Это противоречие заметил уже Лейбниц, обсуждал его и Больцано. Решение последнего, по моему мнению, заключается в следующем.
Нельзя ex definitione утверждать, что часть меньше целого, но следует принять такое определение части: совокупность элементов А является частью совокупности элементов В, если каждый элемент совокупности А является элементом совокупности В, и наоборот, не каждый элемент совокупности В является элементом совокупности А. Пример – католики и христиане. Нельзя в дальнейшем ex definitione утверждать, что меньшее является частью, но нужно принять следующее определение меньшего: совокупность элементов А меньше совокупности элементов В, если существует отношение, которое однозначно подчиняет каждый элемент совокупности А элементам совокупности В, и наоборот, не существует отношения, которое бы однозначно подчиняло каждый элемент совокупности В элементам совокупности А. Пример – кальвинисты и католики. Из определенных таким способом понятий части и меньшего не следует, что часть должна быть меньше целого и, следовательно, упоминавшееся противоречие перестает существовать. Но какой ценой! Ценой предположения, что часть может быть равна целому. И в конечном счете, откуда мы знаем, что окончательно устранили противоречие и что оно вновь не появится в еще неизвестных нам следствиях этих определений?
О том, что такое сомнение не лишено оснований, свидетельствуют судьбы теории бесконечных чисел. Георг Кантор смог создать эту теорию единственно благодаря тому, что обошел упомянутое противоречие. Ведь бесконечное число является таким числом, которое обладает частью равной целому. Количество чисел в натуральном ряду, которое равно количеству не только четных чисел, но и соответствующих дробей и даже всех алгебраических чисел, является наименьшим бесконечным числом. Кантор обозначает его еврейской литерой "алеф нуль". Большим, чем оно, является количество элементов в континууме, например, число точек на отрезке прямой. Это количество Кантор обозначает через "алеф один" и утверждает, хотя точного доказательства до сих пор нет, что это число следует сразу за "алеф нуль". После "алеф один" следует "алеф два" и т. д. и, таким образом, возникает ряд бесконечных чисел подобно тому, как существует ряд конечных чисел. И вот в этом ряду математики нашли новые противоречия, или "антиномии", которые до сих пор не умеют разрешить. Поэтому может показаться, что Кантор лишь передвигает противоречие из одного угла в другой; но из оснований математики его никогда полностью не удастся выдворить.
Однако этот вопрос я оставляю, поскольку представить его элементарно невозможно. Зато не могу пропустить другое противоречие, которое открыл Бертран Рассел; оно находится в логических основаниях математики, а значит, касается общего корня, из которого вырастают все конструктивные или априорные науки. Это противоречие является одним из наиболее интересных и наиболее древних логических открытий, которые когда-либо делались.
Понятие числа находится в тесной связи с понятием класса. Я вновь вынужден опустить вопрос о том, какова эта связь, и займусь только понятием класса. Классом мы называем совокупность элементов или индивидов, имеющих какие-то общие свойства и вследствие этого подпадающие под одно понятие. Если мы назовем, например, "человеком" живое разумное существо с таким-то и таким строением тела, которое подробно описывает зоология, то совокупность индивидов, обладающих такими свойствами и вследствие этого подпадающих под понятие человека – образует класс людей. О предметах, принадлежащих к данному классу, мы говорим, что они подчинены (podporządkowane) этому классу.
Но чаще всего случается так, что класс сам себе не подчинен, ибо как совокупность элементов он обычно обладает иными свойствами нежели каждый элемент отдельно. Совокупность людей не является человеком, совокупность треугольников не есть треугольник и т. д. Все же, в некоторых случаях бывает иначе. Возьмем, например, понятие "полного класса", т. е. такого класса, к которому вообще принадлежат какие-то индивиды. Ведь не все классы являются полными, но некоторые пусты, например, классы "золотая гора", "perpetuum mobile", "квадратный круг" – пустые, ибо нет индивидов, которые принадлежали бы к этим классам. Следовательно, от них можно отличить те классы, к которым принадлежат некоторые индивиды, и образовать понятие "полного класса". Под это понятие в качестве индивидов подпадают целые классы, например, класс людей, класс треугольников, класс простых четных чисел, содержащий только один элемент, число 2, и т. д. Совокупность всех этих классов образует новый класс, а именно, "класс полных классов". Так вот, этот класс полных классов также является полным классом, а значит, сам себе подчинен.
Поскольку одни классы подчинены себе, а другие – нет, то для различения одних классов от других можно образовать понятие "класса, который не является сам себе подчиненным". В качестве индивидов под этот класс подпадают классы людей, треугольников, простых четных чисел и т. д. Совокупность всех этих классов образует "класс классов, которые себе не подчинены". Назовем его коротко класс К.
Возникает вопрос: подчинен ли себе класс К или нет? Если мы примем, что класс К себе подчинен, то поскольку каждый класс, подчиненный классу К, себе не подчинен – приходим к выводу, что класс К себе не подчинен. А следовательно, возникает противоречие, поскольку из того, что класс К себе подчинен, следует, что он себе не подчинен.
