических наук ученые считают т. н. натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … in inf. Благодаря арифметическим действиям из этих чисел возникают новые числа: положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и действительные и т. д.; и все эти числа являются лишь определенными отношениями предыдущих. Связями этих чисел занимаются отдельные ветви математики, такие как математический анализ, теория функций, теория чисел и т. д. Даже в геометрии до определенной степени можно использовать числовые законы, устанавливающие связи взаимно-однозначного подчинения, т. е. соответствия между элементами пространства и числами. Подобным образом ученые пытаются свести почти всю математику к арифметическим законам и говорят об "арифметизации" математики.
Так вот, в этих фундаментальных математических предметах, какими являются числа натурального ряда, скрываются на первый взгляд удивительные противоречия. Этих чисел так много, что хочется спросить, сколько их? Ответ: их столько, сколько, например, четных чисел. Между натуральным рядом чисел и рядом четных чисел можно установить соответствие, т. е. такое отношение, когда каждому числу первого ряда будет соответствовать только одно число второго ряда, и наоборот:
1, 2, 3, 4, 5, 6, … in inf.
2, 4, 6, 8, 10, 12, … in inf.
Здесь основой соответствия является отношение "число в два раза большее", соответственно, "наполовину меньшее". Во втором ряду, очевидно, должно содержаться столько чисел, сколько их в первом ряду. Но с другой стороны, мы видим, что числа второго ряда являются всего лишь частью чисел первого ряда. И поэтому в заключении получим, что часть равна целому.