Намереваясь обойти это противоречие, мы должны принять, что класс К себе не подчинен. Но если он себе не подчинен, то принадлежит классу К, а значит, он себе подчинен. Поэтому и здесь появляется противоречие, поскольку из того, что класс К не подчинен себе, следует, что он себе подчинен. В какую бы сторону мы не обратились – везде встречаемся с противоречием. Что же делать?
Эту проблему я специально представил в несколько обширном виде, желая показать, что здесь противоречие возникает из невинного на первый взгляд и совершенно правильно образованного понятия при помощи самого точного рассуждения. Следовательно, это не софистические выкрутасы или диалектические штучки. Более того, это противоречие и с той точки зрения заслуживает внимания, что его не удается решить так же легко, как другие известные до сих пор случаи математических противоречий. Сравним вышеприведенный случай с противоречием, которое содержит "наибольшее простое число".
Если примем, что некое простое число N является наибольшим, то в заключении получим, что оно не является наибольшим. Ведь число Р, являющееся результатом перемножения всех первых чисел до N включительно и увеличенное на единицу, т. е. Р = 2.3.5.7.11 … N + 1 – либо само является простым числом и очевидно, большим, чем N, либо должно быть делимо на простое число, большее N. Но если мы примем, что простое число N не является наибольшим, то отсюда никакого противоречия не возникнет. Поэтому мы принимаем, что ни одно простое число не является наибольшим – и все в порядке.
Таким способом противоречие Рассела нельзя устранить, ибо как первое предположение, что класс К себе подчинен, так и второе, что он себе не подчинен – ведут к противоречию. Поэтому намереваясь устранить здесь противоречие, следовало бы принять, что класс К ни является, ни не является подчиненным себе, т. е. нужно было бы нарушить принцип исключенного третьего. Таким образом, у нас есть выбор: либо не использовать принцип противоречия, либо отбросить принцип исключенного третьего.
Воистину трудная дилемма. Рассел на протяжении нескольких лет старается ее решить, выдумывая все более изощренные теории, поскольку это противоречие не только является логической забавой, но находится в тесной связи с основаниями математики и логики. А Фреге признается, что его многолетний двухтомный труд об основаниях арифметики именно из-за этого противоречия оказался поколеблен.
Я не буду пытаться разрешить эту проблему, хотя допускаю, что можно найти какое-то решение salvis principiis exclusi tertii et contradictionis. Я собираюсь вернуться к вопросу, которому была посвящена эта глава. Мы спрашивали, не являются ли конструктивные предметы, а значит, априорные понятия математики и логики, предметами во втором значении этого слова, т. е. не содержат ли они противоречивых свойств. Приведенные примеры имели своей целью показать, что на этот вопрос мы не можем ответить безоговорочно. Мы на самом деле встречаем в этих предметах самые удивительные противоречия, и, наверное, никогда с уверенностью не узнаем, являются ли на первый взгляд непротиворечивые предметы таковыми в действительности. Мы не можем проникнуть в бесконечное число относительных свойств, какие присущи конструкциям разума благодаря бесчисленным, существующим независимо от нас отношениям. Мы могли бы сказать, что сколько бы не появлялось где-нибудь противоречие, всегда найдется какой-нибудь способ его быстро устранить, во всяком случае, на время, но не более того. Можно ли его везде окончательно устранить – вот вопрос, решение которого не находится в пределах человеческого знания.
Существуют большие области априорного знания, на наш взгляд, ясные и прозрачные. Но порой кажется, что эту ясную и лучезарную глыбу окружает тьма. Мы ведем упорную борьбу с этой темной силой, отвоевывая для света все новые и новые территории, но побежденный мрак не исчезает, он лишь отступает перед нами. И мы не уверены, пропадет ли вообще когда-нибудь тьма и не является ли она каким-то существенным условием ясности света.
Глава XIX. Принцип противоречия и действительность
К несовершенным или абстрактным предметам принадлежат не только конструкции, но и реконструкции. Из реконструкции путем соответствующего дополнения можно получить конкретные, т. е. действительные предметы, ведь реконструктивные предметы мы создаем с той целью, чтобы они охватывали действительность. Следовательно, реконструктивные понятия человека, растения, кристалла, луча и т. д. должны содержать только такие свойства, которые присущи действительным людям, растениям, кристаллам и лучам; другими словами, реконструкции не являются произвольными образованиями разума, но зависят от опыта и опираются на него.
Из этих определений следует, что если бы правильно образованные реконструктивные предметы содержали какое-нибудь противоречие, то это противоречие, как выражение и соответственно воспроизведение действительно существующих противоречивых свойств, было бы всего лишь производным. Поэтому вместо того, чтобы исследовать реконструкции разума, лучше сразу обратиться к действительности и спросить, содержат ли конкретные предметы такие, как вещи, свойства, явления, события – противоречивые свойства или нет, т. е. являются ли они предметами во втором значении этого слова или же нет. То, что они являются предметами в первом значении, т. е. являются чем-то, а не ничем, в этом никто не сомневается. Отмечу, что в каждом случае под "действительностью" я не понимаю какой-либо самой в себе вещи, но беру это выражение только в обычном значении, называя действительными все те предметы, которые вижу вокруг себя и воспринимаю чувствами или ощущаю их в себе как чувства, убеждения, волевые акты и т. д.
Казалось бы, нет ничего более легкого, чем ответ на поставленный вопрос. Если что-то не подлежит сомнению, так это тот факт, что действительно существующие явления, вещи и их свойства не обладают противоречивыми свойствами. Если я сейчас сижу за бюро и пишу, то не может быть одновременно истиной, что я не сижу и не пишу, а хожу по городу и разговариваю с приятелем. Если через открытое окно в мою комнату падает луч солнца, отражаясь от гладкой поверхности стекла, и на противоположной стене возникает дрожащая полоса света – то это явление существует и не может одновременно не существовать или существовать как-то иначе. Утверждать, что луч одновременно падает в комнату и не падает, что отражается стеклом и, несмотря на это, не отражается, что падает на стену и все же не падает, так утверждать – значит противоречить самым очевидным фактам.
Действительно, такие и им подобные рассуждения из обыденной жизни являются самыми сильными аргументами в пользу принципа противоречия. Ни видимая очевидность этого принципа, ни абстрактные доказательства логиков не имеют столько убедительной силы, как эти мелкие факты опыта, с которыми мы постоянно сталкиваемся. Только их нужно не подробно анализировать, а попросту взять в первом приближении и тогда не возникнет никакого сомнения в принципе противоречия.
Но если кто-то не удовлетворившись единственно поверхностным рассмотрением явлений пустится в их более детальный разбор – тот отступит от доводов "здравого крестьянского смысла" и пусть винит самого себя, когда запутается в противоречии. Устрашающим примером на века остался Зенон из Элеи, который годами скитался по Греции, раздражая "разумных" людей своими странными головоломками, пока, наконец, в старости сам себе не отгрыз язык и так напрасно закончил свою жизнь!
Все, впрочем, немногочисленные обвинения, которые выдвигались на протяжении столетий противниками принципа противоречия, имели своим источником не анализ этого принципа или рассмотрение каких-либо абстрактных предметов, но строились именно на анализе фактов опыта. Правда, Зенон не выступал против закона, которого Аристотель еще не сформулировал, но демонстрируя действительные или кажущиеся противоречия в чувственном мире, пытался доказать, что этот мир является всего лишь обманом и в действительности не существует. Однако для сенсуалистов из школы Протагора, которые не признавали другого бытия кроме чувственного мира, субтильные аргументы Зенона были единственным доказательством против принципа противоречия. Ранее мы уже видели, что даже Аристотель не отказывал этому взгляду в определенной последовательности, а Гегель уже совершенно отчетливо говорил, что "нужно признать противоречия, содержащиеся в движении, как это демонстрируют древние диалектики. Отсюда не следует, что движения не существует, но, пожалуй, что движение, собственно, и является существующим противоречием".Таким образом, если вообще сомневаться в принципе противоречия, то разве что в области конкретных предметов, т. е. фактов опыта.
Рассмотрим, насколько эти сомнения обоснованы. Наиболее слабым местом принципа противоречия, его ахиллесовой пятой, является неприметное словечко ἅμα, "одновременно" (zarazem). Когда речь идет об абстрактных предметах, это выражение означает понятие логического умножения. Мы уже знаем, что благодаря этому словечку принцип противоречия не удается вывести ни из принципа тождества, ни из принципа двойного отрицания, ни из дефиниции ложного суждения. В применении к конкретным предметам слово "одновременно" приобретает признак временного определения. Конкретные предметы могут содержать противоречивые свойства, но не "одновременно", т. е. не в одно и то же время. Я могу сидеть и не сидеть, луч может отражаться от стекла и не отражаться, но не "одновременно", не в одном и том же моменте времени. Вообще, можно было бы сказать, что время только для того существует, чтобы вещи и события могли иметь противоречивые свойства – без ущерба для принципа противоречия. Они должны иметь эти свойства, иначе мир был бы мертв. Ведь всякое движение, как и всякое изменение, которое является не только мерой времени, но, по-видимому, и условием его существования, происходит таким образом, что изменяющийся предмет утрачивает некоторые свойства, какими обладал, но приобретает новые, какими не обладал. В том и другом случае возникло бы противоречие, если бы не существовали различные временные определения.
Если изменение является непрерывным, например, движение выпущенной из лука стрелы, вращение земли вокруг солнца, постоянное уменьшение интенсивности света или не прекращающееся понижение температуры, то в каждом самом малом отрезке времени предмет, подвер женный изменению, последовательно утрачивает одни свойства и приобретает другие. В каждые два момента времени движущаяся стрела находится в разных местах. Даже если принять, что интервал этих моментов меньше произвольно малой величины, то пока этот интервал конечен и не равен нулю (в существование бесконечно малых величин сегодня уже не верят даже математики) – до тех пор стрела находится в разных местах. Что же произойдет, когда этот интервал уменьшится до нуля, когда мы примем во внимание только один момент в качестве неделимой точки на линии времени?